查看更多优质解析解答一举报因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,
这种变形叫做把这个多项式因式分解.
因式分解的方法多种多样,
现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,
那么就可以把这个公因式提出来,
从而将多项式化成两个因式乘积的形式.
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,
如果把乘法公式反过来,
那么就可以用来把某些多项式分解因式.
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,
可以先把它前两项分成一组,
并提出公因式a,
把它后两项分成一组,
并提出公因式b,
从而得到a(m+n)+b(m+n),
又可以提出公因式m+n,
从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,
如果a×b=m,
c×d=q且ac+bd=p,
则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,
有的可以利用将其配成一个完全平方式,
然后再利用平方差公式,
就能将其因式分解.
例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,
再用进行因式分解.
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时,
可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,
然后进行因式分解,
最后再转换回来.
例7、分解因式2x -x -6x -x+2 2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ ,
x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,
求出其根为x ,
x ,
x ,
……x ,
则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知,
f(x)=0根为 ,
-3,
-2,
1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令y=f(x),
做出函数y=f(x)的图象,
找到函数图象与X轴的交点x ,
x ,
x ,
……x ,
则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 令y= x +2x -5x-6 作出其图象,
见右图,
与x轴交点为-3,
-1,
2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元,
然后把各项按这个字母次数从高到低排列,
再进行因式分解.
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元,
将其按次数从高到低排列 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x,
求出数P,
将数P分解质因数,
将质因数适当的组合,
并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,
将2或10还原成x,
即得因式分解式.
例11、分解因式x +9x +23x+15 令x=2,
则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积,
即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1,
而3、5、7分别为x+1,
x+3,
x+5,
在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式,
然后设出相应整式的字母系数,
求出字母系数,
从而把多项式因式分解.
例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式,
因而只能分解为两个二次因式.
设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
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