2023年12月10日发(作者：文安中考数学试卷真题)

2023年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及答案

考试时间：180分钟，满分：150分

一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．

（1）已知函数（A）f(x,y)=ln(y+xsiny)，则（(0,1)存在

（B）

）

∂f∂x∂f∂x∂f(0,1)不存在，∂y∂f(0,1)，∂y(0,1)∂f∂x∂f(0,1)存在，∂y∂f(0,1)，∂y(0,1)(0,1)不存在

（C）均存在（D）∂f∂x均不存在

【答案】A

（2）设1x≤0,2f(x)=1+x的一个原函数为（

）

(x+1)cosx,x>0ln(1+x2−x)+1,（B）F(x)=(x+1)cosx−sinx,ln(1+x2+x)+1,（D）F(x)=(x+1)sinx+cosx,x≤0x>0x≤0x>0ln(1+x2−x),x≤0（A）F(x)=(x+1)cosx−sinx,x>0ln(1+x2+x),x≤0（C）F(x)=(x+1)sinx+cosx,x>0【答案】D

（3）若微分方程y′′+ay′+by（A）a<0,b>0（C）a=0的解在(−∞,+∞)上有界，则（

）

>0,b>0=0,b<0∞∞∞∞（B）a（D）a=0,b>0【答案】C

（4）已知an

）

（A）充分必要条件（C）必要不充分条件【答案】A

（B）充分不必要条件（D）既不充分也不必要条件1 / 5 AE（5）设A，B为n阶可逆矩阵，M*为矩阵M的伴随矩阵，则=（

）

OBAB*（A）OBA*（C）O（6）二次型（A）*−B*A*BA*−B*A**ABBA*（B）OAB*（D）O（B）y1（D）y12−A*B*AB*−A*B**BAf(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x1+x3)2−4(x2−x3)2的规范形为（

）

y12+y222−y22+y22−y32（C）y1+y22−4y322【答案】B

1221β=5β=0若γ既可由α,α线性表示，也可（7）已知向量α1=2，α2=121213191，，，由β1,β2线性表示，则γ=（ ）

3（A）k3,k∈R4−1（C）k1,k∈R2【答案】D

3（B）k5,k∈R101（D）k5,k∈R8（8）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则EX−EX（A）()=（

）

1e（B）12（C）2e2（D）1【答案】C

（9）设X1,X2,,Xn为来自总体N(μ1,σ)的简单随机样本，Y1,Y2,,Ym为来自总体N(μ2,2σ)的21n1m简单随机样本，且两样本相互独立，记X=Xi，Y=Yi，ni=1mi=11n1m22(Xi−X),S2=(Yi−Y)2,则（

）

S=n−1i=1m−1i=1212 / 5 S12（A）2F(n,m)S22S12（C）2F(n,m)S2【答案】D

S12（B）2F(n−1,m−1)S22S12（D）2F(n−1,m−1)S2其中σ(σ>0)是未知参数，记σ=aX1−X2,（10）设X1,X2为来自总体N(μ,σ2)的简单随机样本，若E(σ)=σ,则a=（

）

（A）π2

（B）2π2

（C）π（D）2π【答案】A

二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上．

（11）limx2−xsinx→∞【答案】211−cos=________

xx23（12）已知函数f(x,y)满足df(x,y)=【答案】∞xdy−ydxπf(1,1)=，，则f(3,3)=________

x2+y24π3x2n（13）=_________n=0(2n)!ex+e−x【答案】2（14）设某公司在t时刻的资产为f(t)，从0时刻到t时刻的平均资产等于f(t)−t，假设f(t)连续且tf(0)=0，则f(t)=________

【答案】2(et−t−1)ax1+x3=1a01x+ax+x=0123（15）已知线性方程组有解，其中a,b为常数，若1a1=4，20x+x+ax=23112aax1+bx2=21a1则12a=_______ab03 / 5 【答案】8

（16）设随机变量X与Y相互独立，且XB(1,p)，YB(2,p),p∈(0,1)，则X+Y与X−Y的相关系数为________

【答案】−13三、解答题：17～22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（17）（本题满分10分）

已知可导函数y=y(x)满足aex+y2+y−ln(1+x)cosy+b=0，且y(0)=0，y′(0)=0

（1）求a,b的值；（2）判断x=0是否为y(x)的极值点【答案】（1）a=1,b=−1

（2）x=0是y(x)的极大值点（18）（本题满分12分）

已知平面区域D={(x,y)0≤y≤1x1+x2,x≥1}（1）求D的面积（2）求D绕x轴旋转所成旋转体的体积【答案】（1）S=ln(1+（2）V=π−2)π24（19）（本题满分12分）

已知平面区域D={(x,y)(x−1)2+y2≤1}，计算二重积分I=【答案】33−Dx2+y2−1dxdyπ9−3294 / 5 （20）（本题满分12分）

设函数f(x)在[−a,a]上具有2阶连续导数，证明：

（1）若f(0)=0，则存在ξ∈(−a,a)，使得f′′(ξ)=1[f(a)+f(−a)]2a1f(a)−f(−a)22a（2）若f(x)在(−a,a)内取得极值，则存在η∈(−a,a)，使得f′′(η)≥【答案】（1）利用泰勒公式在x=0处展开，再利用介值性定理；

（2）利用泰勒公式在极值点处展开，再利用基本不等式进行放缩；（21）（本题满分12分）

x1x1+x2+x3设矩阵A满足对任意x1,x2,x3均有Ax2=2x1−x2+x3xx−x233（1）求A（2）求可逆矩阵P与对角矩阵Λ，使得P−1AP=Λ111【答案】（1）A=2−1101−1240−1−1−2（2）P=3−10，PAP=Λ=112−1（22）（本题满分12分）

ex,−∞02(1)+y()fy=（2）0,else（3）不存在5 / 5


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