初一数学教材班——2、3数轴

2024年1月24日发(作者：武钢三中2023数学试卷)

————数轴(★★)

1．使学生正确理解数轴的意义，掌握数轴的三要素；

2．使学生学会由数轴上的已知点说出它所表示的数，能将有理数用数轴上的点表示出来；

3．使学生初步理解数形结合的思想方法。

建议5分钟

问题引入：

1．小学里曾用“射线”上的点来表示数，你能在射线上表示出1和2吗？

2．用“射线”能不能表示有理数？为什么？

3．你认为把“射线”做怎样的改动，才能用来表示有理数呢？

待学生回答后，教师指出，这就是我们本节课所要学习的内容——数轴．

建议5分钟

让学生观察挂图——放大的温度计，同时教师给予语言指导：利用温度计可以测量温度，在温度计上有刻度，刻度上标有读数，根据温度计的液面的不同位置就可以读出不同的数，从而得到所测的温度．在0上10个刻度，表示10℃；在0下5个刻度，表示-5℃．

与温度计类似，我们也可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和零．具体方法如下(边说边画)：

1．画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点(通常取适中的位置，如果所需的都是正数，也可偏向左边)用这点表示0(相当于温度计上的0℃)；

2．规定直线上从原点向右为正方向(箭头所指的方向)，那么从原点向左为负方向(相当于温度计上0℃以上为正，0℃以下为负)；

3．选取适当的长度作为单位长度，在直线上，从原点向右，每隔一个长度单位取一点，依次表示为1，2，3，…从原点向左，每隔一个长度单位取一点，依次表示为-1，-2，-3，…

提问：我们能不能用这条直线表示任何有理数？(可列举几个数)

在此基础上，给出数轴的定义，即规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．

进而提问学生：在数轴上，已知一点P表示数-5，如果数轴上的原点不选在原来位置，而改选在另一位置，那么P对应的数是否还是-5？如果单位长度改变呢？如果直线的正方向改变呢？

通过上述提问，向学生指出：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度，缺一不可．

解决问题

1、指出数轴上A，B，C，D各点分别表示什么数．

2、画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：

33，－3.5，0,5，－4，.

22观察所画的数轴，总结如何比较有理数的大小：

最后引导学生得出结论：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数

建议20分钟

题型2 数轴上点的表示

1．（2012•新疆）如图所示，点M表示的数是（ ）

A2.5

．

数轴．

M位于﹣2和﹣3的正中间，所以为﹣2.5．

解答： 解：由数轴得，点M表示的数是﹣2.5．

故选C．

点评： 数轴上的点所在的位置对应的数，就是这个点表示的数．

3．（2012•济宁）在数轴上到原点距离等于2的点所表示的数是（ ）

A﹣2

B2 C±2 D不能确定

． ． ． ．

考点： 数轴．

分析： 先在数轴上标出到原点距离等于2的点，然后根据图示作出选择即可．

解答： 解：在数轴上到原点距离等于2的点如图所示：

B﹣1.5

．

C﹣2.5

．

D1.5

．

考点：

分析：

点A、B即为所求的点，即在数轴上到

原点距离等于2的点所表示的数是﹣2和2；

故选C．

点评： 本题考查了数轴．由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．

8．（2007•怀化）2008年8月第29届奥运会将在北京开幕，5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2008年8月8日20时应是（ ）

A伦敦时间． 2008年8月8日11时

C纽约时间． 2008年8月8日5时

考点：

专题：

分析：

数轴．

应用题．

从数轴上可以看出，巴黎时间比北京时间少8﹣1=7小时，所以北京时间8月8日20时就是巴黎时B巴黎时间． 2008年8月8日13时

D汉城时间． 2008年8月8日19时

解答：

点评：

间2008年8月8日13时．也就是少7小时，类比可以得出结论．

解：∵北京时间20时与8时相差12时，

∴将各个城市对应的数加上12即可得出北京时间2008年8月8日20时对应的各个城市的时间．

∴A、伦敦时间为2008年8月8日12时，此项错误；

B、巴黎时间为2008年8月8日13时，此项正确；

C、纽约为：2008年8月8日7时，此项错误；

D、汉城时间为2008年8月8日21时，此项错误．

故选B．

由此题的解答可以看出，利用数轴可以将抽象的“数”转化为直观的“形”，从而借助“形”来解答有关抽象的

“数”的问题．

2．（2012•莱芜）如图，在数轴上点A表示的数可能是（ ）

A1.5 B﹣1.5

C﹣2.4

D2.4

． ． ． ．

考点： 数轴．

分析： 根据数轴上的点表示数的方法得到点A表示的数大于﹣3且小于﹣2，然后分别进行判断即可．

解答： 解：∵点A表示的数大于﹣3且小于﹣2，

∴A、B、D三选项错误，C选项正确．

故选C．

点评： 本题考查了数轴：数轴有三要素（正方向、原点、单位长度），原点左边的点表示负数，右边的点表示正数．

4．（2009•宜宾）数轴上的点A，B位置如图所示，则线段AB的长度为（

A﹣3

B5 C6 D7

． ． ． ．

考点： 数轴．

专题： 压轴题．

分析： 此题借助数

）

轴用数形结合的方法求解．结合数轴，求得两个点到原点的距离之和即线段AB的长度．

解答： 解：数轴上的点A，B位置如图所示，则线段AB的长度为B点坐标减去A点坐标即2﹣（﹣5）=7．故选D．

点评： 本题考查数轴上两点间距离的求法：右边点的坐标减去左边点的坐标；或两点坐标差的绝对值．

10．（2006•泰州）下表是5个城市的国际标准时间（单位：时），那么北京时间2006年6月17日上午9时应是（ ） A伦敦时间． 2006年6月17日凌晨1时

B纽约时间． 2006年6月17日晚上22时

C多伦多时间． 2006年6月16日晚上20时

D汉城时间． 2006年6月17日上午8

时

考点：

专题：

分析：

数轴．

应用题．

本题可根据数轴上各个城市与北京的数轴差来判断．在北京的左边就用减法，右边就用加法．

解：A中，9﹣8=1，即伦敦时间2006年6月17日凌晨1时，正确；

B中，9﹣（8+5）=﹣4．即纽约时间2006年6月16日晚上8时；

C中，9﹣（8+4）=﹣3，即多伦多时间2006年6月16日晚上9时；

D中，9+1=10，即汉城时间2006年6月17日上午10时．

∴故选A．

注意时间的变化规律：左减右加．

解答：

点评：

题型2数轴上点的移动

5．（2009•襄阳）A为数轴上表示﹣1的点，将A点沿数轴向左移动2个单位长度到B点，则B点所表示的数为（ ）

A﹣3

B3 C1 D1或﹣3

． ． ． ．

考点： 数轴．

分析： 此题借助数轴用数形结合的方法求解．

解答： 解：由题意得，把点向左移动2个单位长度，即是﹣1﹣2=﹣3．故B点所表示的数为﹣3．

故选A．

点评： 在数轴上移动的时候，数的大小变化规律是：左减右加．

13．（2012•泰州）如图，数轴上的点P表示的数是﹣1，将点P向右移动3个单位长度得到点P′，则点P′表示的数是 2 ．

考点：

专题：

分析：

数轴．

探究型．

设P′表示的数为a，则|a+1|=3，故可得出a的值．

解：设P′表示的数为a，则|a+1|=3，

∵将点P向右移动，

∴a＞﹣1，即a+1＞0，

解答：

点评：

∴a+1=3，解得a=2．

故答案为：2．

本题考查的是数轴上两点之间的距离，根据题意设出P′点的坐标，利用数轴上两点之间的距离公式求解是解答此题的关键．

7．（2007•乐山）如图，数轴上一点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C．若点C表示的数为1，则点A表示的数（ ）

A7

．

考点：

专题：

分析：

数轴．

图表型．

首先设点A所表示的数是x，再根据平移时坐标的变化规律：左减右加，以及点C的坐标列方程求解．

解：设A点表示的数为x．

列方程为：x﹣2+5=1，x=﹣2．

故选D．

本题考查数轴上点的坐标变化和平B3

．

C﹣3

．

D﹣2

．

解答：

点评：

移规律：左减右加．

14．（2011•吉林）如图，数轴上的点A向左移动2个单位长度得到点B，则点B表示的数是 ﹣1 ．

考点：

专题：

分析：

数轴．

计算题．

让1减去2即可求得点B表示的数．

解：由题意得：1﹣2=﹣1．

故答案为﹣1．

考查数轴上点的相关计算；用到的知识点为：求已知点左边的点，可让表示已知点的数，减去平移的单位．

解答：

点评：

题型3 数轴上点之间的距离

11．（2004•郑州）已知数轴上的A点到原点的距离是2，那么在数轴上到A点的距离是3的点所表示的数有（ ）

A1个

B2个

C3个

D4个

． ． ． ．

考点： 数轴．

分析： 本题要先对A点所在的位置进行讨论，得出A点表示的数，然

解答：

点评：

后分别讨论所求点在A的左右两边的两种情况，即可得出答案．

解：∵数轴上的A点到原点的距离是2，∴点A可以表示2或﹣2．

（1）当A表示的数是2时，在数轴上到A点的距离是3的点所表示的数有2﹣3=﹣1，2+3=5；

（2）当A表示的数是﹣2时，在数轴上到A点的距离是3的点所表示的数有﹣2﹣3=﹣5，﹣2+3=1．

故选D．

注意：到数轴上一个点的距离是定值的点可以在该点的左侧，也可以在该点的右侧．

15．（2008•乐山）如图，A、B两点在数轴上，点A对应的数为2，若线段AB的长为3，则点B对应的数为 ﹣1 ．

考点：

分析：

数轴．

此题即是把2

解答：

点评：

向左移动了3个单位长度，即2﹣3=﹣1．

解：根据数轴可知B＜0，A＞0，

∴B点对应的数为2﹣3=﹣1．

故答案为：﹣1．

数轴上点在移动的时候，数的大小变化规律：左减右加．

18．（2013•宿城区一模）在数轴上点P表示的数是2，那么在同一数轴上与点P相距5个单位的点表示的数是 ﹣3或7 ．

考点： 数轴．

分析： 分为两种情况：①当点在P的左边时，该点所表示的数是2﹣5，②当点在P的右边时，该点所表示的数是2+5，求出即可．

解答： 解：分为两种情况：①当点在P的左边时，该点所表示的数是2﹣5=﹣3，

②当点在P的右边时，该点所表示的数是2+5=7，

故答案为：﹣3或7．

点评： 本题考查了数轴的应用，注意要进行分类讨论啊．

19．（2004•三明）在数轴上，表示﹣2的点与原点的距离是 2 ．

考点： 数轴．

分析： 在数轴上，表示﹣2的点与原点的距离即是﹣2的绝对值，是2．

解答： 解：﹣2与原点的距离为：|﹣2|=2．

点评： 注意：距离是一个非负数，求一个数对应的点到原点的距离就是求这个数的绝对值．

题型4 应用题

21．小华骑车从家出发，先向东骑行2km到A村，继续向东骑行3km到达B村，接着又向西骑行9km到达C村，最后回到家．试解答下列问题：

（1）以家为原点，以向东方向为正方向，在下面给定的数轴上标上单位长度，并表示出家以及A、B、C三个村庄的位置；

（2）C村离A村有多远？

（3）小华一共行驶了多少km？

考点： 数轴．

专题： 应用题．

分析： （1）数轴三要素：原点，单位长度，正方向．依此表

示出家以及A、B、C三个村庄的位置；

（2）A点表示的数与﹣C点表示的数之间的距离即为C村离A村的距离；

（3）距离相加的和即为所求．

解答： 解：（1）如图；

（2）C村离A村为：2+4=6（km）

答：C村离A村有6km．

（3）小华一共走了：2+3+9+4=18（km）．

点评： 此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．

25．请把下面不完整的数轴画完整，并在数轴上标出下列各数：﹣

考点： 数轴．

分析： 应有原点，正方向和单位长度，进而根据距离原点

3，，4．

解答：

的距离和正负数的相关位置标出所给数即可．

解：点评： 本题考查数轴的定义及点的位置；用到的知识点为：数轴包括原点，正方向和单位长度三要素；正数在原点的右边；负数在原点的左边．

26．某市公交公司在一条自西向东的道路旁边设置了人民公园、新华书店、实验学校、科技馆、花园小区站点，相邻两个站点之间的距离依次为3km、1.5km、2km、3.5km．如果以新华书店为原点，规定向东的方向为正，向西的方向为负，设图上1cm长的线段表示实际距离1km．请画出数轴，将五个站点在数轴上表示出来．

考点： 数轴．

专题： 应用题．

分析： 根据数轴的相关概念解题．数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．从原点出发朝正方向的射线上的点对应正数，相反方向的射线上的点对应负数，原点对应零．

解答： 解：数轴如图所示：

点评： 本题主要考查了学生对数轴的掌握情况，要会画出数轴，会读准数轴．

27．如图，在数轴上有三点A、B、C，点A表示0，点B表示﹣3，点C表示5，怎样移动A、B、C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？有几种移动方法？

考点：

分析：

数轴．

移动方法有3种，第一种：把B、C两点移到A点处；第二种：把B、A两点移到C点处；第三种：把C、A两点移到B点处．

解：共有三种移动方法：（2分）

第一种：把点B向右移动3个单位，点C向左移动5个单位．

第二种：分别把点B、点A向右移动8个单位、5个单位．

第三种：分别把点C、点A向左移动8个解答：

点评：

单位、3个单位．

此题主要考查了数轴，关键是掌握表示数a的点，向右移n个单位所得的点表示的数是a+n，向左移n个单位所得的点表示的数是a﹣n．

（学生总结，老师点评）

本节课应掌握：

1、数轴的概念及三要素

2、数轴上点的表示

建议10分钟

6．（2008•资阳）如图，在数轴上表示到原点的距离为3个单位的点有（ ）

AD点

．

考点：

分析：

数轴．

距离原点3个单位的点可能在原点的右边（3，即D点），也可能在原点的左边（﹣3，BA点

．

CA点和D点

．

DB点和C点

．

解答：

点评：

即A点）．

解：由数轴与题意可得，在数轴上表示到原点的距离为3个单位的点有A点和D点．故选C．

有理数都可以用数轴上的点来表示，该知识点在中考中时有体现．解答本题时易错选成A或B，原因就是没想到在原点另一侧的点，从而造成了漏解．

9．（2006•威海）如图，数轴上所标出的点中，相邻两点间的距离相等，则点A表示的数为（ ）

A30

．

考点：

分析：

数轴．

本题可用100÷5=20得一格表示的数，然后得出A点表示的数．

解：每个间隔之间表示的长度为：100÷5=20，

A离原点三B50

．

C60

．

D80

．

解答：

点评：

格，因此A表示的数为：20×3=60．

故选C．

本题考查了点在数轴上的表示方法．

12．（2004•呼和浩特）点A为数轴上的表示﹣2的动点，当点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B所表示的有理数为（ ）

A2 B﹣6

C2或﹣6

D不同于以上． ． ． ． 答案

考点： 数轴．

专题： 动点型．

分析： 数轴上点的坐标变化和平移规律：左减右加．此题注意考虑两种情况：可以向左移或向右移．

解答： 解：∵点A为数轴上的表示﹣2的动点，

①当点A沿数轴向左移动4个单位长度时，点B所表示的有理数为﹣2﹣4=﹣6；

②当点A沿数轴向右移动4个单位长度时，点B所表示的有理数为﹣2+4=2．

故选C．

点评： 注意数的大小变化和平移之间的规律：左减右加．与点A的距离为4个单位长度的点B有两个，一个向左，一个向右．

二．填空题（共8小题）

16．（2005•荆门）在数轴上，与表示﹣1的点距离为3的点所表示的数是 2或﹣4 ．

考点： 数轴．

分析： 此类题注意两种情况：要求的点可以在已知点的左侧或右侧．

解答： 解：若点在﹣1的左面，则点为﹣4；若点在﹣1的右面，则点为2．

点评： 注意：要求的点在已知点的左侧时，用减法；要求的点在已知点的右侧时，用加法．

17．（2004•新疆）在数轴上，离原点距离等于3的数是 ±3 ．

考点： 数轴．

分析： 此题可借助数轴用数形结合的方法求解．由于点A与原点0的

解答：

距离为3，那么A应有两个点，记为A，B，分别位于原点两侧，且到原点的距离为3，这两个点对应的数分别是﹣3和3，在数轴上画出A，B点如图所示．

解：如下图所示：

点评：

因为点A、B与原点O的距离为3，即|x|=3，所以x=3或x=﹣3，

即：A=﹣3，B=3，

所以，到原点等于3的数是：﹣3和3．

此题综合考查了数轴、用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．

20．（2004•奉贤区二模）数轴上一点A，其坐标为3，由A向右移动两个单位到B点，再由B点向左移动9个单位到C点，此时C点坐标为 ﹣4 ．

考点： 数轴．

分析：

解答：

点评：

数轴上的数向左移就减去相应的数，右移就加上相应的数．由此可解出此题．

解：该数为：3+2﹣9=﹣4．

所以C点的坐标为﹣4．

数轴上的点平移的时候，数的变化规律是左减右加．

三．解答题（共8小题）

22．一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了4千米到达小明家，继续走了1.5千米到达小红家，又向西走了10千米到达小刚家，最后回到百货大楼．

（1）以百货大楼为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，请你在数轴上表示出小明、小红、小刚家的位置；

（2）小明家与小刚家相距多远？

（3）若货车每千米耗油0.05升，那么这辆货车共耗油多少升？

考点：

分析：

数轴；正数和负数．

（1）根据已知，以百货大楼为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1千米一辆货车从百货大楼出发，向东走了4千米，到达小明家，继续向东走了1.5千米到达小红家，然

解答：

后西走了8.5千米，到达小刚家，最后返回百货大楼，则小明家、小红家和小刚家在数轴上的位置可知．

（2）用小明家的坐标减去与小刚家的坐标即可．

（3）这辆货车一共行走的路程，实际上就是4+1.5+10+4.5=20（千米），货车从出发到结束行程共耗油量=货车行驶每千米耗油量×货车行驶所走的总路程．

解：（1）如图所示：A、B、C分别表示小明、小红、小刚家

（2）小明家与小刚家相距：4﹣（﹣4.5）=8.5（千米）；

（3）这辆货车此次送货共耗油：（4+1.5+10+4.5）×0.05=1（升）．

点评：

答：小明家与小刚家相距8.5千米，这辆货车此次送货共耗油1升．

本题是一道典型的有理数混合运算的应用题，同学们一定要掌握能够将应用问题转化为有理数的混合运算的能力，数轴正是表示这一问题的最好工具．如工程问题、行程问题等都是这类．

23．在一条东西向的马路边上，有一百货大楼．一辆货车从百货大楼出发送货，向东走3千米到达小明家．再向东走4.5千米到达小红家．然后向西走10.5千米到达小刚家，最后回到百货大楼．

（1）以百货大楼为原点，向东方向为正方向．用1个单位长度表示1千米．请你在图中的数轴上表示小明、小红、小刚家的位置；

（2）小明家与小刚家相距多远？

（3）货车一共行驶了多少千米？

考点：

分析：

数轴．

（1）先根据百货大楼为原点，向东走为正，再根据他们所走的路程列出式子，即可求出他们距原点的位置，从而画出图形；

解答：

（2）根据小明家与小刚家的位置，再根据距离公式即可求出答案；

（3）根据他们所走的路程，把这些数的绝对值进行相加，即可求出货车一共行驶的路程．

解：（1）因为百货大楼为原点，向东走3千米到达小明家，即小明家是0+3=3（千米），

在小明家再向东走4.5千米到达小红家，即小红家是3+4.5=7.5（千米），

在小红家再向西走10.5千米到达小刚家，即小刚家是：7.5﹣10.5=﹣3（千米），

如图：

（2）从图中可以看出小明家与小刚家相距是3+=3+3=6（千米）；

点评：

（3）根据所走的路程可得：

3+4.5+10.5+3=21（千米）；

答：货车一共行驶了21千米．

此题考查了数轴，解题的关键是根据题意画出他们各自的位置，再根据向东方向为正方向，列出式子，把实际问题转化成计算问题，是一道基础题．

24．小明骑车从家出发，先向东骑行2km到达A村，继续向东骑行3km到达B村．然后向西骑行9km到达C村，最后回到家．

（1）以家为原点．以向东方向为正方向．用lcm表示1km．画出数轴．并在数轴上表示出A．B．C三个村庄的位置

（2）C村离A村有多远？

（3）小明一共行了多少km？

考点： 数轴．

分析： （1）数轴三要素：原点，单位长度，正方向．依此表示出家以及A、B、C三个村庄的位置；

（2）A点表示的数与﹣C点表示的数之间的距离即为C村离A村的距离；

（3）距离相加的和即为

解答：

所求．

解：（1）如图：

点评：

（2）C村离A村为：2+4=6（km）．

答：C村离A村有6km．

（3）小明一共走了：2+3+9+4=18（km）．

答：小明一共行了18km．

本题考查的是数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．

28．（附加题）一青蛙要从A点跳到B点，以平均每分钟2米的速度跳跃．它先前进l米，再后退2米，又前进3米，再后退4米，…（每次跳跃都在A、B两点所在的直线上）

（1）5分钟后它离A点多远？

（2）若A、B两点相距100米，它可能到达B点吗？如果能，它第一次到达B点需要多长时间？如果不能，请说明理由．

考点： 数轴．

专题： 探究型．

分析： （1）根据题意找出青蛙每次跳跃时离开A点的距离，再进行解答即可；

解答：

（2）由（1）中得出的规律即可进行解答．

解：（1）5分钟青蛙跳跃2×5=10米，

这10米正好是青蛙先前进l米，再后退2米，又前进3米，再后退4米的总路程，

1+2+3+4=10米，

所以此时青蛙距A点2米；

（2）由第一问我们可以看出，青蛙每跳2次，从A点向B点前进1米，

因为AB两点相距100米，所以青蛙要跳200次才可以到达B点，

所以青蛙青蛙跳跃的总路程为1+2+3+…+199+200=（1+200）×200÷2=20100（米），

则需要20100÷2=10050（分）．

故答案为：2米；10050分．

点评： 本题考查的是有理数的加法，根据题意找出规律是解答此题的关键．