2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国2卷)文科数学及答案解析

2023年12月2日发(作者：2011 1数学试卷)

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2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）

文科数学

本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝（ ）

A．（﹣1，+∞） B．（﹣∞，2） C．（﹣1，2） D．∅

2．（5分）设z＝i（2+i），则＝（ ）

A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i

3．（5分）已知向量＝（2，3），＝（3，2），则|﹣|＝（ ）

A． B．2 C．5 D．50

4．（5分）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ）

A． B． C． D．

5．（5分）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．

甲：我的成绩比乙高．

乙：丙的成绩比我和甲的都高．

丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）

A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙 6．（5分）设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（ ）

A．ex﹣1

﹣B．ex+1

﹣C．﹣ex﹣1

﹣D．﹣ex+1

﹣7．（5分）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ）

A．α内有无数条直线与β平行

B．α内有两条相交直线与β平行

C．α，β平行于同一条直线

D．α，β垂直于同一平面

8．（5分）若x1＝＝（ ）

A．2 B． C．1 D．

，x2＝是函数f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，则ω9．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆A．2 B．3

+＝1的一个焦点，则p＝（ ）

D．8 C．4

10．（5分）曲线y＝2sinx+cosx在点（π，﹣1）处的切线方程为（ ）

A．x﹣y﹣π﹣1＝0

C．2x+y﹣2π+1＝0

11．（5分）已知α∈（0，A． B．B．2x﹣y﹣2π﹣1＝0

D．x+y﹣π+1＝0

），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（ ）

C． D．

12．（5分）设F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（ ）

A． B． C．2 D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）若变量x，y满足约束条件则z＝3x﹣y的最大值是 ．

14．（5分）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 ． 15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB＝0，则B＝ ．

16．（5分）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有 个面，其棱长为 ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．

（1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E﹣BB1C1C的体积．

18．（12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16．

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和． 19．（12分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．

y的分组

企业数

[﹣0.20，0）

2

[0，0.20） [0.20，0.40） [0.40，0.60） [0.60，0.80）

24 53 14 7

（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；

（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01）

附：≈8.602．

+＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，20．（12分）已知F1，F2是椭圆C：O为坐标原点．

（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；

（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．

21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx﹣x﹣1．证明：

（1）f（x）存在唯一的极值点；

（2）f（x）＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在极坐标系中，O为极点，点M（ρ0，θ0）（ρ0＞0）在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A（4，0）且与OM垂直，垂足为P．

（1）当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．

（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；

（2）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．

2019年全国统一高考数学答案解析（文科）（全国2卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．【分析】直接利用交集运算得答案．

【解答】解：由A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜2}，

得A∩B＝{x|x＞﹣1}∩{x|x＜2}＝（﹣1，2）．

故选：C．

【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．

2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．

【解答】解：∵z＝i（2+i）＝﹣1+2i，

∴＝﹣1﹣2i，

故选：D．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

3．【分析】利用向量的坐标减法运算求得的坐标，再由向量模的公式求解．

【解答】解：∵＝（2，3），＝（3，2），

∴∴|＝（2，3）﹣（3，2）＝（﹣1，1），

|＝．

故选：A．

【点评】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量模的求法，是基础题．

4．【分析】本题根据组合的概念可知从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为有2只测量过该指标是从3只侧过的里面选2，从未测的选1，组合数为出概率．

【解答】解：由题意，可知：

根据组合的概念，可知：

，恰．即可得从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为恰有2只测量过该指标的所有情况数为．

，

∴p＝故选：B．

＝．

【点评】本题主要考查组合的相关概念及应用以及简单的概率知识，本题属基础题．

5．【分析】本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手，因为只有一个人预测正确，而乙对则丙必对，丙对乙很有可能对，假设丙对乙错则会引起矛盾故只有一种情况就是甲预测正确乙、丙错误，从而得出结果．

【解答】解：由题意，可把三人的预测简写如下：

甲：甲＞乙．

乙：丙＞乙且丙＞甲．

丙：丙＞乙．

∵只有一个人预测正确，

∴分析三人的预测，可知：乙、丙的预测不正确．

如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意．

如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，

则有丙＞乙，乙＞甲，

∵乙预测不正确，而丙＞乙正确，

∴只有丙＞甲不正确，

∴甲＞丙，这与丙＞乙，乙＞甲矛盾．

不符合题意．

∴只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，

甲＞乙，乙＞丙．

故选：A．

【点评】本题主要考查合情推理，因为只有一个人预测正确，所以本题关键是要找到互相关联的两个预测入手就可找出矛盾．从而得出正确结果．本题属基础题．

6．【分析】设x＜0，则﹣x＞0，代入已知函数解析式，结合函数奇偶性可得x＜0时的f（x）．

【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0， ∴f（﹣x）＝ex﹣1，

﹣∵设f（x）为奇函数，∴﹣f（x）＝ex﹣1，

﹣即f（x）＝﹣ex+1．

﹣故选：D．

【点评】本题考查函数的解析式即常用求法，考查函数奇偶性性质的应用，是基础题．

7．【分析】充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论

【解答】解：对于A，α内有无数条直线与β平行，α∩β或α∥β；

对于B，α内有两条相交直线与β平行，α∥β；

对于C，α，β平行于同一条直线，α∩β或α∥β；

对于D，α，β垂直于同一平面，α∩β或α∥β．

故选：B．

【点评】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题．

8．【分析】x1＝，x2＝是f（x）两个相邻的极值点，则周期T＝2（．

是函数f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，

）＝，然后根据周期公式即可求出【解答】解：∵x1＝∴T＝2（∴ω＝2，

故选：A．

，x2＝＝）＝【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，关键是根据条件得出周期，属基础题．

9．【分析】根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得．

【解答】解：由题意可得：3p﹣p＝（）2，解得p＝8．

故选：D．

【点评】本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题．

10．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝π时的导数，再由直线方程点斜式得答案．

【解答】解：由y＝2sinx+cosx，得y′＝2cosx﹣sinx，

∴y′|x＝π＝2cosπ﹣sinπ＝﹣2， ∴曲线y＝2sinx+cosx在点（π，﹣1）处的切线方程为y+1＝﹣2（x﹣π），

即2x+y﹣2π+1＝0．

故选：C．

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．

11．【分析】由二倍角的三角函数公式化简已知可得4sinαcosα＝2cos2α，结合角的范围可求sinα＞0，cosα＞0，可得cosα＝2sinα，根据同角三角函数基本关系式即可解得sinα的值．

【解答】解：∵2sin2α＝cos2α+1，

∴可得：4sinαcosα＝2cos2α，

∵α∈（0，），sinα＞0，cosα＞0，

∴cosα＝2sinα，

∵sin2α+cos2α＝sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1，

∴解得：sinα＝故选：B．

【点评】本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

12．【分析】由题意画出图形，先求出PQ，再由|PQ|＝|OF|列式求C的离心率．

【解答】解：如图，

．

由题意，把x＝代入x2+y2＝a2，得PQ＝，

再由|PQ|＝|OF|，得，即2a2＝c2，

∴，解得e＝． 故选：A．

【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图：

化目标函数z＝3x﹣y为y＝3x﹣z，由图可知，当直线y＝3x﹣z过A（3，0）时，

直线在y轴上的截距最小，z有最大值为9．

故答案为：9．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

14．【分析】利用加权平均数公式直接求解．

【解答】解：∵经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，

有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，

∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：

＝（10×0.97+20×0.98+10×0.99）＝0.98．

故答案为：0.98．

【点评】本题考查经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值的求法，考查加权平均数公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．

15．【分析】由正弦定理化简已知等式可得sinAsinB+sinAcosB＝0，由于sinA＞0，化简可得tanB＝﹣1，结合范围B∈（0，π），可求B的值为． 【解答】解：∵bsinA+acosB＝0，

∴由正弦定理可得：sinAsinB+sinAcosB＝0，

∵A∈（0，π），sinA＞0，

∴可得：sinB+cosB＝0，可得：tanB＝﹣1，

∵B∈（0，π），

∴B＝．

． 故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

16．【分析】中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，上层是有8+1，个面，下层也有8+1个面，故共有26个面；半正多面体的棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的cos45＝倍．

x+x＝1，【解答】解：该半正多面体共有8+8+8+2＝26个面，设其棱长为x，则x+解得x＝﹣1．

﹣1． 故答案为：26，【点评】本题考查了球内接多面体，属中档题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．【分析】（1）由线面垂直的性质可得B1C1⊥BE，结合BE⊥EC1利用线面垂直的判定定理可证明BE⊥平面EB1C1；

（2）由条件可得AE＝AB＝3，然后得到E到平面BB1C1C的距离d＝3，在求四棱锥的体积即可．

【解答】解：（1）证明：由长方体ABCD﹣A1B1C1D1，可知

B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，

∴B1C1⊥BE，

∵BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，

∴BE⊥平面EB1C1； （2）由（1）知∠BEB1＝90°，由题设可知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，

∴∠AEB＝∠A1EB1＝45°，∴AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6，

∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，

∴E到平面BB1C1C的距离d＝AB＝3，

∴四棱锥E﹣BB1C1C的体积V＝×3×6×3＝18．

【点评】本题考查了线面垂直的判定定理和性质，考查了四棱锥体积的求法，属中档题．

18．【分析】（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；

（2）把（1）中求得的{an}的通项公式代入bn＝log2an，得到bn，说明数列{bn}是等差数列，再由等差数列的前n项和公式求解．

【解答】解：（1）设等比数列的公比为q，

由a1＝2，a3＝2a2+16，得2q2＝4q+16，

即q2﹣2q﹣8＝0，解得q＝﹣2（舍）或q＝4．

∴（2）bn＝log2an＝；

，

∵b1＝1，bn+1﹣bn＝2（n+1）﹣1﹣2n+1＝2，

∴数列{bn}是以1为首项，以2为公差的等差数列，

则数列{bn}的前n项和．

【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和，考查对数的运算性质，是基础题．

19．【分析】（1）根据频数分布表计算即可；

（2）根据平均值和标准差计算公式代入数据计算即可．

【解答】解：（1）根据产值增长率频数表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业为：

＝0.21＝21%，

产值负增长的企业频率为：＝0.02＝2%，

用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%； （2）企业产值增长率的平均数＝30%，

产值增长率的方程s2＝﹣0.1×2+0.1×24+0.3×53+0.5×14+0.7×7＝0.3

＝[（﹣0.4）2×2+（﹣0.2）2×24+02×53+0.22×14+0.42×7]

＝0.0296，

∴产值增长率的标准差s＝≈0.17，

∴这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．

【点评】本题考查了样本数据的平均值和方程的求法，考查运算求解能力，属基础题．

20．【分析】（1）根据△POF2为等边三角形，可得在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，在根据直角形和椭圆定义可得；

（2）根据三个条件列三个方程，解方程组可得b＝4，根据x2＝≥b2，从而a2＝b2+c2≥2b2＝32，故a≥4，

（c2﹣b2），所以c2【解答】解：（1）连接PF1，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，

∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝故曲线C的离心率e＝＝﹣1．

c，于是2a＝|PF1|+|PF2|＝（+1）c，

（2）由题意可知，满足条件的点P（x，y）存在当且仅当：|y|•2c＝16，

•＝﹣1，+＝1，

即c|y|＝16，①

x2+y2＝c2，②

+＝1，③

由②③及a2＝b2+c2得y2＝，又由①知y2＝，故b＝4，

由②③得x2＝（c2﹣b2），所以c2≥b2，从而a2＝b2+c2≥2b2＝32，故a≥4， 当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P．

，+∞）． 所以b＝4，a的取值范围为[4【点评】本题考查了双曲线的性质，属中档题．

21．【分析】（1）推导出f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝lnx﹣，从而f′（x）单调递增，进而存在唯一的x0∈（1，2），使得f′（x0）＝0．由此能证明f（x）存在唯一的极值点．

（2）由f（x0）＜f（1）＝﹣2，f（e2）＝e2﹣3＞0，得到f（x）＝0在（x0，+∞）内存在唯一的根x＝a，由a＞x0＞1，得，从而是f（x）＝0在（0，x0）的唯一根，由此能证明f（x）＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．

【解答】证明：（1）∵函数f（x）＝（x﹣1）lnx﹣x﹣1．

∴f（x）的定义域为（0，+∞），

f′（x）＝＝lnx﹣，

∵y＝lnx单调递增，y＝单调递减，∴f′（x）单调递增，

又f′（1）＝﹣1＜0，f′（2）＝ln2﹣＝∴存在唯一的x0∈（1，2），使得f′（x0）＝0．

当x＜x0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x＞x0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

∴f（x）存在唯一的极值点．

（2）由（1）知f（x0）＜f（1）＝﹣2，

又f（e2）＝e2﹣3＞0，

∴f（x）＝0在（x0，+∞）内存在唯一的根x＝a，

由a＞x0＞1，得∵f（）＝（）ln﹣，

＝＝0，

＞0，

∴是f（x）＝0在（0，x0）的唯一根，

综上，f（x）＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．

【点评】本题考查函数有唯一的极值点的证明，考查函数有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数的证明，考查导数性质、函数的单调性、最值、极值等基础知识，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．【分析】（1）把θ0＝直接代入ρ＝4sinθ即可求得ρ0，在直线l上任取一点（ρ，θ），利用三角形中点边角关系即可求得l的极坐标方程；

（2）设P（ρ，θ），在Rt△OAP中，根据边与角的关系得答案．

【解答】解：（1）当θ0＝时，，

，

；

在直线l上任取一点（ρ，θ），则有故l的极坐标方程为有（2）设P（ρ，θ），则在Rt△OAP中，有ρ＝4cosθ，

∵P在线段OM上，∴θ∈[，]，

，]． 故P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈[

【点评】本题考查解得曲线的极坐标方程及其应用，画图能够起到事半功倍的作用，是基础题．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．【分析】（1）将a＝1代入得f（x）＝|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1），然后分x＜1和x≥1两种情况讨论f（x）＜0即可；

（2）根据条件分a≥1和a＜1两种情况讨论即可．

【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1），

∵f（x）＜0，∴当x＜1时，f（x）＝﹣2（x﹣1）2＜0，恒成立，∴x＜1；

当x≥1时，f（x）＝（x﹣1）（x+|x﹣2|）≥0恒成立，∴x∈∅；

综上，不等式的解集为（﹣∞，1）；

（2）当a≥1时，f（x）＝2（a﹣x）（x﹣1）＜0在x∈（﹣∞，1）上恒成立；

当a＜1时，x∈（a，1），f（x）＝2（x﹣a）＞0，不满足题意， ∴a的取值范围为：[1，+∞）

【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，属中档题．