2023年12月2日发(作者：北师大小考数学试卷免费)

初三第一学期期末学业水平调研

数学

学校___________________ 姓名________________ 准考证号__________________

1. 本调研卷共8页，满分100分，考试时间120分。

注2. 在调研卷和答题纸上准确填写学校名称，姓名和准考证号。

意3. 调研卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在调研卷上作答无效。

事4. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

项

5.

调研结束，请将本调研卷和答题纸一并交回。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1．抛物线yA．1,3

x1

23的顶点坐标为

B．

1,3 C．1,3 D．3,1

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P4，3，OP与x轴正半轴的夹角为α，则tan的值为

3

53 C．

43．方程x2x30的根的情况是

A．4

54D．

3B．A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．无实数根D．只有一个实数根

4．如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△ABC，当B，C，A在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为

A．150° B．120°

C．60° D．30°

AB\'

BCA\'5．如图，在平面直角坐标系xOy中，B是反比例函数y象上的一点，则矩形OABC的面积为

2(x0)的图xyCOBAxA．1 B．2

C．3 D．4

6．如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，

若AD:AB=2:3，则△ADE和△ABC的面积之比等于

．．A．2:3B．4:9C．4:5D．2:3

DAE

CB7．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角PCABDQ30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为

PABQ30°30°CD闸机箱

图1 图2

A．(543+10)cm

闸机箱B．(542+10)cm

C．64cm D． 54cm

8．在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是

A．y1 B.y2

C．y3 D.y4

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

–6–5–4y1y2y3y54321y4–3–2–1–1–2–3–4O1234x9．方程x23x0的根为．

10．半径为2且圆心角为90°的扇形面积为．

11．已知抛物线的对称轴是xn，若该抛物线与x轴交于，两点，则n的值为．

（，10）（3，0）

12．在同一平面直角坐标系xOy中，若函数yx与y取值范围是．

k则k的k0的图象有两个交点，x13．如图，在平面直角坐标系xOy中，有两点A2，4，B4，0，以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OAB.若B的坐

标为2，0，则点A的坐标为．

y54321AOB\'123B45x14．已知(1，y1)，(2，y2)是反比例函数图象上两个点的坐标，且y1合条件的反比例函数的解析式．

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A3，0，判断在满足到点O和点A的距离都小于2的M，N，P，Q四点中，点是 ．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为 ．

y2，请写出一个符y21PM12A345O–1–2xNQyP321

–3–2–1O123x

三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28题，每小题7分）

17．计算：cos45Q2sin302．

0

18．如图，AD与BC交于O点，A

C，AO4，CO2，CD3，求AB的长．

AOBCD19．已知xn是关于x的一元二次方程mx24x50的一个根，若mn24nm6，求m的值．

20．近视镜镜片的焦距y（单位：米）是镜片的度数x（单位：度）的函数，下表记录了一组数据：

x（单位：度） … 100 250 400 500 …

y（单位：米）

… 1.00 0.40 0.25 0.20 …

（1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是_________；

1

x

10013C．yx+

2002A．y

B．yD．y100

xx21319

x400008008（2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为________米．

21．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．

已知：如图，⊙O及⊙O上一点P.

求作：过点P的⊙O的切线．

作法：如图，

① 作射线OP；

②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；

③连接并延长BA与⊙A交于点C；

④作直线PC；

则直线PC即为所求．

根据小元设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：∵ BC是⊙A的直径，

∴∠BPC=90°（____________）（填推理的依据）．

∴OP⊥PC．

又∵OP是⊙O的半径，

∴PC是⊙O的切线（____________）（填推理的依据）．

22．2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景.大AOPOP桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥AC段垂直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得PA,PB与观光船航向PD的夹角∠DPA=18°，∠DPB=53°，求此时观光船到大桥AC段的距离PD的长．

参考数据：sin18°0.31，cos18°0.95，tan18°0.33，

sin53°0.80，cos53°0.60，tan53°1.33．

23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y（1）求k的值；

（2）设点P(m，n)是双曲线y1x与双曲线y2k的一个交点是A(2,a)．

xk上不同于A的一点，直线PA与x轴交于点B(b,0)．

x①若m1，求b的值；

②若PB=2AB，结合图象，直接写出b的值．

y

5

4

32

1

–5–4–3–2–1O12345x–1

–2

–3

–4–5

24．如图，A，B，C为⊙O上的定点．连接AB，AC，M为AB上的一个动点，连接CM，将射线MC绕点M顺时针旋转90，交⊙O于点D，连接BD．若AB=6cm，AC=2cm，记A，M两点间距离为xcm，B，D两点间的距离为ycm．

CAOMDB

小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小东探究的过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：

．．．．．．1.43 0.66 0 1.31 2.59 2.76 1.66 0

（2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

x/cm

y/cm

0 0.25 0.47 1 2 3 4 5 6

y4321

（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BD=AC时，AM的长度约为cm．

25．如图，AB是⊙O的弦，半径OEC，CE 与AB交于点F．

（1）求证：PC=PF；

O1234567xAB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点（2）连接OB，BC，若OB//PC，BC32，tanP3，求FB的长.

4EFBPAOC

26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y4x28ax4a2

4，A(1,0),N(n,0)．（1）当a1时，

①求抛物线G与x轴的交点坐标；

②若抛物线G与线段AN只有一个交点，求n的取值范围；

（2）若存在实数a，使得抛物线G与线段AN有两个交点，结合图象，直接写出n的取值范围．

y54321–5–4–3–2–1O–1–2–3–4–512345x27．已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．

（1）如图1，

①求证：点B,C,D在以点A为圆心，AB为半径的圆上.

②直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为___________.

（2）如图2，当α=60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE=BD；

（3）如图3，当α=90°时，记直线l与CD的交点为F，连接BF．将直线l绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tanFBC的值．

DADAlDlABClFBCEBC图1 图2 图3

28．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,a)和点B(b，0)，给出如下定义：以AB为边，按照逆时针方向排列A，B，C，D四个顶点，作正方形ABCD，则称正方形ABCD为点A，B的逆序正方形．例如，当a4，b3时，点A，B的逆序正方形如图1所示．

yC54321y54321–5–4–3–2–1O–1DB12345x–2–3–4A–5–5–4–3–2–1O–1–2–3–4–512345x图1 图2

（1）图1中点C的坐标为；

（2）改变图1中的点A的位置，其余条件不变，则点C的坐标不变（填“横”或“纵”），它的值为；

（3）已知正方形ABCD为点A，B的逆序正方形.

①判断：结论“点C落在x轴上，则点D落在第一象限内．”______（填“正确”或“错误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反例；

②⊙T的圆心为T(t,0)，半径为1.若a4，b0，且点C恰好落在⊙T上，直y54321–5–4–3–2–1O–1–2–3–4–512345x接写出t的取值范围.

备用图

初三第一学期期末学业水平调研

数学试卷答案及评分参考

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

题号

答案

1

A

2

C

3

C

4

A

5

B

6

B

7

C

8

A

第8题：二次函数a的绝对值的大小决定图像开口的大小 ，︱a︳越大，开口越小，显然a1

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．x10，x23 10．π 11． 2

2

12．k0

13．1，16．3

14．答案不唯一，如：y115．M，N

x

第16题：OQ2=OP2-1,OP最小时，OQ最小，OPmin=2，∴OQmin=3

三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程．

17．（本小题满分5分）

2121 ………………………………………………………………3分

222 =．…………………………………………………………………………5分

218．（本小题满分5分）

解：原式=

证明：∵AC，AOBCOD，

∴△AOB∽△COD． …………………………………………………………3分

AOAB．

COCD∵AO4，CO2，CD3，

∴∴AB6．……………………………………………………………………… 5分

19．（本小题满分5分）

解：依题意，得mn24n50．…………………………………………………… 3分

∴mn24n5．

∵mn24nm6，

∴5m6．∴m1．……………………………………… 5分 20．（本小题满分5分）

解：（1）B．……………………………………………………………………………… 3分

（2）0.50．………………………………………………………………………… 5分

21．（本小题满分5分）

（1）补全的图形如图所示：

CAOPB………………………………………3分

（2）直径所对的圆周角是直角；……………………………………………………… 4分

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．…………………… 5分

22．（本小题满分5分）

解：在Rt△DPA中，

AD，

PD∴ADPDtanDPA．…………………………………………………………2分

∵tanDPA在Rt△DPB中，

BD，

PD∴BDPDtanDPB．……………………………………………………….. 4分

∵tanDPB∴ABBDADPDtanDPBtanDPA．

∵AB5.6，DPB53°，DPA18°，

∴PD5.6．………………………………………………………………………5分

答：此时观光船到大桥AC段的距离PD的长为5.6千米．

23．（本小题满分6分）

解：（1）∵直线y

1x经过点A2，a，

2∴a1．……………………………………………………………………… 1分

1 ∴A2，又∵双曲线y

k经过点A，

x∴k2．……………………………………………………………………… 2分

2． （2）①当m1时，点P的坐标为1，

∴直线PA的解析式为yx3．………………..………………………. 3分

0， ∵直线PA与x轴交于点Bb，∴b3．……………………………………………………...4分

②b1或3．………………………………………………………………… 6分

24．（本小题满分6分）

解：本题答案不唯一，如：

（1）

x/cm

0 0.25 0.47

0

1 2 3 4 5 6

0

y/cm

1.43 0.66

（2）

1.31 2.59 2.76

2.41 1.66

…………………………………………………………………………………………… 1分

y4321O1234567x

…………………………………………………………………………………………… 4分

（3）1.38或4.62．……………………………………………………………... 6分

说明：允许（1）的数值误差范围0.05；（3）的数值误差范围0.2

25．（本小题满分6分）

（1）证明：如图，连接OC．

∵OE⊥AB，

∴EGF90°．

∵PC与⊙O相切于点C，

CAEGOFBP∴OCP=90°．……………… 1分

∴EEFGOCFPCF90°．

∵OEOC，

∴EOCF．………………………………………………………… 2分

∴EFGPCF．

又∵EFGPFC，

∴PCFPFC．

∴PCPF．……………………………………………………………… 3分

（2）方法一： 解：如图，过点B作BH⊥PC于点H．

∵OB∥PC，OCP90，

∴BOC90．

∵OBOC，

∴OBCOCB45°．

∴BCHOBC45°．

在Rt△BHC中，BC32，

CAEGOHFBP可得BHBCsin45°3，CHBCcos45°3．…………...… 4分

在Rt△BHP中，tanP可得PH3，

4BH4．…………………………………………………….. 5分

tanP22∴BPPHBH5．

∴PCPHCH7．

∴PFPC．

∴FBPFPBPCPB2．…………………………………………6分

解：如图，过点C作CH⊥AP于点H．

∵OB∥PC，OCP90，

AEGOFHBP方法二：

∴BOC90°．

∵OBOC，

∴OBCOCB45°．

在Rt△OBC中，BC32，

C可得OBBCsin45°3．……………………………………………… 4分

∴OEOB3．

∵GBOP，tanP∴tanGBO3，

43．

4OG，OB3．

GB在Rt△GBO中，tanGBO∴OG912，GB．…………………………………………………… 5分

556 ∴EGOEOG．

5CH 在Rt△CHP中，tanP，CH2PH2PC2．

PH设CH3x，则PH4x，PC5x．

∵PCPF，

∴FHPFPHx．

∵EFGCFH，EGFCHF90，

∴△EGF∽△CHF

FGFH1．

EGCH312 ∴FGEG．

35∴ ∴FBGBFG2．…………………………………………………… 6分

解：如图，过点C作CH⊥AP于点H，连接AC．

∵OB∥PC，OCP90，

∴BOC90．

方法三：

1BOC45°．…………………………… 4分

2ECH3在Rt△CHP中，tanP，

GFHBAPH4∴A 设CH3x，则PH4x，PC5x．

在Rt△AHC中，A45°，CH3x，

∴AHCH3x，AC32x．

COP∴PAAHPH7x．………………………………………………… 5分

∵PP，PCBA45，

∴△PCB∽△PAC．

∴PBPCBC．

PCPAAC∵BC32，

∴x7，PC7，PB5．

5∵PFPC，

∴PF7．

∴FBPFPB2．…………………………………………………… 6分

方法四：解：如图，延长CO交AP于点M．

∵OB∥PC，OCP90，

∴BOC90．

在Rt△OBC中，BC32，OBOC，

可得OB3．…………………………4分 ∵MBOP，tanP

3，

43∴tanMBO．

4在Rt△MBO中，tanMBOOM3，

OB4 可得OM915，BM． ………………………………………..5分

44∴CM21．

4在Rt△PCM中，tanP可得PC7，PMCM3，

PC435．

4∴PBPMBM5，PFPC7．

∴FBPFPB2．…………………………………………………… 6分

26．（本小题满分6分）

解：（1）①当a1时，y4x8x．…………………… 1分

当y0时，4x8x0，

解得x10，x22．

22y32A–11O–1–2–3123x0，2，0． ∴抛物线G与x轴的交点坐标为0，–4…………………………………………………………………2分

②当n0时，抛物线G与线段AN有一个交点．

当n2时，抛物线G与线段AN有两个交点．

结合图象可得0n2．……………………… 4分

（2）n3或n1．……………………………………………………………… 6分

（2）解析：

y=4x2-8ax+4a2-4，y=2(x-a)2-4,

∴顶点(a,-4)，x1=a+1，x2=a-1

若抛物线与x轴交于E、F两点，则EF= ∣x1- x2∣=2

AN=∣xA- xN∣=∣n+1∣

AN≥EF时，线段AN与抛物线G有两个交点，即n≤-3或 n≥1。

27．（本小题满分7分）

（1）①证明：连接AD，如图1．

∵点C与点D关于直线l对称，

∴ACAD． ……………………… 1分

∵ABAC，

DAB图1

lC

∴ABACAD．

∴点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上．………………… 2分

②． ……………………………………………………………………………3分

DAl12（2）证法一：

证明：连接CE，如图2．

∵=60°，

∴BDC30°．

∵DE⊥BD，

∴CDE90°BDC60°．

∵点C与点D关于直线l对称，

∴ECED．

∴△CDE是等边三角形．

∴CDCE，DCE60°．

∵ABAC，BAC60°，

∴△ABC是等边三角形．

∴CACB，ACB60°．

12EBC图2

…………………………………………………………………………………………… 4分

∵ACEDCEACD，BCDACBACD，

∴ACEBCD．

∴△ACE≌△BCD．

∴AEBD．……………………………………………………………… 5分

证法二：

证明：连接AD，如图2．

∵点C与点D关于直线l对称，

∴ADAC，AE⊥CD．

D

A

l

1∴DAEDAC．

21∵DBCDAC，

2∴DBCDAE．

∵AE⊥CD，BD⊥DE，

E

B

C

图2

∴BDCCDEDEACDE90°．

∴BDCDEA．

∵ABAC，BAC60°，

∴△ABC是等边三角形．

∴CACBAD．

∴AEBD．……………………………………………………………… 6分

∴△BCD≌△ADE………………………………………………………4分

（3）．………………………………………………………………………………… 7分

13（3）解析：

方法一：O是AC中点，BO+OF≥BF,设BC=4，BO=√10,OF=√2，即BFmax=√10+√2，

此时tan∠FBC=1/3。

方法二：以AC为直径作圆O，∠AFC=90o, ∴F必在⊙O上，又，圆外一点到圆上最长距

离经过圆心，∴B、O、F三点共线时BF最长。计算如上。

28．（本小题满分7分）

解：（1）图1中点C的坐标为

13，

．…………………………………………… 1分

（2）改变图1中的点A的位置，其余条件不变，则点C的纵坐标不变，

它的值为3．………………………………………………………………3分

（3）①判断：结论“点C落在x轴上，则点D落在第一象限内．”错误．

反例如图所示：

yCO（B）xDA

…………………………………………………………………………………………… 5分

②

3t42．…………………………………………………………… 7

方法一： 可证:C点坐标（b+a,b）A、B、C三点共圆，圆心为AC中点Q点，若C点落在⊙T上，又b>0,则⊙T所在极限位置为⊙T1与⊙T2(⊙T2与直线相切）所在位置。

T1（3，0）

a=4时，C(4+b,b)，

△ABB1≌△B1HC1

C1H=B1B=b

CH=BH-BC=b

∴C1H= CH

设C点所在直线y=mx+n

∴m=1

过点C(4+b,b)

∴y=x-4

⊙T2与直线相切

∴CT2=√2

∴T2（4+√2，0）

∵b>0 ∴3t42

方法二：

方法三：

方法四：


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