教了41年中小学数学的藤校教授说:数学课上根本没有数学

教了41年中小学数学的藤校教授说：数学课上根本没有数学

看点 数学是什么？数学有什么用？数学的乐趣在哪里？大多数

人学了十几年数学都无法回答。哥大博士、藤校教授、专业数学家保

罗·洛克哈特，“下沉”教授中小学数学课四十一年，他如何看待传统

的数学课？如何把数学还给数学课？他的经历又对学校教育有哪些普

遍的启发？近日，外滩特约作者、上海民办平和学校IBDP TOK教师

瞿逸冰与保罗进行了对话。

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联”。

文丨瞿逸冰 编丨Luna

“我完全不想聊学校。”保罗·洛克哈特（Paul Lockhart）说。

屏幕另一端，作为采访者的我有点尴尬，因为我的采访提纲中列

了很多学校教育的问题。

在采访前，我知道因为保罗的背景、经历、和作品，让很多美国

人将其视为教育的救兵。保罗是专业数学家，哥伦比亚大学博士，加

州大学伯克利分校和布朗大学的教授。

他是学校的逃兵。在很多场合，他都直言不讳地说，“我从来没

有享受过一节数学课”。大学只读了一学期，他旋即退学，自己钻研

数学。

保罗·洛克哈特

保罗不是只会批评的务虚派，至今他已经教了41年数学课。大学

退学后，他就一直兼职中小学数学家教，用自己学数学的方式教数学。

2000 年，他决定系统地教，于是“下沉”到纽约布鲁克林的圣安学校，

这所学校从幼儿园到高中都有，保罗每个年级都教。

《极简算术史》，每一本都在亚马逊畅销榜上。

《一个数学家的叹息》在美国教育界引发了特别的轰动。斯坦福

教授、Coursera热门课《数学思维导论》主讲人德夫林（Keith

Devlin）曾评论说，这本书是他认为对K12数学教育最好的批评。

藤校教授，中小学，数学课。

数学课，如此重要却好像天然与有趣为敌。保罗认为数学是什么？

应该怎么上课？这样一个实践者又为什么不愿意谈学校呢？

四月的最后一天早晨，我和保罗进行了一场对话。

保罗（左）与本文作者瞿逸冰（右）

不喜欢数学课很正常，因为学校里根本没有数学

“为什么很多人都不喜欢数学？”

喜欢数学常常和高智商人群联系在一起，因此，我只好躲在“很

多人”这个词背后，代表自己问保罗。

不过，出乎意料，数学家保罗倒是很理解这种不喜欢，因为他也

不喜欢，“数学课上根本没有数学”。

保罗有个绝佳的类比，他称之为“音乐家的噩梦”。

想象有一天，音乐成了学校里最重要的那门课。

我们都知道，音乐家用音乐的语言说话，这种语言由奇怪的“黑

色豆芽菜”和线条构成。因此，专家们决定，小学到高中的音乐课，

首要任务就是帮助学生熟练掌握这门语言的规则。

一个小学生不堪其苦，吐槽说：

“音乐课就是我们拿出五线谱纸，老师在黑板上写下一些音符，

然后我们抄写下来，或是转换成其他调。我们必须确定谱号和调号的

到这些东西，他们将会很感激在高中所做的这些努力。”

当然，大学里主修音乐的学生并不多，而一直到研究生阶段，大

家才开始被允许欣赏和创作。只有少数人才听过音乐。

即使如此，专家们坚持认为，让社会上每个人都知道什么是转调、

什么是赋格是很重要的。

有一丝荒谬？

还好，这不是音乐教育的现实，不过很遗憾，这是数学教育的现

实。

保罗说，不否认，凡事都需要练习，但是练习不是目的。

现在的学校花太多力气在教授数学的“规则”上，比如概念、公

式、技巧等等，而忽视了数学的本质。

英国数学家哈代（G.H. Hardy）认为，数学是研究模式的学科，

“一位数学家，就像一位画家或诗人，是模式（pattern）的创造者。

如果他的模式比画家或诗人的模式能留存得更久，那是因为这些模式

是用理念（ideas）创造出来的。”

作为一门伴随人类两万年的学科，每个人当然有能力做数学、欣

赏数学。

“如果你觉得一个小学生可以写莎士比亚读后感，为什么他就不

能对数学提点看法？”保罗说。

数学=简单而直接的问题+满意又美丽的解释

2000年的时候，保罗来到纽约市布鲁克林区的圣安学校，开始系

统教授幼儿园到高三数学。

这所学校和保罗是一代人。1965年，一群热爱诗歌、戏剧、艺术

的嬉皮士，不想让孩子接受工业社会的标准化教育，开办了这所学校。

圣安学校

著名学者戴锦华曾说，二十世纪六十年代“是理想主义处在最高

峰和最强音的时代”，马丁·路德·金、圣雄甘地、切·格瓦拉、甲壳虫乐

队都是那个时代的面孔。

一个理想主义者，一所理想主义学校，全新的数学课就这么开始

了。

在保罗眼里，数学家的艺术就是：对于我们想象的创造物提出简

单而直接的问题，然后制作出令人满意又美丽的解释。

把数学还给数学课，保罗做了这两点：

1. 选择有趣，而不是有用的问题

你猜，YouTube上最火的数学视频是关于什么的？

贷款利息？中奖概率？人工智能？

都不是。

这个视频讨论的问题很简单：

有一个球体，取球面上四个点，请问这四个点组成的四面体包含

圆心概率是多大？

与生活毫无联系的问题，但足够让网友着迷。

学校的数学课就缺少这种纯粹的乐趣。

近几十年来，数学教育不断改变，很多人想让数学变得更有趣、

更实用。

比如，我们会让小学生计算贷款利息，觉得这就是真实世界、贴

近生活，但是作为一个看到贷款利息就头晕的成年人，你觉得孩子真

的会对复利感兴趣吗？

又比如，一个小学代数问题，“如果我们知道玛丽现在的年龄是

她七年前年龄的两倍，你能算出来她现在的年龄吗？”

请你多尝试几次。

你会发现，不管原来是什么样的四边形，他们四边中点所连成的

封闭图形总是一个平行四边形。

“这太令人惊讶了，”尽管已经是专业数学家，保罗还是会为这

样的事实感到激动，因为“数学就是原始的创造力和美学的感受力”。

多画几次，不用启发式提问、不用项目式学习，更多的问题马上

就会随之出现，是否总是一个平行四边形？为什么总是一个平行四边

形？

简单、明确、没有用，但这就是数学，数学就是想知道、玩耍、

娱乐自己。

2. 忘记技巧、公式、概念，让孩子做数学

如图，在长方形中有，一个三角形，我怎么知道这个三角形的面

积是长方形的多少呢？

如何知道答案？我们试着像图上那样，用一条线把长方形切成两

半。

可以发现，这两个部分都正好被三角形的斜边均等切开，所以三

角形里面和外面的空间是相等的。

也就是说，这个三角形一定是正好占了长方形的一半！

这就是数学家的艺术！

保罗说，数学就是对于我们想象的创造物提出简单而直接的问题，

一颗石子没有同伴。所有的孩子都能在这时发现，能不能排齐，可以

作为一种数的性质。

在教科书上，我们称之为奇偶数，但是在保罗的课上，你可以自

己命名，因为这是你的发现。

“数学家们最不在乎的就是概念的名字，”保罗说，所有的名字

只是当时的人做出的选择而已。

而学校的数学过于强调技巧、概念，重视“什么”而不是“为什

么”，伟大的问题、问题的历史、创意的过程，这些数学的背景，也

随之消失。

在保罗看来，真正的数学教育应该是：

但是他知道，自己的课从来不是什么创新课堂的方法论，而是特

定环境下奢侈品。

保罗说，有一次他的朋友去参观一所学校，给他发了张学校的宣

传图，图上有三个齿轮卡在一起，分别写着学生、家长、学校。

学校本意是想表示三者的紧密关系，但是从工程学的角度说，这

些齿轮都没法动起来。

“这是一个极好的学校系统的隐喻，”保罗大笑。

四十一年的教学经历让保罗认识到，数学课与真正的数学渐行渐

远。学生、学校、家长，都被困在这个既有体系里，很难改变。纵使

教育学者们如何想要提高学生的兴趣，也因为数学课的本质已变，也

就不能治本。

因此，接到中小学数学老师们的求助，他总是先问，你的学校给

你多大的空间？如果没有，那建议还是不要改变。

名校博士，就能救得了中小学教育吗？

作为一个老师，尽管对方是一个数学家，而且明显地不爱聊学校

教育。我还是请他给点建议。

特别是在接受政府补助的学校，大多数小学老师只有本科学历。

而且，由于美国大多学校在小学阶段实行全科教学，即一个老师

上语言、数学、科学等所有课程，这些大学毕业生们的专业还不一定

是数学。

“我接触到的相当一部分小学老师，都以为数学等于算数。”保

罗说。

作为一名贯穿所有学段的老教师，保罗总结，教学最大的美德是

热情和诚实。老师们应该展现作为人的自我，而不是教科书或者教育

系统的代言人。

作为一个真实的人，他会好奇、会困惑、会承认自己的无知，不

会永远知道答案，也因此会对学生的思考有更多耐心。

从这个意义上讲，名校博士进中小学，最大的意义不是更高的权

威走进了课堂，而在于博士们见识过知识的浩瀚与不确定、触碰过学

科的边界，这种经历往往让人更加谦虚。