2023年12月30日发(作者：期中考数学试卷家长评语)
巧求周长
知识点梳理：
基本概念
①周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长．
②面积：物体的表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积．
基本公式：
①长方形的周长2(长宽)，面积长宽．
②正方形的周长4边长，正方形的面积边长边长．
常用方法：．
平移：在平面图形的计算中，常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算．其中，将图形沿一个固定方向的移动叫做平移，一个图形经过平行移动不改变其形状与大小，所以图形面积是保持不变的．
割补：割补法在我国古代叫“出入相补原理”，我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中就明确地提出“出入相补，各从其类”的出入相补原理．这个原理的内容是几何图形经过分、合、移、补所拼凑成的新图形，它的面积不变．
旋转：在平面图形的割补中，有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置，产生一种新的图形结构，图形在转动过程中形状大小不发生改变．利用这种新的图形结构可以帮我们解决面积的计算问题．
对称：平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形．轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧可以完全重合．也就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积．熟悉轴对称图形这个性质，对面积计算会有很大帮助．
代换：在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧．
例题讲解：
例题1、求图中所有线段的总长(单位：厘米)
4AB3C1D2E
解析：要注意到，题目所求的是图中所有线段的总长，而图中的线段，并不仅仅是AB、BC、CD、DE四段，还包括AC、BE等等，因此不能简单地将图中标示的线段长度进行求和．因此，为了计算图中所有线段的总长，需要先计算AB、BC、CD、DE这四条线段分别被累加了几次．
由1段组成的线段共有4条，即AB、BC、CD、DE，而求和过程中AB、BC、CD、DE这四条线段各被累加了1次．
由2段组成的线段共有3条，求和过程中AB、DE各被累加了1次，BC、CD各被累加了2次．
由3段组成的线段共有2条，求和过程中AB、DE各被累加了1次，BC、CD各被累加了2次．
由4段组成的线段只有AE，其中AB、BC、CD、DE各被计算了1次．
综上所述，AB、DE各被计算了4次，BC、CD各被计算了6次．
因而图中所有线段的总长度为：4×（4+2）+6×（3+1）=48（厘米）
例题2、如图所示，一个大长方形被三条线段分成了四个小长方形，各条线段长度见图(单位：厘米)．求：图中所有长方形的周长之和．
2431
2解析：类似于上题，题目中所说的长方形，并不只包括最小的几个长方形，因此需要先求出每条线段在求和过程中被累加了多少次．
因为每从大长方形的长上找到一条线段，就能对应地找到大长方形内的一个长方形，所以可以利用上一个问题的结论来解决这个问题．当然，要考虑到，每个长方形都有两条长和两条宽，因此计算过程中应该注意不要漏算．
先考虑大长方形的长上各边：应用上一道题目的结论，每条边上长为4、3、1、2的线段分别被计算了4、6、6、4次．
然后再考虑大长方形的宽：因为共有4+3+2+1=10个长方形，所以长度为2的宽被计算了10×2=20次．
故总周长可以用下式计算得到：
2×（4×4+3×6+1×6+2×4）+2×20=136（厘米）
．
例题3、如图，正方形的边长为4，被分割成如下12个小长方形，求这12个小长方形的所有周长之和．
解答：原来的正方形的周长是：4×4=16，横着分割了2次，竖着分割了3次，一共分割了5次，新暴露出来5×2=10条边长，新暴露出来的长度为5×2×4=40，所以12个小长方形的周长的和=原来的周长+新暴露出来的长度=4×4+4×5×2=56．
例题4、下图表示一块地，四周都用篱笆围起来，转弯处都是直角．已知西边篱笆长17米，南边篱笆长23米．四周篱笆长多少米？
北A北DC东B西1723南东西1723南
解析：因为这块地的东边和北边的篱笆转弯处是直角，可以将东西方向的篱笆平移到最外边得到线段AD，将南北方向的篱笆平移到最外边得到线段BE，则折线ACD的长等于折线AB的长．
所以东边和北边篱笆的长分别和西边、南边的篱笆长相等．列式为：
四周篱笆长为：(23+17)×2=80(米)
例题5、下图是一个锯齿状的零件，每一个锯齿的两条线段都长2厘米，求这个零件的周长．
解析：平移法，将锯齿状的零件转化成平行四边形，两组对边相等都等于24厘米 ，所以这个零件的周长是24×2=48(厘米)．
例题6、下图中标出的数表示每边长，单位是厘米．它的周长是多少厘米？
解析：平移转化为求长方形的周长，
长方形的长5+6=11(厘米)，宽1+3=4(厘米)，
周长(11+4)×2=30(厘米)，
[(5+6)+(1+3)]×2=30(厘米)，它的周长是30厘米．
例题7、一个周长是20厘米的正方形，剪下一个周长是6厘米的正方形，剩下的图形的周长是（ ） (写出所有可能的结果)
解析：周长为6厘米的正方形的边长为：6÷4=1.5(厘米)，
周长为20厘米的正方形的边长为20÷4=5(厘米)，
在一个正方形中剪下一个小正方形有两种情况：
图1图2
对于图1的周长，与原来正方形的周长相等，为20厘米；图2的周长，观察可以发现，比原来正方形的周长多了两条小正方形的边，即为：20+1.5×2=23(厘米)．
例题8、求下图的周长．
解析：通过平移转化为右上图，周长等于大长方形周长加上AB、CD的长，
即有周长为(50+35)×2+10×2=190(厘米)．
例题9、如下图是某校的平面图，已知线段a＝120米，b＝130米，c＝70米，d＝60米，l＝250米．杨老师每天早晨绕学校跑3圈，问每天跑多少米？
解析：平移法转化为长方形再求．［(120＋130+60)＋(70+250)］×2×3＝3780(米)．
例题10、下面两张图中，周长较大的是（ ）．(在横线上填写表示图名的字母)
A10B1414
第题
解答：通过平移比较发现B比A多两小段边，得B的周长较大．
举一反三：
如下图，正方形操场边长100米，一只蚂蚁沿甲地走了一圈，另一只蚂蚁沿乙地走了一圈，谁走的路长？ 它们各走了多少米？
解答：我们分别求甲、乙的周长．甲的周长可转化为长方形周长(如图)，
即为(100+50+30)×2=360(米)．再求乙的周长．
乙的周长等于长方形周长加上2个30米，即为(100+50)×2+30×2=360(米)．
所以它俩走的一样长．
例题11、如图是一个机器零件的侧面图，图中每一条最短线段长5厘米，这个零件高30厘米，求这个零件侧面的周长是多少厘米？
解答：采用平移，零件侧面的周长等于长方形周长加上内部10条最短线段长，
即(5×7+30)×2+5×10=180(厘米)．
例题12、下图是一面砖墙的平面图，每块砖长20厘米，高8厘米，像图中那样一层、二层…一共摆十层，求摆好后这十层砖墙的周长是多少？
解答：我们仍然可以通过平移转化为长方形来求．长方形的长是10块砖的长度，
即20×10=200(厘米)，宽是10块砖的宽度，即8×10=80(厘米)，
所以十层砖墙的周长是(200+80)×2=560(厘米)．
例题13、右图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400平方厘米，那么它的周长是多少厘米？
解答：每个正方形的面积为400÷16=25(平方厘米)，所以每个正方形的边长是5厘米．
观察右图，这个图形的周长从上下方向来看是由7×2=14条正方形的边组成，
从左右方向来看是由4×2+3×4=20条正方形的边组成，
所以其周长为5×14+5×20=170厘米．
例题14、图⑴、图⑵都是由完全相同的正方形拼成的，并且图⑴的周长是22厘米，那么图⑵的周长是多少厘米？
(1)(2)
解答：图⑴的周长是小正方形边长的12倍，图⑵的周长是小正方形边长的18倍，因此，图⑵的周长为22÷12×18=33厘米．
例题15、边长是15厘米的3个正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少？
解析：想一想，把几个正方形拼合在一起，拼出的长方形的周长与所有正方形的周长相差多少呢？
由3个大小相同正方形拼成一个长方形，只有一种拼法，就是把三个正方形排成一排．于是拼成的长方形的长是15×3=45厘米，宽是15厘米．
所以长方形的周长是：(长+宽)×2=（45+15）×2=120(厘米)．
例题16、两个大小相同的正方形拼成了一个长方形，长方形的周长比原来的两个正方形周长的和减少了6厘米，原来一个正方形的周长是多少厘米？
解答：先想一想，减少的6厘米相当于正方形的几条边的边长呢？
把两个正方形拼成一个长方形时，拼成的长方形的周长比原来两个正方形的8条边减少了2条边(如图所示)
而这两条边的和正好是减少的6厘米，所以，正方形的边长是6÷2=3厘米，原来一个正方形的周长是3×4=12厘米．
所以原来一个正方形的周长是：6÷2×4=12(厘米)
．
例题17、右图中的阴影部分BCGF是正方形，线段FH长18厘米，线段AC长24厘米，则长方形ADHE的周长是( )厘米．
EFGHA
BCD
解答：本题需要注意，长方形ADHE的宽应等于正方形BCGF的边长．
由于图中阴影部分BCGF是个正方形，其四条边的边长都相等，且等于长方形ADHE的宽．FH+AC的和应为长方形ADHE的长加上正方形BCGF的边长，所以等于长方形ADHE的长与宽之和．所以长方形ADHE的周长为：(18+24)×2=84厘米．
例题18、如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和L形区域乙和丙．甲的周长为4厘米，乙的边长是甲的周长的1.5倍，丙的周长是乙的周长的1.5倍，那么丙的周长为多少厘米？EF长多少厘米？
D丙EF甲A
C乙IJGHB
解答：乙的周长实际上是正方形AHJE的周长(我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、向下平移)，同样的，丙的周长也就是正方形ABCD的周长．由于AE=4×1.5=6，AD=6×1.5=9，所以丙的周长为9×4=36厘米，EF=AE - AF=6-4=2(厘米)．
例题19、用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是244厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？
解答：大平行四边形上、下两边的长为（244-2×2）÷2=120厘米，观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，所以共有小平行四边形120÷6×2=40个，而三角形的数量与小平行四边形的数量相等，也是40个．
例题20、有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小长方形拼成的大长方形(如图)的面积是46平方厘米，求这个大长方形的周长．
解析：从图上可以知道，小长方形的长的4倍等于宽的5倍，
所以长是宽的5÷4=1.25倍．每个小长方形的面积为45÷9=5平方厘米，
所以1.25×宽×宽=5，所以宽为2厘米，长为2.5厘米．
大长方形的周长为（2.5×4+2+2.5）×2=29厘米．
例题21、冯大叔给儿子做玩具用8个一样大的小长方形拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案：图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形；图案甲的中间留下了边长是2厘米的正方形小洞．求小长方形的长和宽？
甲
乙
解答：由甲图可以看出小长方形的长加上小正方形的边长等于小长方形的两个宽，
由乙图可以看出，设小长方形的宽为x厘米，则小长方形的长为（2x-2）厘米，
根据乙图小长方形的3个长等于小长方形的5个宽，
列方程得5x=3（2x-2），解得x=6，
所以小长方形的长为10厘米，宽为6厘米．
例题22、用同样的长方形条砖，在一个盆的周围砌成一个正方形边框，如右图所示．已知外面大正方形的周长是264厘米，里面小正方形的面积是900平方厘米，每块长方形条砖的长是_________厘米，宽是______厘米．
解答：外面大正方形的边长为264÷4=66厘米，里面小正方形的边长为30厘米，
从图中可以看出，长方形的宽为（66-30）÷2=18厘米，
长方形的长为（66-18）÷2=24厘米．
课后作业：
1、如右图，正方形ABCD的边长是6厘米，过正方形内的任意两点画直线，可把正方形分成9个小长方形。这9个小长方形的周长之和是多少厘米？
ADBC
解析：从总体考虑，在求这9个小长方形的周长之和时，AB、BC、CD、A这四条边被用了1次，其余四条虚线被用了2次，所以9个小长方形的周长之和是：6×4+6×2×4=72（厘米）。
2、右图的周长是（ ）分米．
7分米6分米
解析：把那些与水平方向平行的小线段都”放”下来，恰好与底边一致；把竖直方向的小线段都依次”贴到”左边，恰好贴满左边，因此多有的短横线的长的和为6分米，所有的短竖线的长的和为7分米，图形的周长为（6+7）×2=26(分米)
3、计算右边图形的周长(单位：厘米)。
1015
解析：要求这个图形的周长，似乎不可能，因为缺少条件。但是，我们仔细观察这个图形，发现它的每一个角都是直角，所以，我们可以将图中右上缺角处的线段分别向上、向右平行移动到虚线处(见右下图)，这样正好移补成一个长方形。求长方形的周长就易如反掌了。所以图形的周长是：（10+15）×2=50(厘米)。
4、右图是由七个长5厘米、宽3厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形．求这个图形的周长？
解析：平移法．{[(3+5)×3+3]+5}×2+6×(5-3)2=76(厘米)
5、求右图的周长．
解析：140厘米
6、下图的小正方形边长为1厘米．这个图形的外沿的周长是多少厘米？
解析：28厘米
7、求右图所示图形的周长(单位：分米)
505010
解析：．这是一个组合图形，由两个矩形组成，不要误认为两个矩形周长的和就是组合图形的周长．仔细观察图形可以发现：右边矩形的右边边长可以移到左边，这样就可以使左边的矩形变得完整．所以，这个组合图形的周长就是左边矩形的周长再加上右边矩形的一条已知边长的2倍．
即：（50+10）×2+50×2=220(分米)
8、把长2厘米、宽1厘米的长方形砖块摆成如图的形状，求该图形的周长？
解析：平移法：66厘米
9、下图是由边长为1厘米的11个正方形堆成的“土”字图形．试求出其周长．
解析：周长是由24条1厘米的边长组成，所以周长=1×24=24(厘米)．
10、如图，每个小方格是一个正方形，如果该图总面积是52个平方单位，试求这个图形的外沿周长是多少个长度单位？
解析：40个长度单位
11、用一块长8分米，宽4分米的长方形纸板与两块边长4分米的正方形纸板拼成一个正方形．拼成的正方形的周长是多少分米？
84
解析：两块边长4分米的正方形纸可以拼成一个长8分米，宽4分米的长方形纸板，与原有的一块8分米，宽4分米的长方形纸板的面积一样大，而且这两个长方形两条宽的和正好等于一条长．所以，拼法如图所示．然后运用正方形的周长计算公式很容易求出它的周长．
拼成的正方形的周长是：8×4=32(分米)
23、如图，在长方形ABCD中，EFGH是正方形．已知AF=10厘米，HC=7厘米，求长方形ABCD的周长．
AEFBD
HGC
解析：通过观察发现AF+HC是长方形的长与宽，
所以长方形ABCD的周长是(10+7)×2=34(厘米)．
13、用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是236厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？
解析：大平行四边形上、下两边的长为（236-2×2）÷2=116厘米，
观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，116÷2，
所以有三角形19×2=38个，
小平行四边形38+1=39个．
14、右图的长方形被分割成5个正方形，已知原长方形的面积为120平方厘米，求原长方形的长与宽．
解析：大正方形边长的2倍等于小正方形边长的3倍，
所以大正方形的边长是小正方形边长的1.5倍，
大正方形的面积是小正方形面积的1.5×1.5=2.25倍，
所以小正方形面积为120÷（2.25×2+3）=16平方厘米，
所以小正方形的边长为4厘米，大正方形的边长为6厘米，
原长方形的长为4×3=12厘米，宽为4+6=10厘米．
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周长,长方形,正方形,图形,边长,线段
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