[考研类试卷]考研数学一(高等数学)模拟试卷240

2023年12月2日发(作者：姜堰四中数学试卷答案解析)

[考研类试卷]考研数学一（高等数学）模拟试卷240

一、选择题

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 在下列四个命题中正确的是

（A）设χ0∈(a，b)，函数f(χ)满足f′(χ)＞0(a＜χ＜χ0)和f′(χ)＜0(χ0＜χ＜b)，则f(χ)在点χ＝χ0处取得它在(a，b)上的最大值．

（B）设f(χ)在点χ＝χ0取得极大值，则存在正数δ＞0，使函数f(χ)在(χ0－δ，χ0)内单调增加，在(χ0，χ0＋δ)内单调减少．

（C）设f(χ)在区间(－a，a)内为偶函数(其中a＞0是一个常数)，则χ＝0必是f(χ)的一个极值点．

（D）设f(χ)在区间(－a，a)内可导且为偶函数(其中a＞0是一个常数)，则f′(0)＝0．

2 设函数f(χ)在(－∞，＋∞)连续，其导函数f′(χ)的图形如图(1)所示，则

（A）函数f(χ)有两个极大值点与一个极小值点，曲线y＝f(χ)有一个拐点．

（B）函数f(χ)有一个极大值点与两个极小值点，曲线y＝f(χ)有一个拐点．

（C）函数f(χ)有两个极大值点与一个极小值点，曲线y＝f(χ)有两个拐点．

（D）函数f(χ)有一个极大值点与两个极小值点，曲线y＝f(χ)有两个拐点．

答案见麦多课文库 二、填空题

3

＝_______．

4

5 设f(χ)是满足＝_______．

＝－1的连续函数，且当χ→0时f(t)dt是与Aχn等价无穷小，则A＝_______与n＝_______．

6 设f(χ)连续，且当χ→0时F(χ)＝∫0χ(χ2＋1－cost)f(t)dt是与χ3等价的无穷小，则f(0)＝_______．

7 函数f(χ)＝的单调减少区间是_______．

8 若方程χ3－6χ2－15χ＋a＝0恰有三个实根，则a的取值范围是_______．

三、解答题

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9 设f〞(χ)＞0，求证：f(a＋h)＋f(a－h)≥2f(a)．

10 求证：当χ＞0时，不等式ln(e2χ＋χ)＞3χ－χ2成立．

11 证明当χ＞0时不等式e－χ(χ2－aχ＋1)＜1成立，其中常数a＞0．

答案见麦多课文库 12 利用柯西中值定理证明不等式： 1＋χln＋∞．

13 证明不等式(a＋b)ea+b＜ae2a＋be2b当b＞a＞0时成立．

，－∞＜χ＜

14 设函数f(χ)在[0，＋∞)有连续的一阶导数，在(0，＋∞)二阶可导，且f(0)＝f′(0)＝0，又当χ＞0时满足不等式 χf〞(χ)＋4ef(χ)≤2ln(1＋χ)． 求证：当χ＞0时f(χ)＜χ2成立．

15 设函数f(χ)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝1，． 求证：对任何满足0＜k＜1的常数k，存在ξ∈(0，1)，使f′(ξ)＝－k．

16 设函数f(χ)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内二阶可导，且f(a)＝f(c)＝f(b)，其中c是(a，b)内的一点，且在[a，b]内的任何区间I上f(χ)不恒等于常数．求证：在(a，b)内至少存在一点ξ，使f〞(ξ)＜0．

17 设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)＝0，求证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(2ξ＋1)f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．

18 设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足 f(1)＝k1)， 证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝(1－ξ－1)f(ξ)．

χ1－χf(χ)dχ (k＞

19 设函数f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，试证存在ξ，η，ζ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝eζ－ηf′(η)．

20 设函数f(χ)与g(χ)都在区间[0，1]上连续，在区间(0，1)内可导，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．求证：存在ξ∈(0，)与η∈(，1)使得f′(ξ)＋f′(η)＝g′(ξ)＋g′(η)．

21 设函数f(χ)在[a，b]上一阶可导，在(a，b)内二阶可导，且f(a)＝f(b)＝0，f′(a)f′(b)＞0．求证： (Ⅰ)ξ∈(a，b)使得f′(ξ)＝f(ξ)； (Ⅱ)η∈(a，b)使得f〞(η)＝f(η)．

答案见麦多课文库 22 求ln(1＋χ－χ2)的带皮亚诺余项的麦克劳林公式到χ4项．

23 求极限

24 设函数f(χ)在χ＝0的某邻域中二阶可导，且f′(0)与f〞(0)之值．

＝0，求f(0)，

25 (Ⅰ)确定常数a，b，c的值，使得函数f(χ)＝χ＋aχ5＋(b＋cχ2)tanχ＝o(χ5)，其中o(χ5)是当χ→0时比χ5高阶的无穷小量； (Ⅱ)确定常数a与b的值，使得函数f(χ)＝χ－(a＋bcosχ)sinχ当χ→0时成为尽可能高阶的无穷小量．

26 设f(a，b)在[a，b]上二阶可导，f(a)＝f(b)＝0．证明至少存在一点ξ∈(a，b)使得｜f〞(ξ)｜≥

27 设函数f(χ)在[0，1]上有连续的三阶导数，且f(0)＝1，f(1)＝2，f′()＝0．证明在区间(0，1)内至少存在一点ξ，使得｜f″′(ξ)｜≥24．

28 设函数f(χ)和g(χ)在[0，1]上连续，且 f(χ)＝3χ2＋1＋∫01g(χ)dχ，g(χ)＝－χ＋6χ2∫01f(χ)dχ． 求f(χ)和g(χ)的表达式．

｜f(χ)｜．

答案见麦多课文库