初一数学上册大纲

2023年12月7日发(作者：18南充中考数学试卷)

初中大纲

第一章有理数

通过本章的学习，你将认识一种新的数——负数，并在有理数的范围内研究数的表示、大小比较与运算等，这将使你的运算能力和用数学解决问题的能力得到提高。

1.1正数和负数的意义

正数与负数的引入是为了在实际问题中区分表示相反意义的量。

注意：○1.0既不是正数也不是负数，它表示正数与负数的分界。

○2.对于正数和负数的概念，不能简单的理解为带“﹢”的数为正数，带“－”的数为负数，如＋0是0，－0也是0，当a＜0时，－a就是正数。

○3.零和负数习惯上称为非正数，零和正数习惯上称为非负数。

1.2.1有理数定义：正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

有理数的分类：按定义分类：正整数、零、负整数统称整数；正分数和负分数统称为分数，整数和分数统称为有理数。

按正负分类：正有理数；0；负有理数

1.2.2数轴：定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

三要素：原点、正方向和单位长度

画法：1）画一条直线（一般画成水平直线）

2）在直线上选取一点为原点

3）确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来

4）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1,2,3…，从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为－1，－2，－3，… 数轴上的点与有理数的关系：数轴上的点与有理数是一一对应的关系

1.2.3相反数：代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数是0

几何意义：在数轴上互为相反数的两个数对应的点在原点的两侧，并且到原点的距离相等。

性质：1）若a,b互为相反数，则a＋b=0;反之也如此。

2）相反数是成对出现的，不能单独存在。

3）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0

求相反数的方法与多层符号的化简方法：

1） 求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上“－”即可，若求一个代数式（含和、差形式）的相反数，就是把这个代数式作为一个整体用扩考括起来，再在前面加一个“－”，如a－b的相反数是－（a－b）,即－a＋b

2） 判断两个数是不是相反数，除用定义外，还可以看它们的和是否为零；

3） 多层符号化简的规律是：数一下数字前面有多少个负号，，若有偶数个，则结果为正，若有奇数个，结果为负。

1.2.4绝对值

定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记做∣a∣.

绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点越近，绝对值越小。

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

绝对值的性质： （1） 数a的绝对值是一个非负数，0是绝对值最小的数。

（2） 绝对值为正数的数有两个，他们互为相反数

（3） 两个互为相反数的数绝对值相等。反之绝对值相等的两个数相等或互为相反数。

绝对值的求法：

求一个数的绝对值就是想方设法去绝对值的符号。求一个数的绝对值，必须遵循“先判定，再去绝对值符号”的法则。若绝对值里的数是非负数，那么这个数的绝对值就是它本身，若绝对值里的数是负数，那么这个数的绝对值就是它的相反数，但是当绝对值里面的数的正负性不一定时，要分类讨论，即将此分成大于0、小于0、等于0这三类来讨论。

1.3.1有理数的加法法则：

1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加

2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0.

3.一个数同0相加，仍得这个数。

有理数加法定律： 加法交换律，两个数相加，交换加数的位置，和不变。

加法结合律，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

1.3.2有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

1.4.1有理数的乘法法则：两个数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数同0相乘，都得0. 乘积是1的两个数互为倒数。

乘法定律：1.数相乘，交换因数的位置，积相等。

2.数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个相乘，积相

等。

3.数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。

有理数的除法：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。

1.5.1负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。

正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。

有理数混合运算的顺序：

1. 先乘方，再乘除，最后加减

2. 同级运算，从左到右进行

3. 如有括号，先做到括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

1.5.2科学计数法的定义：把一个数记做a×10n的形式(其中1≤∣a∣＜10,n为整数）

1.5.3近似数与有效数字：有效数字是对一个准确数的近似数的精确度而提出来的。一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。

第二章：整式的加减

2.1整式

第一课时：单项式

单项式定义：表示数与字母乘积的式子叫单项式，单项式中的数字因数叫单项式的系数。

次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

注意：单个的数或字母也是单项式

第二课时：多项式

多项式定义：几个单项式的和叫做多项式

多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项

常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项

第三课时：同类项

概念：在多项式中，所含字母相同，并且各相同字母的指数也相同的项叫做同类项，n个常数项也是同类项

1. 用字母和数字表达实际问题中的数量关系，它比具体数字表达的式子更具有一般性，这给实际问题的解决带来很大方便。

2. 举例说明什么是单项式、多项式

3. 穿在河流中行驶时，船的速度需要分两种情况讨论：

顺水行驶：船的速度=船在静水中的速度+水流速度

逆水行驶：船的速度=船在静水中的速度－水流速度

2.2整式的加减

1. 合并同类项和去括号整式加减的基础。

2. 同类项的两个条件：（1）所含字母相同（2）相同字母的指数也相同

3. 注意：数字不是字母

第四课时：整式的加减

1.去括号法则：1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同

π 2）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反

注意：1.去括号时，要连同括号前的符号一同去掉

2.注意括号前面的符号，它是去掉括号后，括号内各项是否变号的依据

3.括号前是“－”时，括号里各项都改变符号，不能只改变第一项或某几项的符号。

整式的加减：

一般步骤：（1）如果有括号，要先去括号

（2）若整式中有同类项要合并同类项，如果整式中没有同类项，那么就是最后的结果。

实质：合并同类项

注意：若有括号，用去括号的法则，然后在合并同类项，只要算式中没有同类项，就是最后结果。

第三章：一元一次方程

第一课时：一元一次方程

1. 概念：含有未知数的等式

2. 方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值

3. 解方程：求方程解的过程

4. 知识拓展：（1）方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示

（2）方程中未知数的个数不一定是一个，也可以是两个或两个以上

（3）方程是等式，但等式不一定是方程

方程的解和解方程的区别：方程的解是结果，解方程是过程。

第二课时：等式的性质 等式的性质：

性质一：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

即若a=b,则a±c=b±c

性质二：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等

即若a=b,则ac=bc,若a=b(c≠0),a÷c=b÷c,

应用：运用等式的性质可以解一元一次方程

用等式的性质解简单一元一次方程的步骤：

第一步：方程两边同时加或减同一个数

第二步：方程两边同时乘（或除以）用一个数（除数不为0）

第三课时：合并同类项与移向

1. 列方程解应用题的步骤

（1） 审：审题，分析题中已知是什么、求什么，明确各数量之间的关系。

（2） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系

（3） 设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）

（4） 列：根据这个相等关系列出所需要的代数式，从而列出方程；

（5） 解：解所列出的方程，求出未知数的值

（6） 答：检验所求得解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）

2. 在实际问题中如何列出方程

方程是一个等式，而等式表示了一个相等关系，对于任何一道应用题，要想列出方程，就得从问题中找出一个相等关系，每一个相等关系表示成等式后，总是有左边和右边，要搞清楚它的左边是什么，右边是什么，然后恰当地设出未知数，把等式左边和右边的各个量用含有已知数和未知数的代数式表示，这样得到的含有未知数的等式就是所要列出的方程。 3. 常见应用等式

（1）商品利润=商品售价-商品进价

商品利润率=商品利润/商品进价=（商品售价-商品进价）/商品进价

（2）路程=速度×时间

（3）工作量=工作效率×时间

人均效率=总工作量/工作时间×工作人数

在工程问题中把总工作量看成1.

（4）用电量（度）=功率（千瓦）×时间（时）

第四课时：实际问题与一元一次方程

1.销售问题：

利润：定义：利润是指商品赚的钱数

求法：利润=进价×利润率

利润=售价-进价

利润率：定义：利润率指利润占进价的百分比

求法：利润率=利润/进价

亏损率：定义：亏损率指亏损额占进价的百分比

求法：亏损率=亏损额/进价

2.多数量问题

产油量=亩产量×含油率×种植面积

总种植成本=亩种植成本×种植面积

售油收入=油菜单价×产油量

3.积分问题

球队总积分的计算（1）观察积分表，利用积分表中数据求出胜场和负场的积分标准

（2）找出球队的胜场数和负场数

（3）利用以上两条分别求出胜场总积分和负场总积分

（4）利用关系式：球队总积分=胜场总积分+负场总积分，求出总积分

生活中常见的积分问题：

（1） 篮球比赛：分胜场和负场两种情况

（2） 足球比赛：分胜场、平场和负场三种情况

（3） 数学竞赛：分答对题、答错题、不答题三种情况

第四章：图形的初步认识

第一课时：几何图形

1.常见的立体图形：1）球

2）柱体：圆柱

棱柱：三棱柱，四棱柱，五棱柱…

4） 椎体：圆锥

棱锥：三棱锥，四棱锥，无棱锥…

常见的平面图形：1）点

2）线：线段，直线，射线

3）面：三角形

四边形

圆

2.从不同方向观察物体

从正面看：可以分清楚物体的长度和高度，主要提供正面的形状 从左面看：可以分清楚物体的高度和宽度

从上面看：可以分清物体的长度和宽度

这些都是为了识别几何体的形状

4. 几何图形的折叠与展开

圆锥，圆柱，棱锥，棱柱，正方体

第二课时：点、线、面、体

1. 点：线与线相交成点，点是组成图形的基本元素

线:面与面相交成线，点动成线

面：包围着体是面，线动成面

体：体是由面围成的，面动成体：正方体，长方体，圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥

线有曲线和直线之分，面有平面和曲面之分，点不分大小，线不分粗细，面部分厚薄

2. 多面体的特征

做题方法：通过观察思考、动手操作、实验验证，最后归纳，总结，探究出多面体的面数、顶点数之间的关系，得出规律。

规律：顶点数+面数-楞数=2

归纳总结：用此公式可以解决已知多面体的顶点数、面数、楞数三者中的两者求第三者的问题。

第三课时：线段、射线和直线

1. 线段：

生活实例：一根拉紧的绳子，一根竹竿，人行横道

线段特点：线段是直的，他有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较大小 线段的表示方法：（1）用两个大写字母表示，如图

（2）用一个小写字母表示，如图

2. 射线：

定义：把线段向一方无限延伸所形成的图形是射线

射线特点：射线是直的，它有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，它无限长

注意：射线是直线的一部分，射线上有无穷多个点

两条射线的公共点可能没有，可能只有一个，可能有无穷多个。

3. 直线：

定义：把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线

特点：直线是直的，无粗细之分，没有端点，不可度量，不可以比较长短，无限长

性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线吗，简单的说：两点确定一条直线

表示方法：（1）可以用直线上任意两点表示，

（2）可以用一个小写字母表示

第四课时：线段公理

1. 线段公理：

公理：两点之间所有的线段中，线段最短，即两点之间线段最短

距离：两点之间线段的长度叫做两点之间的距离

线段与线段长度的区别：1）线段是图形，长度是数量

2）实际应用时常利用线段公理比较线段大小

2. 线段大小比较：

叠合法和度量法

3. 线段的中点与线段的和差

线段的中点的意义：如果M线段AB的中点，那么AM=BM=1/2AB 如果点M在AB上并且有AM=BM(或AM=1/2AB或BM=1/2AB),则M是线段AB的中点，还需加上条件，M在线段AB上。

线段的和与差：线段的和与差，是指线段长度的和与差，它通常用来比较线段的大小。

第五课时：角

1. 角的意义

定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角

这个公共端点叫角的顶点，这两条射线叫做角的边

角的分类：锐角，直角，钝角，平角，周角

注意：角的两边可以向两方无限延伸，叫的大小与边的长短无关

2. 角的度量

角用角度来表示，以度、分、秒为单位的度量制

角的度量规律1度=60分，1分=60秒，一平角=180度，一周角=360度

角度的换算：（1）由度化成度、分、秒的形式（即从高位向低位转换）

（2）把度、分、秒的形式转化成度（即从低位向高位转化）

（3）角度的加减乘除运算

3. 角的画法：

用量角器：使用量角器画小于平角的任何一个角，以及叫的和、差、几倍和几分之一。

用直尺和圆规：用尺规作一个角等于已知角，这是五种基本的尺规作图之一

用三角尺：在画角的时候可以借助三角尺画一些特殊的角。如30°，60°，90°，45°，135°120° 第六课时：角的比较与运算

1. 角的比较

度量法：用量角器直接测量角的度数，进行角的大小的比较

叠合法：两个角比较大小时，将两个角的顶点及一边重合，另一条边在重合边的同侧看，根据第二条边的位置来确定角的大小。

提醒：用叠合法比较角的大小与线段的大小类似

2. 角的平分线

定义：一条射线把一个角分成连个相等的角，这条射线叫这个角的平分线

如图，直线OC把∠AOB分成∠1、∠2，且∠1=∠2，

举例：则射线OC是∠AOB的平分线

第七课时：余角和补角

1. 余角

定义：如果两个角的和等于90度，就说这个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角

即锐角α的余角为90°－α

互余的角的性质：（1）互余的两个角都是锐角

（2）同角（或等角）的余角相等

（3）互余两角的和为直角

2. 补角

定义：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角。

即一个角α的补角为180.°－α

性质：（1）互补的两个角可能是一个为锐角且另一个为钝角，也可能是直角 （2）同角（或等角）的补角相等

（3）互补的两个角和为180°（平角）

3. 方位角

记忆要点：（1）上北下南，左西右东

（2）直角平分线上的方向分别为东南、东北、西南、西北

（3）以南北方向为基准方向

画法：先画两条成直角的南北向和东西向的直线，如图，直角的顶点为观测点

然后以观测点O为角的顶点，以南北直线为一边画出向东或向西偏转的角，进而确定观测的方向如北偏西30°

初一下

第五章相交线与平行线

5.1.1相交线中的角：

对顶角定义1：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角。

定义2：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，这两个角是对顶角。

对顶角是成对出现的。

对顶角的性质：对顶角相等。

邻补角定义1：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角

定义2：邻补角也可以看成是一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角。

注意：1）邻补角是成对出现的，其本质的特征是这两个角有一个公共顶点，有一条公共边，另一条边互为反向延长线。

2）邻补角与补角是两个不同的概念，互补的两个角只有数量上的关系没有位置上的关系。而邻补角不仅满足两个角的和等于180度，还要求这两个角有一个公共顶点，有一条公共边，另一条边互为反向延长线，因此两个角互为邻补角。一个角的补角可以有很多个，但是一个角的邻补角只有两个。

三线八角构成了同位角、内错角、同旁内角。

注意：1）同位角、内错角、同旁内角是指具有特殊位置关系的两个角，是成对出现的。 2）这三类角必须是由两直线被第三条直线所截形成的。

3）同位角特征：截线同旁，被截两线的同方向。

内错角特征：截线两旁，被截两线之间

同旁内角特征：截线同旁，被截两线之间

5） 这三类角是指上面四个角中的一个与下面四个角中的一个角之间的关系，他们有可能成为同位角、内错角和同旁内角。

6） 两条直线被第三条直线所截成的八个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角

5.1.2垂线

两条直线垂直的意义：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂足，他们的交点叫垂足。