数学课堂教学中的思维训练

数学课堂教学中的思维训练

山东省淄博市临淄区王朱小学王令全

数学教学的核心是对学生进行思维训练，而对学生思维能力的培养和训练，主要是通过课堂

教学来实现的。现就笔者教学“圆的认识”一课为例，谈谈思维训练在数学课堂教学中各环节

的体现。

1.创设情境，激发思维

赞可夫曾说：“凡是没有发自内心求知欲和兴趣的东西，是很容易从记忆中挥发掉的。”兴趣

是学生学习的动力，又是激发思维活动的催化剂。古人云：学源于思，思源于疑。教师在课

堂教学中有意识地创设情境(如悬念性问题情境)，则对学生具有更强烈的吸引力，更能调动

学生的思维活动。

笔者教学“圆的认识”一课的引入是这样设计的：用一段绳子，一端系着一红色小球，握住绳

子的另一端将小球甩动起来。很容易就把学生吸引住了。接着问学生：“小球画出了一个什

么图形?”学生一齐大声回答：“圆。”——这样的设计既有知识上的铺垫，又能抓住学生注意

力，引起学生强烈的兴趣。接着让学生举例说说生活中哪些物体是圆形，当学生举例说：“车

轮是圆的。”笔者立即抓住这个问题问到：“车轮不做成圆的会怎么样呢?”学生纷纷议论，展

开想象，气氛很热烈。再次抓住机会进一步悬疑：“车轮做成圆的为什么就会平稳行驶呢?

圆有什么神奇的特点呢?”此时学生的思维活动已完全展开。

2.操作交流，发展思维

苏霍姆林斯基有一句名言：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到

自己是个发现者、研究者、探索者，而在儿童的精神世界中，这种需要则更强烈。”教师在

教学设计中应针对儿童的这种心理特点，创造机会让学生去探索，而不能用教师的演示来代

替学生的活动。鲁宾斯坦认为：“任何思维，不论它是多么抽象和多么理论的，都是从观察

事物和分析经验材料开始，而不可能从任何其他东西开始的。”切断活动与思维的联系，思

维就不能得到发展。要解决数学知识的抽象性和学生思维的形象性之间的矛盾，关键在于动

手操作、主动探究。

在教学圆的特点时，笔者设计“摸、折、量、议” 等学习活动，充分调动学生的各种感官参

与到活动中来。通过“摸”，让学生感知圆的边缘是弯曲的；通过“折”，学生发现所有的折痕

都交于一点(即圆心)；通过“量”学生得出直径、半径及其相互关系⋯ ⋯学生主动探索的过程

就是知识形成的过程，同时也是思维能力形成的过程。学生的操作交流，使思维活动外显、

内化交替进行，既加强对知识的感性认识和理性认识，又进行充分的思维训练。

3.适时点拨，拓展思维

作为认识活动的主体——学生，是具备丰富个性的能动的主体。封闭式教学容易造成他们思

维狭窄、呆板。教师在教学中应注意适时点拨，拓展学生思维的空间，才能培养出思维敏捷、

思路宽、有创造性等良好的思维品质。

在教学圆的画法时，笔者鼓励学生思考多种画圆的方法。有的学生说：可以用圆规画圆：又

有的学生说：可以借助圆形物体画圆；还有学生说：可以用两支铅笔插在三角板内三角形的

两个顶点上，一支铅笔不动，另一支铅笔旋转一周也可以画出一个圆。笔者抓住这个问题启

发学生思考：“如果要画出几个大小不同的圆怎么办?”这个问题又把学生的思维活动推向高

潮。有学生说：“如果我在尺上多打几个孔，就可以画出大小不同的圆了。”笔者当即肯定这

个学生的发言，并且告诉学生：“课后动动脑筋想一想，你完全可能发明一种比圆规更方便

的画圆工具。有价值的发明还可以去申请专利。” 由于学生的思维此时还停留在一个狭窄的

范围，为了把思维活动引入更广阔的空间，笔者又提出这样一个问题：“如果要在操场上画

一个大的圆你有什么办法?”有个学生说：“我用老师画线的长勺舀上石灰原地转一圈，就可

以画出一个圆。”笔者又问：“要画一个更大的圆又怎么办?”经过短暂的沉默，有个学生回答

说：“我可以用一根长绳子，一端固定不动，握住另一端旋转一周就可以画出任意大小的圆。”

这个学生的回答赢得一阵掌声。接着又问：“这绳子的长就是圆的什么?”随着教师的引导，

学生的思维活动又与刚刚学习的圆的特点紧紧地结合在一起。这几个精彩的设问，使学生的

思维活动高潮迭起。

4.巧设练习，训练思维

当学生学习新知后，教师应有目的地设计有层次的、有坡度的练习，才能使学生思维能力的

发展得到巩固和螺旋式的提高。下面是笔者在“圆的认识” 的练习中的设计。（1）基础训练：

判断题(略)，加深学生对概念‟的理解；（2）知识的应用： (动画演示：车轮不是圆的和车

轴不装在圆的中心的车辆的运动状态)车轮做成圆形是运用了圆的什么特征?这个问题的设

计目的是把知识与生活中的实际结合起来：（3）创新思维和审美训练：用圆创作美丽的图

案。

总之，在现代课堂教学中，应有机地运用各种教学方法和手段，以教学内容为基础，使思维

训练贯穿于教学各个环节中，从而促进学生思维能力的发展。

（姚新付老师提供）

构建小学数学“思维训练式”概念教学模式的探索

小学数学教学是提高学生素质的重要途径之一，学生素质的提高不仅在于知识的积累，更重

要的是在于获取知识过程中学生数学素质的培养。数学素质其核心就是数学思维能力，它对

学生掌握数学知识，认识世界，表达思想有极其重要的意义。数学概念是小学数学知识的重

要组成部分，是反映现实世界空间形式和数量关系的本质属性，是客观事物的“数”与“形”

的科学抽象。小学生计算能力的提高，空间观念的形成，逻辑思维能力的培养都是在加强概

念教学的基础上进行的。只有加强数学概念的教学才能使学生进一步掌握数学知识，培养能

力，提高课堂教学效率。如何让学生获得一个清晰的概念，我们经过实验、探索，较成功地

获得了概念教学的新模式：“思维训练式”教学模式。

一、确立一个教学观念

传统教学仅仅把数学教学看成是“传授知识”或“落实双基”，课堂教学的预期效果只是使学生

听得懂，能接受。因此，与之相应的教法就是不厌其烦地反复讲解，把知识嚼烂了一口一口

地“喂”给学生，或是让学生模仿例题反复练习，这样就把数学思维能力的培养排斥在数学知

识的教学之中，或者即使认识到要重视数学思维能力的培养，但不知道应有机结合数学知识

教学来进行。事实上，学生数学思维能力的培养与数学知识教学是同步进行的，数学知识是

数学思维活动的产物。在教学的每一步，不估计学生数学思维活动的水平、思维的发展、概

念的形成和掌握的质量，就不能进行有效地教学。在数学教学改革中，应该把数学概念的教

学和数学思维活动的教学两者有机地结合起来。因此，教师应确立数学概念教学是数学思维

活动教学的观念，提高培养学生数学思维能力的自觉性，把数学思维能力的培养真正落到实

处。

二、关注两项基本形式

不同年级的学生由于知识水平与经验有差异，因此建立数学概念的认识心理活动过程也就不

一样。从总的方面看，其基本形式是“概念形成”与“概念同化”两种。一般地说，低年级小学

生“概念形成”作为建立概念的主要形式。中高年级的小学生逐渐过渡到以“概念同化”作为数

学概念的主要形式。“概念形成”这一形式是通过对具体事物感知辨别而概括抽象形成概念。

这一形式的认知心理活动的一般过程如下。随着学生知识的丰富和数学认知结构的形成与发

展，头脑中也逐渐形成数学要领系统。因此，小学中高年级学生在建立概念时，较多的是通

过“概念同化”的形式。概念同化的认知心理过程一般是：概念的同化这一形式是运用已掌握

的概念去理解、获取新的概念。学习新概念时，要与原认知结构中相关联的概念进行比较，

实现知识的正迁移，使新概念的本质特征在学生头脑中得到精确分化，使新旧知识得到有机

结合与联系，从而建立起新概念。

三、遵循三条教学原则

1．培养学生思维能力要与数学概念的教学紧密结合。《九年义务教育小学数学教学大纲（试

用修订版）》明确指出：“学生初步的逻辑思维能力的发展要有意识地结合教学内容进行。”

因为数学概念的教学与思维能力的培养是相辅相成的。数学概念为培养思维能力提供富有逻

辑性的素材，反过来，培养了思维能力又为很好地掌握数学概念创造了条件。把两者分离开

来教学，无论对学习数学概念或培养思维能力都不会有好的效果。为此，教师在备课时，要

认真研究教材，弄清数学概念本身的科学性、系统性和逻辑性，分析教材中含有哪些培养学

生思维能力的因素。教师在制订一节课的教学计划时，不仅要明确数学教学方面的教学目标

要求，而且要明确在培养思维能力上侧重哪些方面，达到什么样的要求，并且力求在教学中

有所体现。教学时，教师要考虑选定什么样的方法，既能做到使学生较好地理解和掌握数学

概念，又有助于激发学生思考，培养学生的思维能力。

2．要把学生思维能力培养贯穿在各年级数学教学的始终。《大纲（试用修订版）》明确指

出：“要把发展智力和培养能力贯穿在各年级教学的始终。”小学生正处在由具体形象思维向

逻辑思维逐步过渡的阶段，思维能力水平的提高是一个逐步过渡的过程，因此这就要求数学

教学应适合儿童年龄发展的特点，有计划、有步骤地培养学生的思维能力，并且贯穿在小学

数学教学的全过程中。为此，每个年级、每节课、每一个教学环节都要考虑学生在学习数学

概念的同时，如何发展学生的思维能力，如果低年级忽视思维能力的培养，就会给中高年级

增加教学困难；反过来，如果低、中年级重视发展思维能力，到高年有所忽视，也会给进一

步发展学生思维造成不利影响。为了贯彻这一条原则，在教学过程中，教师就要很好地研究

各年级学生的思维发展特点，根据学生的年龄特点、紧密结合概念教学，提出适当的发展思

维能力的要求和具体目标。

3．适应小学生心理特点，注意把操作、思维和言语表达结合起来。低年级学生的思维特点

仍以具体形象思维为主，中高年级学生的思维虽然逐步向抽象逻辑思维过渡，但是在许多情

况下，特别是遇到较抽象的数学概念，仍需要适当借助操作和直观。为了使学生较好地理解

和掌握数学知识，同时也为了逐步发展学生的抽象思维、激发学习兴趣，在一定条件下适当

利用操作和直观来引导学生进行思维是必要的。但是无论操作和直观，都是学习的手段，在

适当的时候要逐步脱离操作和直观，过渡到抽象思维，避免学生过多地依靠操作和直观。思

维和语言是密切联系着的，语言是思维的工具。人们借助语言，才能对事物进行抽象、概括，

反过来又借助语言，才能对事进行调节，使思维逐步完善。因此发展学生的思维，必须相应

地发展学生的语言。学生的语言也是逐步发展的，所以在发展学生思维和语言时，都要考虑

到学生语言发展的特点。

四、抓好四项训练重点

1．抓概念的内涵和外延。在教学过程中，教师应帮助学生建立清晰的概念，理解掌握概念

的内涵和外延。这个工作对数学教师来说相当重要。一般来说，一个基本概念，总是由“内

涵”和“外延”两个部分组成的。2．抓概念的要点和关键。在教学概念时，教师要指导学生抓

住概念的要点和关键性的字词，并用红笔加上着重符号，以强化注意。3．抓概念的实例和

反例。对学生不容易弄清的那些概念，教师要先指导学生分析一些有关要领的实例和反例，

再让学生一起归纳总结出正确的要领。4．抓概念的区别和联系。在教学中，教师要及时指

导学生对一些相关概念进行对比、归类，揭示概念之间的内在联系，找出本质区别，使概念

系统化、规律化。

五、形成五步操作程序

1．引导——创设情境、激发思维、引入概念。概念教学的第一步就是引入概念。概念如何

引入，直接关系到学生对概念的理解、接受。小学生学习概念一般以感知具体事物，获得感

性认知开始的。重视问题情境创设，激发学生思维，使学生产生积极主动地学习新知识的心

向训练。

2．探究——直观操作、深化思维、理解概念。概念的理解是概念教学的中心环节，概念的

获得是学生经过分析、综合、比较、抽象、概括的结果。只有在概念引入之后，引导学生自

己主动探索，激发、深化学生思维，才能理解概念。

3．发现——分析归纳、强化思维、形成概念。概念的抽象与概括要注意多层次地进行，概

念的形成也不是一次完成的，要经过一个反复的过程，经过多层次的比较、分析与综合，才

能真正发展学生的思维结构，让学生真正理解概念。

4．内化——巧设练习、扩展思维、应用概念。问题明白了，概念抽象概括了，并不等于牢

固掌握、切实理解，此时须有一个知识内化过程。通过各种形式的训练促使数学知识在发展

中飞跃，促使学生在认识数学概念过程中得到发展。

5．拓宽——质疑问难、系统思维、发展概念。除在概念的熟练运用中发展学生的思维外，

还要注意找出概念间纵向和横向联系，组成概念系统，发展学生的数学能力。

六、注意六种练习方法

1．操作演示。思维始于操作，操作促进思维。在概念教学过程中，教师应多开展些直观操

作活动，这会有助于学生对概念形成和巩固。例如，“角的分类”教学，学生初步形成各种角

的概念后，让学生操作活动的学具，演示出各种角的具体形象。随着角的一边绕它的端点旋

转，出示五种不同的角形。

2．反馈举例。在概念教学中，教师不仅要求学生能用自己的语言表述概念，而且还要求学

生在表述概念的同时，举例加以说明，促使学生认知水平向较高层次发展，帮助学生建立新

的认知结构。

3．推理判断。由于学生缺乏知识经验和综合分析能力，在认识数学概念的过程中，容易被

概念的非本质属性所诱惑，造成认识上的偏差。因此，在教学过程中，教师要积极开展对比、

辨析、推理、判断等教学活动，让学生在肯定或否定的思维训练中，建立准确、清晰的数学

概念。

4．尝试错误。所谓尝试错误，即学生从正面接触概念，建立概念后，教师从概念的反面有

针对性地创设一种错误的情景，引导学生深入这种特定的情景中，运用已有的知识和经验，

去分析错因，去尝试矫正。

5．变换叙述。学生认识某一数学概念后，变换概念的叙述形式，可以让学生从多侧面、多

角度地认识概念。同时能考查学生对概念的理解程度，达到巩固的目的。例如，“百分数意

义”教学，在分析题意，理解数量关系同时，教师应该有意识地让学生变换问题的叙述形式，

这样才能收到理想的教学效果。

6．整理归纳。根据“系统论”原理，新概念形成后，应及时把它纳入原有的概念系统中去理

解，这样才能既有利于学生掌握新概念，又能巩固整个一类概念的系统知识，沟通概念之间

的联系，形成知识网络，便于学生建立良好的数学认知结构。

（陆李华老师摘自《中国教育文摘》）

谈小学数学思维能力的培养

思维是数学的灵魂。培养和发展学生的思维是一个永恒的课题，也是我们教育工作者的重要

职责。事实上，对于学生思维能力的培养，应该贯穿于教师教学的全过程。新的数学课程标

准也提出了：“结合相关的内容的教学，培养学生进行初步的分析、综合、比较、抽象、概

括、对简单的问题进行判断、推理，逐步学会有条理、有根据的思考问题；同时注意思维的

敏捷和灵活。”如果教师对此认识不够，忽视对学生思维能力的培养；或者虽然有培养学生

思维能力的良好愿望，但由于方法不够妥当，效果就不够好，甚至会产生一些副作用。因此

开展对这一问题的研讨是非常必要的。下面就这个问题谈点自己的体会。

一、明确培养学生思维能力的重要意义

对学生思维能力的培养是否能真正纳入到教学的全过程中去。从而取得实实

在在的效果，关键是对培养学生思维能力的重要意义有一个比较明确地认识。认识明确了，

思想上就会高度重视起来，而重视程度的高低，决定着培养效果的好差。对培养学生思维能

力的重要意义我是从以下“四个需要”进一步加以明确的。

（一）是正确实施小学数学课程标准的需要

现行的小学数学课程标准，是依据培养人才的目标确定的小学数学教学目

标。所以，就应该遵循课标所制定的目的，认真自觉地培养学生的思维能力。这里要克服的

是“教”与“学”存在的重结论，轻思维过程的毛病。如在讲“商不变的性质”的时，可以根据

6÷3=2；60÷30=2；600÷300=2；6000÷3000=2一组题，又出另一组题：（6×2）÷（3×2）=2；

（6×3）÷（3×3）=2；（6×4）÷（3×4）=2；（6×5）÷（3×5）=2。然后引导学生认真观察、

分析、思考。这样不仅加深了学生对被除数与除数扩大或缩小相同倍数其商不变的理解程度，

同时又培养了学生归纳、抽象能力。像这样坚持对学生引导训练，逐步形成学生的思维习惯，

从而达到提高他们思维能力的目的。

（二）是更好地促进形象思维向抽象思维过渡的需要

小学生从低年级到高年级，其思维能力是逐步提高的，但是我们决不能仅仅满足于这种自然

的提高，而应该分层次的进行培养，促使他们更快、更好地完成由形象思维向抽象思维过渡

的过程，已达到认识活动的高阶段。因此，要针对小学生的不同阶段，循序渐进的进行培养，

像爬山一样，顺着坡度，由低到高地训练。如对低年级的学生，应该更多地给一些直观、具

体的材料，让他们借助实物、图片的表象进行思维；中年级则逐渐抽象出一些图形，实现由

直观形象水平向抽象水平的过渡；到了高年级，则可让学生根据一些定义来进行初步的判断

和推理，等等。这种思维过渡完成得好，学生的思维能力就会由低到高，有浅到深，进而向

更深远的思维空间发展。

（三）是加快实现基础教育向素质教育转轨的需要

实施素质教育是教育观念根本转变，同时数学教材也相应地进行了调整。改

变了以往过分重视知识，追求高分而忽视能力、方法、兴趣的培养，代之以在重视基础知识

和基本技能的基础上更加注意启发学生的思维，引导学生探索知识的形成过程，培养学生观

察、操作、解决实际问题的能力，促进学生的全面发展。如果还用单纯的应试教育的观念，

方法来对待素质教育，就不可能很好地开拓学生的积极思维，提高学生的观察、分析、操作

能力。由此我们就认识到，培养学生的思维能力，是实施素质教育的根本性要求。

（四）是不断增强学生创新意思的需要

“创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力。”这就是说，我们的民族需

要创新，我们这个社会需要创新，这关系到民族兴旺，国家的强盛，社会的发展。为了使我

们拥有持续创新能力的人才资源，从小抓起是非常重要的。也就是说要从娃娃抓起，从课堂

教学抓起。什么是创新？我认为，创新是思维能力的体现。试想，一个思维迟钝，抽象能力

很差，想象空间很窄的人，怎么能够创新呢？所以，思维能力是创新的前提条件，思维能力

与创新意思是正比关系，思维能力越强，创新意思越强。所以，增强学生的创新意识，必须

从培养学生的思维能力入手。

二、注重培养学生思维能力的方式方法

在明确了培养学生思维能力的重要意义，端正了教学思想之后，以怎样的方

式方法去培养学生的思维能力就显得更加重要了。也就是说光有良好的愿望是不够的，还必

须运用相应的方法，把愿望变成现实，已达到动机与效果的统一。总的说，培养学生的思维

能力，要有一个前提，坚持一个原则，运用得当的方法。一个前提，就是端正思想认识（这

方面我前面已经讲了）；坚持一个原则，就是面向全体的原则。面向全体学生既然是实施素

质教育的根本要求，那么培养学生思维能力也就必须符合这个根本要求，至于如何培养，方

法是很多的。在实践中我感觉以下几种方法是可以运用的。

（一）开展趣味教学，激发学生兴趣，是启动学生思维的钥匙

我们知道，思维就要开动脑筋，就是说必须动脑子。这里有一个愿不愿意动

脑子的问题。怎样才能把学生脑筋这把锁打开呢？最好的办法是激发学生的兴趣。为此，一

是要精心设计学案，把课上得有声有色，使学生学得有滋有味，刺激学生的兴奋点，促使他

们肯于动脑，乐于思考；二是充分利用学生的好奇心，引导他们去研究问题。如教“分数与

小数的互化”时，以游戏形式，让学生任意说出一个分数，不做除法，可以知道这个分数能

否化成有限小数。学生一听十分感到好奇，都想知道是怎么回事，从而有了学习的需要，产

生了学习的动力，在进一步引导他们去找规律，求结论。这种由好奇心引出的求知欲望，就

是通过激起学习情趣，促发学生产生灵感，培养学生思维能力的一个过程。类似的例子还很

多。总之，在引入新课时，要有意识、有针对性地培养学生的学习兴趣，集中学生的注意力，

使学生在课堂上始终处于积极的思维状态。

（二）创设教学情境，引起探索活动，是培养学生思维能力的关键

学生学习思维的主动性和积极性，一般来讲不会自然涌现，关键是取决于老

师所创设的富有变化，能激发新异感的学习情境。对学生感到奥秘以及思维上的难点，只靠

学生学习兴趣和学习动机是不能完全解决的。我们必须设计一些有价值的问题，环环相扣，

直逼目标、以达到突破思维难点之目的。如学生感到对理解求最大公约数的方法较深奥，我

们就可以围绕以下问题进行设计：1.什么是公约数？2.18和30的公约数应当分别和18、30

什么关系？3.这个公约数是否必须包括18和30全部公有的质因数？4.最大公约数是公约数

中最大的，是否应包括18和30全部公有的质因数？5.18和30的最大公约数应怎样求？这

样创设的学习情境，既能引起学生对求最大公约数的思维活动，又能使学生容易理解求最大

公约数的方法。

（三）提倡质疑问难，启发探讨释疑，是活跃学生思维的动力

质疑问难应该是对师生双方面的要求，教师可以向学生提问，更要鼓励和提

倡学生向老师进行质疑。这样才能鼓励学生勤于思考，敢于思考。这方面教师要有一个端正

的态度：一是不怕被学生问倒，更不能不懂装懂。课堂上遇到学生提出的问题一时回答不出

来时，不要觉得面子过不去，也不要发火训斥学生。有一次我在听“角的分类”一课时，当老

师讲完“小于90度的角叫锐角，90度的角叫直角，大于90度而小于180度的角叫钝角，180

度角平角，360度的角叫周角”

后，一个学生问：“大于180度而小于360度的角叫什么角呢？”这个问题当时一下子把老师

难住了。老师表扬同学问题问得好，之后把这个问题抛给了同学及听课的老师，最后找到了

问题的答案：大于平角而小于周角的角叫优角。听课老师是在一本数学小辞典上看到的。这

个例子说明，学生肯于动脑筋，问题提得也有道理，虽然把教师问住了，但教师不仅不应感

到丢脸，反而应该感到高兴，因为学生思维越活跃其思维能力增长越快。二是对回答学生的

问题要周密，并起到引导作用。在一般情况下，教师对学生提出的问题是能够给予正确回答

的。但是教师也会遇到对答案一时叫不准的时候，这时就要老老实实对学生讲，这个问题老

师需要想一想，想好了再回答你。如在讲“正方形是特殊的长方形”时，学生问：“老师讲长

方形有的特点正方形都有，而正方形有的特点长方形没有，那么是长方形邻边不相等这个特

点正方形就没有，这怎么解释呢？”对这个问题，教师要思考是讲错了呢？还是学生的思考

方法不对呢？所以，不要立即对学生提的问题给予否定或肯定地回答，而是经过周密思考，

教师在有了准确答案后，先表扬学生敢于思考的精神，然后反问学生：长方形有哪些特征？

“邻边不等”是长方形的特征吗？通过提问引导学生自己弄清长方形的特征。长方形的邻边可

以不等，也可以相等，邻边相等的长方形是特殊的长方形，也是正方形。这样就发扬了教学

民主，给学生创造一个宽松的学习环境，鼓励学生质疑问难，不懂就问，想问什么就问什么，

培养学生由“敢问”到“善问”,由“学答”到“学问”。

（四）加强语言训练，重视口头表达，是培养学生思维能力的润滑剂

语言是思维的工具，思维则靠语言来表达，人们总是运用语言来进行思维活

动的。如果打个比喻：思维就像是一驾机器，语言好比是保证机器灵捷转动的润滑剂。语言

越流畅，表达力越强，思维活动也就越灵敏。小学生的思维发展与小学生外部语言几乎是同

步发展的。所以对学生语言的训练，应该贯穿于思维能力培养的始终。一是注意语言训练的

阶段性。不同阶段要有不同侧重，低年级学生的思维处于有声思维阶段，在思维活动中往往

多伴随自己说话的声音。如在做题时，嘴里要念叨，边做边说，这时低年级思维的特点，不

说话，思维就无法顺畅进行。所以在低年级，就不能绝对要求课堂鸦雀无声，甚至禁止学生

自言自语，要知道这样做是不符合低年级思维特点的。这时候教师要因势利导，给他们创造

一个发挥其特点的课堂气氛，以利于学生思维的发展；到了中年级，学生虽有了一些默默思

考，但是那种愿说，敢说，想说什么就说什么，愿意表现自己的特点依然存在，对一些问题

总想用自己的话表示想法和意见。这时候就鼓励他们把话自由地讲出来，把意见自由地发表

出来；高年级爱说爱讲的特点相对少了，他们的想法多了，怕说错了丢面子，怕别人说是出

风头等等，这都成了语言训练的障碍。这时候语言训练的重点，是把不自信转化为自信，把

被动转化为主动，把自我表现转化为自我奋进上。二是注意语言训练的有效途径就是促使学

生大胆发言，提高口头表达能力。可以运用以下方法：1.谈话法。教师用谈话的方式进行教

学，师生可以直接对话，引导学生回答每一个问题。这样使学生及获得新知识巩固旧知识，

又培养了语言表达能力。2.互助法。把全班同学分成若干个小组，每组人数不要太多，一般

保持4-5人，对程度不同的同学进行搭配，分组训练他们说话，这就起到了互助带动作用，

讲话就不受拘束了，发言也就活跃起来。3.鼓励法。要注意发掘学生的积极因素，对他们的

进步表现要多表扬，多鼓励。尤其是对那些不爱说话，或不敢讲话的学生，在他们有了转变

时，更应给予肯定，给他们壮胆、打气，增强他们踊跃发言，大胆讲话的勇气和信心。三是

注意语言训练的引导性。学生敢发言，语言变得活跃了，教师就能通过学生的语言来发现他

们思维过程的某些状态或缺陷，并及时给予肯定或纠正，正确加以引导，让他们说出思维过

程。如做3/4=8+（）/16时，就要引导学生准确、精炼地说出：因为分母从4到16扩大了4

倍，根据分数的基本性质，分子也应扩大4倍，即应是12，故而8应+4。如果做再复杂一

些的题，那么思维过程的讲述，也就要求得更高，更严密。从而既提高了学生的表达能力，

又不断地促进了学生思维的发展。

（五）运用直观教具，提供操作条件，是培养学生思维能力的必要手段

我从实践中感到，只重视教科书的作用和使用是很不够的，同时也应该注意

其它教学材料的使用。因为教科书是教学的基本手段，而其它教学材料包括各种教具，也是

教学的必要手段。

运用直观教具，可以诱导和启发学生深入细致地观察，是他们从感性认识上升到理性认识。

如讲长方形的认识时，让学生准备一些长方形，先让学生观察，先看到长方形有四条边、四

个角；再让学生想办法，得出对边相等，四个角都是直角的特征。在此基础上，进一步让学

生把大小不同、形状不同的长方形摆出不同的位置，运用变式，再认真观察，以突出长方形

的本质特征。又如在建立“物体所占空间的大小叫做物体的体积”这一概念时，事先准备两个

大小相等盛着同样多水的玻璃水槽，再准备两个大小不同的铁块，然后分组让学生自己动手

把两个铁块分别放入两个水槽内，引导学生注意观察槽内水位的变化，着重分析水位变化的

原因，使学生认识到铁块占据一定的位置，从而加深理解了“物体所占空间的大小叫物体的

体积。”这一概念。这种形象、直观又亲自动手操作的办法，对学生感性到理性的升华有着

非常好的作用

（吴淑青摘自《福建小学新课程》）

【教学案例】

解决问题的策略

海门实验学校小学部卞惠石

教学内容：苏教版五（上）第63～64页的例1、例2和练一练，练习十一第1～3题。

教学目标：

1．让学生经历用一一列举的策略解决实际问题的过程，能根据问题情境有意识地不重复、

不遗漏的列举出符合要求的所有答案。

2．让学生在解决实际问题过程的反思和交流中，感受“一一列举”的特点和价值，进一步发

展思维的条理性和严密性。

3．在观察、操作、讨论、交流的学习过程中，激发学生的学习兴趣，培养合作意识和主动

探求知识的能力，增强解决问题的策略意识，提高解决实际问题的能力，增强学好数学的信

心。

教学重点：感受“一一列举”的特点和价值，能用“一一列举”的策略解决实际问题。

教学难点：能有条理地一一列举，找到符合要求的所有答案。

教学准备：课件。

教学过程：

一、围绕策略——引入

师：同学们，这节数学课我们学习什么内容？（板书课题）（挺会观察的，屏幕上已经显示

了）

师：我们一起把课题读一下。从课题上看，你觉得这节课的重点在哪儿？

师：对。田忌赛马的故事，大家都很熟悉。田忌改变了马的比赛顺序，这一小小的策略却改

变比赛的结果。解决数学问题，同样如此，讲究的是一个策略。

师：还记得四年级，我们学过什么策略吗？（列表、画图）

师：今天我们要学习一个什么策略呢？（点击屏幕）这儿有一个数学问题，希望大家在解决

问题的过程中，自己总结出这个策略来，并体会这个策略有什么好处？

二、围绕策略——建模

1．简单列举

屏幕出示例1的条件及其场景图。

出示：王大叔用18根1米长的栅栏围成一个长方形羊圈

师：从中，你知道什么信息吗？

师：同学们，这道题还少了——？你能提出一个数学问题吗？

生：可以怎样围呢？……

师：想不想知道教材上提了什么问题？出示：有多少种不同的围法？

师：只看这个问题，你有什么想法？

师：对呀！居然有很多种不同的围法，总不能用小棒一个一个尝试着摆出来，你有何策略把

所有不同的围法找出来，做到不遗漏呢？独立思考，做在探索本上。

师：有多少种不同的围法，大家交流一下你们的想法。谁先来。

师：能否总结一下，这是什么策略？

师：一一列举，有什么特点？正因为有序，所以，不会遗漏。这里，长能为6.5吗？

师：如果你是王大叔，会选择哪一种围法？为什么？（你还想到了面积，真好！）

口算四个长方形的面积，

长方形的长（米） 8 7 6 5

长方形的宽（米） 1 2 3 4

长方形的面积（平方米） 8 14 18 20

师：观察比较这张表格，你们有什么发现吗？

小结：长方形周长相等，面积不一定相等。在周长不变的情况下，长和宽越接近，面积就越

大；长和宽相差的越大，面积就越小。

2．分类列举

师：一一列举的应用非常广泛，刚才的列举只是最简单的。我们称它简单列举。我们再来看

一个数学问题，也是一个生活问题。

屏幕出示例2及其场景图，自主读题。

师：如果让你订阅，你准备订几本？

师：有多少种不同的订阅方法呢？请同学们自己独立完成。

师：做完的，请打开书本到64页，和书上的比较一下。你做对了吗？

师：比较：你做的和书上的方法后，你有话要与同学们说吗？

师：我们请7个人，拿着书的封面，站到前面来，表示7种不同的订阅方法。

你们商量一下，怎么展示这道题的结果？

师：不管是书上的两种表示方法，还是用字母表示。做这道题时，要分两步，第一步：

——————，第二步：————，我们把这种方法叫：分类列举。

师：谁能代替老师对今天学习的内容，做一小结。

三、围绕策略——运用

师：我们来看一下练习十一的三道题，哪些题是简单列举？哪些题是分类列举？

重点让学生独立完成第三题。

四、围绕策略——内化

师：同学们，“一一列举”既可以说是我们的新朋友，又可以说是我们的老朋友。你想起来了

吗？一年级时学习的《分与合》，二年级学习的《用数字组数》，四年级学习的《搭配的规

律》都用到了一一列举。一一列举是解决问题的重要策略。

解决问题的策略

海门实验学校小学部王振丹

教学内容：五年级上册第63、64页。

教学目标：

1．使学生经历用列举的策略解决简单的实际问题的过程，能通过不重复、不遗漏的列举找

到符合要求的所有答案。

2．使学生在对解决简单实际问题的过程的反思和交流中，感受“一一列举”的特点和价值，

进一步发展思维的条理性和严密性。

3．使学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的信心。

教学重点：能对信息进行分析，用“一一列举”的策略解决实际问题。

教学难点：有条理地一一列举，发展思维的条理性和严密性。

预习作业：独立完成书本第63页的例1，把不同的围法做好记录。

一、揭示课题，认定目标

师：今天这节课，我们来研究解决问题的一种策略——一一列举。（板书课题）

二、自主学习，建构模型

1．交流例1

师：课前，大家帮王大叔解决了这样一个问题，我们来看几份作业。

（1）说说你是怎样思考的。

（2）这几种记录方法，你最欣赏哪一种？为什么？（板书：有序）

（3）老师也画了一张表格，这里可以怎么填？

还有不同的围法吗？你怎么知道没有了？

师：看来，只要我们有序地进行一一列举，就能做到既不重复也不遗漏。

（板书：不重复、不遗漏）

（5）如果你是王大叔，你会选择哪个长方形做羊圈？（口算面积）

（6）仔细比较这些长、宽和面积，你有什么发现？

（周长一样，长和宽相差越大，面积越小；长和宽越接近，面积就越大。）

小结：刚才，我们帮王大叔解决的问题，用的策略是——一一列举。在列举的时候，只要做

到有序，就会——不重复也不遗漏。

2．研究例2

师：同学们，平时喜欢看课外书吗？瞧，这里有三种杂志。

（1）出示题目：谁来读题？你觉得首先要理解哪句话？也就是说，这里有几类订阅的情况？

（2）那么，有多少种不同的订阅方法呢？你准备用什么策略来解决这个问题？

（3）独立做题后，集体汇报。

（4）书上还用到了列表的方法，一起来看一看。你能看懂吗？谁来解释一下？

3．总结

师：刚才，我们解决例1和例2都用到了哪个策略？要得到全部答案，列举时要注意什么？

小结：一一列举是个好的策略，但不同的问题也需要不同的处理方法，有的可以直接列举，

而有的需要先分类再列举。

4．梳理

师：其实，一一列举在我们以前的学习中也用到过。比如，编写乘法口诀；排队照相；裤子

与衣服的搭配；……

三、组织练习，完善认知

1．练习十一第1题

师：而在生活中，也有很多应用“一一列举”的例子。

（1）指名读题。师：你能像这样列表找出答案吗？（书本66页第1题）

（2）独立解题后汇报。师：谁愿意上台介绍你列举的过程？

师：刚才，大家通过一一列举，找到了这两路车第二次同时发车的时间。如果想知道第三、

第四次几时几分同时发车，可以继续列举下去。感兴趣的同学课后尝试下。

2．飞镖游戏

（1）师：大家玩过飞镖游戏吗？（出示靶子）如果投中一次，可能得到几环？（板书：10、

8、6）

小华投中两次，可能得到多少环？请你列举出所有可能的答案。行吗？

（2）学生完成后，集体交流。

点评：这里，如果有重复的答案，就只能算做一种可能。

四、当堂检测，评价反思

师：下面，我们就用“一一列举”的策略完成课堂检测。

1．独立完成《补充习题》第41页第2、3题。

2．集体校对。

五、课堂回顾

师：同学们，通过这节课的学习，你有哪些收获？

【评课沙龙】

陆李华：曾在很多次的数学研讨活动中，都听到卞校长这样说道：“多做一道题，少做一道

题并没有太大关系，重要的是从每一道解题的过程中，孩子能获得些什么。”反思自己以往

的教学，更侧重的是“解决问题”，而缺少的是对学生“策略体验”的关注。有幸听了卞校长执

教的《解决问题的策略》，真正地感受到：单纯的“解决问题”只是学于形，而对于“策略”

的体验、运用才是本位的。

让我们来回顾一下卞校长课上和孩子的一些交流：“看了这个问题，你有什么想法？” “你有

什么好的策略把这些方法都列举出来？” “体会体会这种策略有什么好处？”“把自己的方法

和书本上的比较一下，你现在又有什么话想和大家分享？” “谁能对今天学习的内容，代表

老师作个简单的小结。”……教师关注的并不是具体问题的解法和结论，而是在引导学生思

考该怎样运用这个策略，为什么用这个策略，体会这个策略有什么好处。在层层深入中，使

学生对一一列举的策略进一步内化。因此，在巩固练习中，学生对于策略的应用显得是那么

的自发、能动、自如，是有意识的积极行为，特别是最后一题：用红黄蓝三种小旗表示三种

信号，一共可以表示多少种信号？老师们都认为学生很难理解，因此大多回避。而正因为卞

校长在例题教学时引领学生多元地、深刻地认识和理解策略，使他们形成了运用策略的积极

心向，因此，但当学生遇到这类全新的情境时，他们仍然能灵活地运用一一列举的策略解决

新问题。

陈伟慧：有幸认真聆听了江苏省特级教师卞校长的示范课《解决问题的策略》。很奇怪，每

天都在上不同的数学课，与孩子们学数学，今天感觉40分钟是那样的短暂。但是，今天听

完课的第一感觉便是：原来，40分钟可以这样“短”！“短”，但学到的东西真是很多。

【思考“策略”】

听过专家这样解释策略：“策略”指计策和谋略，是人们面对具体问题做出的基本判断。在南

京小数网研讨会上，一位版主这样解读策略：“策略”比“方法”更上位，“方法”可以从外部输

入，可以通过教师的讲解示范传授给孩子，而“策略”是一种思想意识，无法传授，需要孩子

通过在具体问题解决的过程中去体验，去感悟。

【思考“起点”】

思考孩子的知识起点很重要！卞校长在教学时思考了五年级孩子的知识起点，四年级上学期

学会了“搭配的规律”等相关知识。让孩子们感受到几乎每个学期都在用“一一列举”的策略解

决着一些简单的问题，而且在不断的具体的应用过程中，孩子们已经体会着一一列举的基本

思考方法，知道列举要注意有序，要不重复、不遗漏地进行思考。这样的思考深入、系统，

值得我学习。

【初衷也是主旨】

下课后，我在想：在解决问题的过程中，在运用策略的过程中发展孩子的数学思考，应该是

卞校长设计这节课的初衷，也是主旨！不断学习着，收获不小啊！

茅静丹：听了卞校长的课，我感悟最深的就是本课教学的主体思路是：什么是列举，何时使

用一一列举，到底是简单的同类问题的一一列举，还是较复杂的需分类的一一列举？

一、在简单的同类列举中学习有序思考。

在例1的教学过程中，让学生经历用列举的策略解决简单实际问题的过程。让学生体会到求

出长、宽的和是围长方形的关键所在，为学生的分析创设了一定的坡度。当学生按顺序找出

了长和宽时，提出有序思考才能不遗漏。

二、在稍复杂的分类列举中学习有条理的思考。

例2的教学则让学生通过理解“最少订阅1种，最多订阅3种”是什么意思？让学生明白是指

可以订阅1本，可以订阅2本，也可以订阅3本，这就是分类的过程，然后学生在每一类中

进行有序的思考和列举。

黄裕辉：听了卞校长的课，让我感悟最深的就是课堂上学生都在主动地学习。从

课堂一开始的“看了这个课题，你觉得重点在哪里？”“能不能提出一个数学问

题？”“如果让你订阅，你准备订阅几本？”等等，这些简单的问题，看出每个

学生都在不断地探索、不断地思考，同时也在不断地寻找解决问题的答案。在他

们不断思考，积极主动地学习的过程中，他们能感受到其中的乐趣，这样对学习

更加感兴趣。学生产生了兴趣，学习效率就会在不知不觉中得到提高。还有“谁

能作一个简单的小结” “对比后，你有什么话和同学分享的”等这些引导，完

全把课的主动权交给了我们的孩子，带领孩子在积极地寻求解决问题的方法，锻

炼了他们的思维。并不断反思自己的学习，查漏补缺，让每个孩子都能有最大的

收获。

高丽惠：一直想领略卞校长的风彩，终于如愿以偿，在听课的过程中，收获多多。解决问题

的策略给我的感觉，一直是教师讲得多，学生学得枯燥，而且虽然例题不多，但是练一练和

练习几乎每道都是例题，所以相对于平时的课题量大，而且难度也较平时稍大些。听完课，

总体感觉对习题的挖掘足，从例1到例2看似在问你知道了什么信息？深入思考一下，还有

什么信息？等问题，其实是让学生在读题提取信息的同时，在思考这道题该怎么解，甚至通

过学生的提问，在进行相应的题组和变式练习。而对列举方法的分类更是给人一种耳目一新

的感觉，我想正因为有这样的分类，所以孩子在解题时并不都拿笔就去思考，而是先考虑是

哪种方法，再选择合适的方法来解答，非常重视学生审题能力的培养。最后的课堂练习，3

道同时呈现，分析2道，用力1道，更是让人留下深刻的印象。而最后一道题 “一张靶纸共

三圈，投中内圈得10环，投中中圈得8环，投中外圈得6环。小华投中两次，可能得到多

少环？”再改编成“一张靶纸共三圈，投中内圈得10环，投中中圈得8环，投中外圈得6环。

小华投了两次，可能得到多少环？”这一字之改，实在是妙。可谓题目挖掘深，练习有层次。

陆 菲：这一次专题活动，卞校长为我们执教了五年级的一节数学课《解决问题的策略》，

让听课老师领略了他课堂上的睿智与大气：1．课堂“活”。平时卞校长指导我们上课时总是

说：“纸上的教案可以定下来，但在执行教案的过程中总会生成很多新的东西，教师心中得

有一份„活‟的教案，随着课堂生成而随时调整，即时生成……”卞校长以他的机敏与睿智，

富有亲和力的语调深深吸引了学生。他从学生已有的知识经验出发，应变自如，收放自如，

课堂教学沉稳而富有激情。整节课，孩子们学习激情高涨，思维活跃，有许多预设外的生成。

真正体现了学程导航理念下的课堂灵动性。2．收效“实”。课始，就让学生从“审题（课题）”

入手，直奔主题——策略，教学语言简洁，又恰中肯綮，没有一句多余的话语。学生会的绝

不多讲，甚至不讲，把更多的时间留给学生思考，去探究更多的新问题，收获更多的新知识、

新经验。从而把简单列举和分类列举实打实地学会、学透、会用。我想，这些源于：1．教

者对教材的深刻理解与充分思考。如练习中插旗及打靶两题的独到理解与独特处理。2．心

中有学生。如例2教学，基于学生对题意较难理解，以及对分类处理的懵懂认识，问：“如

让你订阅，你想订几本？”，又问“为什么可以订2本？”没有讲解，简简单单的两问即引导

学生“吃透”了题意，让学生知道要通过分类来解决问题。3．教者教学机智非凡。教材吃透

了，教师的“底气”足了，面对课堂中多次的生成，教者均能自如应对，并适时点拨，让生成

更显得熠熠生辉。

蔡向阳：听了卞校长和王振丹老师执教的《解决问题的策略》，深受启发。卞校长不愧为江

苏省特级教师和“学导工作室”的掌门人，课堂设计精湛，将学程导航理念体现得淋漓尽致，

处处让人感受到大气和智慧。卞校长不是把解决某一具体问题作为这堂课的教学目标，而是

引领学生经历“一一列举”策略解决实际问题的过程，让学生在解决问题的过程中形成对策略

的体验，感受这一策略的特点、应用和价值，发展数学思维，层层递进，反复强调深化了“有

序、不重复、不遗漏”，让学生在活动和思考中提高了策略运用的水平。尤其是练习题的处

理，更是体现了学程导航的精髓，学生会做的坚决不做或少做，课后三条“想想做做”，对于

稍微简单的前两题，卞校长只是让学生说一说如何做，而把主要力气用在第三题上。反思我

自己的课堂，虽然有学程导航的模式，但好多地方放不开，习题不让学生完整地练习一遍就

是不放心。

王老师对例1的处理也很有策略。例1这样题型的题目在三年级上册、下册中学生见过多次，

如：用一根20厘米长的线围边长是整厘米数的长方形或正方形，有多少种不同的围法？（三

下教材最后一页最后一题）然后让学生在给定的表格中一一列举出来，并计算出面积。当时

我记得特意强调要有序，不要遗漏，只不过我们没有从中优化出这就是一一列举的策略。王

老师利用学生的这个已有知识经验，巧妙地将例1安排到课前预习中，这一环节的设计足以

看出教师对教材、对学生的一种到位解读，可以这么说，王老师真正找准了学生的真实起点，

真正意义上实现了课堂的高效。

张海娟：听了王振丹老师的《解决问题的策略》一课，感觉王老师的课是扎实的，是有效的。

1.目标把握到位：引领学生经历“一一列举”策略解决实际问题的过程，王老师不是把解决某

一具体问题作为这堂课的教学目标，而是让学生在解决问题的过程中形成对策略的体验，感

受这一策略的特点、应用和价值，发展数学思维，层层递进，反复强调深化了“有序、不重

复、不遗漏”，让学生在活动和思考中提高了策略运用的水平。2. 借助不同方式列举，在交

流合作中学习列举的方法。王老师在教学中,通过例1、例2的教学让学生展示学生解决问题

时的不同方法,通过比较让学生感受到用列表的方式进行有序的列举，简洁明了，答案一目

了然。特别是例2这样需要进行分类列举的，用列表格的方法操作起来比较简便，答案一目

了然，且不重复也不遗漏。在教学中对表格的生成过程也给学生一个完整的印象，让学生初

步学会借助表格进行有序列举。3.提炼策略，促进学生思想方法的形成。如果知识背后没有

方法，知识只能是一种沉重的负担；如果方法背后没有思想，方法只不过是一种笨拙的工具。

因为数学知识的内容终究是有限的，而数学思想的力量则是无边的。过去的应用题教学让学

生分类型解题，追求熟练的解题技巧，忽视对解题过程的关注，容易导致学生生搬硬套、机

械模仿，缺乏数学地思考现实问题的能力。而王老师的教学则是把解决实际问题作为一种载

体，通过教学，不仅仅是解决某一类问题，获得某一类问题的结论，更重要的是在解决问题

的过程中形成相应的经验、方法，进而通过反思和提炼，形成一定的解决问题的策略，并使

学生体会到其中蕴含的数学思想方法。

陈丹：这一次同课异构活动中，王振丹老师的课也给我留下了较深的印象。王老师的课没有

把解决某一个具体的问题作为教学的主要目标，而是把重点放在了学生体会策略的价值，并

主动运用策略来解决问题上。该课的教学设计有以下几个特点：

一、预习交流，感悟策略。

王老师课始开门见山，直入主题，简洁明了。而后预习作业的交流，时间充裕，通过展示不

同学生的课前预习单，使学生进一步体会到了解决问题的策略常常是多样的，知道同一个问

题可以用不同的策略、从不同的角度去分析，从而增强了学生灵活选用策略的意识，提高了

分析问题、解决问题的能力。

二、 以“有序”为核心，建构策略。

解决例1时，王老师着重体现了“有序”不是老师的给予，而是学生的感悟。教学中，她逐步

展现学生思维的过程，就是“有序”思想逐步生成的过程。学生发现，因为无序，所以容易遗

漏，因为有序，所以不会重复，学生深深地体会到要有序列举，这是学生亲身经历过程后的

感悟，是发自内心的。

解决例2时，王老师再次深化了“有序”。分类时引导学生“有序”思考，同时，对于每一类所

有选法的列举，仍然要“有序”思考。这时王老师又一次展示了学生不同的作业，让孩子们充

分体会了用文字叙述、字母、列表等方法，使学生对“有序”的认识提升到新的高度。

三、以应用为挈机，内化策略。

巩固环节，王老师创设情境，为学生提供了几个生活中的数学问题，飞镖、发车时间等等，

学生兴趣盎然、跃跃欲试。再一次次的列举中，问题不攻自破。孩子们在思维碰撞中一次次

进行一一列举，既使学生内化了列举的策略，又发展和提升了学生的策略意识。

纵观整堂课，我个人认为，如果能在课堂中适时让学生体验一下策略，可能会更好。比如解

决例1时，我们可以尝试先让学生独立用小棒围长方形，使学生在操作中体会围法的多样性，

进而产生探求“有多少种不同围法”的欲望，同时萌生策略的需要。在展示与交流环节中，让

学生评价，从而发现不重复、不遗漏、有序的考虑方法，突出有序思考的价值。

黄燕：王老师进行了精心的教学设计，环节清晰，层次分明。至少从以下几个方面可以看出：

一、例1“用18根1米长的栅栏围成一个长方形花圃”，这题已作为课前预习的内容，学生

通过预习已经对一一列举已经有了初步的认识，只是他们表示的方法各不相同。出现了诸如

文字记录、画图等方法，同样在这个环节，教师做到了收放有度，更重要的是，在交流的过

程中充分挖掘学生这方面的资源去交流，去思考，在这个环节，教师还读到学生的名字，其

实这对学生来说，也有一种成功的喜悦。例2“订阅下面杂志，最少订阅1种，最多订阅3

种，有多少种不同的订法？”王老师安排了审题的环节，“你是怎样理解„最少订阅1本，最

多订阅3本‟的？”引导学生通过认真审题明确例2要找出订阅1种或2种或3种杂志的所有

不同的订法。让学生在理解题意后明确列举的目的，把每种答案都找出来，就需要一一列举。

二、借助不同方式列举，在交流合作中学习列举的方法。通过例2的教学让学生展示用文字

叙述、符号列举和列表格几种不同的列举方法，通过比较让学生感受到用列表的方式进行有

序的列举，简洁明了，答案一目了然。特别是例2这样需要进行分类列举的，用列表格的方

法操作起来比较简便，答案一目了然，且不重复也不遗漏。综合来看，王老师的这节课的教

学中，处处关注细节，做到心中有教材有学生，学生的积极性很高，师生、生生之间互动有

效到位。

吴淑青：听了卞校长和王振丹老师的《解决问题的策略》两节同题异构的课，感觉风格炯然

不同。王老师的课清晰、流畅，好似小桥流水，简洁明快中顺利完成了教学任务，学生在充

分预习的基础上，新课进行地非常顺利，老师的引导与学生的练习都恰到好处，无疑是一堂

优质的学程导航范式课。

而卞校长的课又给我另一种感觉，智慧、深刻，更能引发孩子思维的碰撞。卞校长的课没有

安排预习，他重在引导孩子分析、联想，在一环又一环的提问中学生学会了如何根据信息去

寻找隐藏的条件，思考有价值的问题。如在例1中，用18根1米长的栅栏围成的长方形，

让学生自然联想到长方形的周长为18米，由此得出长和宽的和必须为18÷2=9米，接着学

生顺利地一一列举出了长和宽的长度，学生在顺利解决问题后，卞校长又适时追问为什么答

案只是这几个？学生再次寻找寻找信息，原来用的是一根根1米长的栅栏。学生在联想与追

问中深刻理解了题目，同时感受到了一一列举这种策略不重复、不遗漏的的优点，做到了既

知所以然，更知其所以然。而在例2的教学中，卞校长放手让学生自己解决，同时又让学生

上台现场表演这种方法，既考验了学生的合作意识、有序意识，更是让直观形象深入每个孩

子的心中。动一动，看一看，胜似纸上谈兵无数次。卞校长在课中有意识地将一一列举细分

为简单列举和分类列举，这一举措帮助孩子轻松地解决了习题中较复杂的打靶问题，我很是

欣赏。当然这节课中还有很多令我欣赏的地方，总之我想说这是一节智慧的课。

【感悟反思】

《解决问题的策略》听课反思

沈 俭

“同课异构”给专题研讨活动增添了活力，卞校长亲自参与执教更是为我们的反思搭建了平台。

听了特级教师的课，收获颇多。

一、课堂需要和谐的语言

在以往的数学教研活动中，偶有语文教师一起参与听课，或作为带班老师介入活动，活动结

束后，总听到这样的评价：“数学课总是条理清楚，数学老师课上没有一句废话。”“数学老

师语言清晰，但缺少语感，师生之间的对话大多都是„数字与数字在对话‟。”这样的评价也

曾引起过我的思考：数学确是一门非常严谨的学科，课堂中的教学语言不能是“流水式”的教

学语言（教师想说什么就说什么，说到哪里算哪里），我们应讲求教学语言的准确性、科学

性、条理性，数字化的师生对话方式是我们数学课堂的语言特点，甚至是优点，但是我们的

教学语言是否真的就不需要美感呢？

听了卞校长的课，很受启发。他的课堂告诉我们和谐的数学课堂需要和谐的教学语言，需要

形象生动、富有语感、朴实而真诚的教学语言。“谁来有感情地读一下课题？”“从你们的笑

脸中老师看出来你们有办法了，好，就做在你们的本子上！”“这个问题就交给你们！”“这里

有一个陷阱！”“认为有9种的同学站起来反驳他们！”……

反思平时的课堂，我们的语言可能对学生来说缺乏一些吸引力，长期下来也许会降低学生的

课堂注意力。因此我们要有意识地增强语言的趣味性，使学生听起来有滋有味，从而提高学

生的学习兴趣。

二、课堂需要我们深入思考

无论是例题的呈现方式，还是练习的讲评方式等等，教学的每一个环节都需要我们去深入思

考，思考了才能“深入浅出”，正如卞校长所说“思考非常重要！”

卞校长教学例1时，一个小小的细节给了我启发。出示例题后，他是这样处理的：

师：能不能简单地说一下你知道了哪些信息？

生：围的是一个长方形；他的周长是18米。

师：深入地思考一下，你还能获得哪些信息？

生：……

师：其实有时候我们通过联想能获得更多的信息。

像这样，在学生学习的第一步“读题”时，进行有目的、有计划地指导训练，可以改变学生的

思维习惯。在小学数学习题中，常常有如下题型：（1）甲数是乙数的1.5倍，乙数和甲数

的比是多少？（2）一个长方形的周长是60厘米，宽是长的2/3，长方形的面积是多少？像

这样的题目“甲数”和“乙数”、“长”与“宽”的直接信息并不明确，若隐若现，小学生只管思维

的特点决定了他们常常会忽略隐藏的信息，所以往往无从下手或结题错误。所以，抓住机会，

训练思维，培养习惯很重要。

追寻完整的数学教学

——评特级教师卞惠石“解决问题的策略”教学

姚新付

或许，听课时恰是思维最为活跃之时。听完江苏省特级教师、我校卞惠石校长的课《解决问

题的策略》后，一个崭新的话题在我心中越来越清晰——追寻完整的数学教学。

一、知识完整。知识是载体，知识最关键。教学例1时，在大家都觉得即将结束之时，一个

意想不到的教学细节出现了。卞校长提问：“这儿能列举小数吗？为什么呢？”这是一次关键

性的提问，这是一个必要的补充。从情境来说，因为每根小棒长1米，学生忘记考虑小数是

很正常的事。但作为平等中的首席，卞校长该出手时就出手，小小一问拨活了学生的思维，

使学生的知识建构变得完整起来。

二、形式完整。此课的策略是“一一列举”，如何列举，形式有很多。学生自主学习完例2后，

卞校长心怀“完整”理念，展示一份表格式作业，口述一份文字式作业，板书一种字母式作业，

使学生接收到更多的、更多样的列举形式。值得注意的是，在内化提升阶段，在组织学生集

体交流时，卞校长运用课件，向学生呈现一种树形式列举形式，这是一种学生很不容易想到

的形式，教师“补”在无知处，使学生积累更多的感性直观认识，教学效果好！

三、内容完整。无论何时，我们都很关注“以旧引新”，但卞校长的课堂教学让我们看到了“以

新回旧”。在课尾，卞校长带领全体学生一起回忆以前的“列举”，回忆“数的分合”，回忆“用

不同数字组合成不同的数”，回忆一个“搭配问题”，内容看似简单，但放在此处，用的及时，

用的恰到好处。

教学永远是一种遗憾的艺术。完整并等于完美，让我们积极构建完整的数学教学，追求完美，

追求完整课堂教学所带给我们的美的感受！

教学有时需要“混装”

张建斌

教学的魅力在于它的“深不可测”与它永恒的创新性。

生活中，我们是否经历过这样的尴尬，在某个“孤立”的场景中“认识”了某一个人，可当这个

人与其他的一些人站在一起时却又不认出他了。

生活与教学有时有着惊人的相似性。无独有偶，这样的尴尬场景在教学中也时常发生。解决

问题策略——替换有两种类型，一是倍数关系，二是相差关系。教学时，在单独教学这两种

类型时，学生掌握得还是可以的，但当这两种类型随意出示时，学生却表现出不知所措的茫

然。

有些问题，百思而不得其解，但可在瞬间得以豁然开朗。

卞校长的一节《解决问题策略——一一列举》给予了我很多启示，许多相关的困惑也在瞬间

得以消融。教学中，卞校长对一一列举的两种类型先进行了“冠名”——简单列举、分类列举。

在练习环节中，把三道题以“混装”的形式同时呈现，让学生尝试先分类，思考它们各属于哪

种类型？“入芝兰之室，久而不闻其香”，当一种香味封闭地、持久地作用于我们大脑，我们

对此香味的感觉也会大大降低。学习也一样，当简单列举或分类列举封闭地刺激学生的大脑，

看似强化的刺激，学生却未必能真正掌握其内在的表征。但经过智慧的“混装”后，为学生营

造了充分比对、辨析、筛选、分类的知识场，学生就自然地掌握了“简单列举”与“分类列举”

这两种类型的结构表征，并引领学生形成先分类后解决问题的良好意识与习惯。

同样的三道题，一种是逐一出示，另一种则是“集体表演”，看似简单的不同处理，却透露出

教者的独具慧眼与别出心裁。某类知识如果在某个单一的场景中重复出现，学生对它的表征

是难以深入理解的，但如果进行适度的“混装”，相信学生会通过两类知识的比对、辨析等手

段深入探研究知识的“内核”，从而有效地掌握其内在的表征。

以此来理解“开始”的尴尬也不难了。“认识”是对某一事物表征的初步提炼，而这些表征有的

是这个“人”所独有的，具有排它性的；而有些则与其他人的表征所共有的，不具有排它性。

当你拿着这个“人”的共性表征在人群中尝试去找出他时，失败是必然的。

不怕做不到，只怕想不到。智慧的教学无法规避困局，但智慧的教学必然能找出破解困局的

途径。

基于学生基础，让策略化隐为显

——《解决问题的策略（一一列举）》磨课节选

唐春艳

一节好课是在一次次打磨中造就，磨课的过程也是教师历练、成长的过程。笔者所在年级开

展了一次教研活动，选择了苏教版小学五年级上册《解决问题的策略（一一列举）》一课进

行研究。这个课题经常被老师们选上公开课，曾经江苏省特级教师徐斌老师也选择了这课进

行公开教学，上出了他的特色：清新自然，扎实有效。笔者所在年级的老师们也试图在他人

成功经验的基础上有个新突破，一次次思考，一次次磨课，两次教学下来虽教学效果一次比

一次好，但总觉特色不足，同事们的思考也停留不前，真觉此时“山重水复疑无路”。笔者所

在学校校长江苏省特级教师卞惠石也是一位数学教师，这次研讨也牵动着他的心，他仔细地

研读了教参，听取了前两次执教者的反馈信息，通过仔细琢磨与思考，亲自执教这一课。他

的设计让所有参与研讨的老师们觉得“柳暗花明又一村”，把“策略”二字凸显得淋漓尽致，从

课堂效果看，学生轻松、自主、高效地掌握了“一一列举”的策略。现把多次磨课部分环节作

如下回顾：

一、学有目标，学有侧重。（导入部分）

第一次打磨：

【课堂再现】

师：同学们，用三张牌（3、4、5）能摆出多少个不同的两位数？（生答）要解决这个问题，

我们可以把所有答案一一罗列出来，这就是我们今天要学习的解决问题的新策略——“一一

列举”（板书课题）。

【课后反思】

优点：这样的问题是学生二三年级所学的知识，从学生原有知识入手，依据学生经验直接引

入课题。

不足：没有新意，且学生的关注度在解决这个问题上。

第二次打磨：

【课堂再现】

师：同学们，课前老师给大家播放了“田忌赛马”的故事，谁知道田忌是怎样转败为胜的呢？

师：是啊，用同样的马比赛，调换马的顺序，这就是一种策略，解决问题就要有策略。今天

这节课，我们来学习解决问题的一种新策略。

【课后反思】

优点：用故事引入能吸引学生注意，突出了本课教学的重点“策略”。

不足：因本课教学量大，故播放故事放在课前，但实质也在花学生课余休息的时间。另外，

从课堂实施效果看，学生回答“田忌是怎样转败为胜的？”这个问题时比较啰嗦。总之，为了

导入花了比较长的时间。

第三次打磨：

【课堂再现】

师：（黑板上已有课题）同学们，你知道今天这节课我们要学习什么内容？很会观察！从课

题看，你认为我们今天这节课的学习重点在哪里？（生答“策略”。）

是的，“田忌赛马”的课文大家都学过，换了一种策略，比赛的结果就不同。其实，解决数学

问题也同样如此，策略非常关键。

【设计意图】

对学生来说，学习解决问题的策略，并不是建空中楼阁。他们在日常生活中、以往的学习经

验中已经积累了一些关于策略的认识，在以往解决问题的过程中也已经初步积累了解决问题

的经验，但并不一定关注到了解决问题时隐藏在“背后”支撑解决问题的策略，即学生对策略

的认识处于潜意识阶段。课始，让学生看着课题说说本课学习的重点是什么？让学生明确地

感受到重点是策略，是在解决问题的过程中学习解决问题的策略。这样一提炼，学生学习的

目标指向性更明确了。带着目标去学习，学习将更有效。

二、依据经验，自主探索。(例1教学)

第一次打磨：

【课堂再现】

出示例1及其场景图，指名读题。

例1：王大叔用18根1米长的栅栏围成一个长方形羊圈，有多少种不同的围法？

师：从题中你知道哪些信息？问题“有多少种不同的围法”，那看到18你先想到什么？

生：18÷2＝9，是一条长与一条宽的和。

师：老师就提示到这里，接下去请同学们自己探索，可以结合已学的方法，画图、摆小棒操

作，也可以不画图不操作，直接用列表的方法写一写。

【课后反思】

优点：学生对“18†2＝9，是一条长与一条宽的和”理解比较深刻，学生思考时可以少走弯路。

不足：看似例题的教学比较放手，其实还是在老师引导下的放手，有点牵的感觉。

第二次打磨：

【课堂再现】

师：屏幕出示例1改编题及其场景图，指名读题。

例1（改变教材问题）：王大叔用18根1米长的栅栏围成一个长方形羊圈，可以怎样围？

师：可以怎样围呢？同桌两个同学讨论一下。有困难的可以借助桌上的小棒进行操作。

师：你是怎样围的？

（指名一生答出一种方法，其余学生还在举手。）

师：还有不同的方法啊？看来围法还不止一两种，那“有多少种不同的围法”？（课件改变例

1问题）把你的围法记录下来（出示不完整表格），记录的时候想想怎样可以做到不重复不

遗漏。

（学生独立列举）

师：把你记录的情况在小组里交流一下。

师：谁来说说你是怎样想的？怎样记录的？

生：18÷2=9，从宽想起，宽1长8，宽2长7，宽3长6，宽4长5。

【课后反思】

优点：改变例题问题呈现的形式，让学生在解答“可以怎样围？”这个问题的过程中体会到围

法的多样性，从而顺其自然地出示“有多少种不同的围法”，同时提醒学生思考如何做到不重

复不遗漏。例题的呈现自然，且充分发挥了学生的主动性，学生在独立思考中发现围法的多

样性，在独立思考与小组交流相结合中找到了所有不同的围法。

不足：在学生第一次独立思考“可以怎样围”时，大多数的学生就不止找到一种，只不过有些

同学有遗漏或列举无序。面对学生的现状，第一个问题似乎有些多余。

第三次打磨：

【课堂再现】

出示例1。

师：只看这个问题，你有什么话要说吗？

师：从问题看，就知道围法有好多种，那你有什么好的策略能把所有的围法都找出来，而且

做到“不遗漏”呢？

（学生独立练习，集体交流。）

师：你有什么窍门做到“不遗漏”的？

生：按顺序地一个一个写出来。

师：这个策略就是我们这节课要学习的“一一列举”。

【设计意图】

看似简单的设计，其实每个问题都经过了深思熟虑。“只看这个问题，你有什么话要说吗？”

让学生从问题中就发现围法有好多种，引发他们列举。“你有什么好的策略能把所有的围法

都找出来，而且做到不遗漏呢？”让学生带着“策略”意识解决数学问题，这个环节既发挥了

学生的主动性又时刻提醒学生“寻找”本课的新策略。“你有什么窍门做到不遗漏的？”让学生

自己总结出 “有序”，同时提炼出本课学习的新策略“一一列举”。正如美国著名的数学家哈

尔莫撕所说：“问题是数学的心脏，有了问题，思维才有方向；有了问题，思维才有动力；

有了问题，思维才有创新。”学生在教师精心设计的问题下思考、实践、探索、交流，充分

体现了教师引导下的学生主体性。

三、抓住关键，建立模型。（练习环节）

在前两次磨课中，教学例题之后直接进入练习环节。第三次打磨中增加了以下环节：

教学例1后指出：像这样的一一列举是最简单的列举，我们可称它为“简单列举”。

教学例2后指出：解决这个问题我们要先分类，像这样的列举我们可称它为“分类列举”。其

实，分类也是列举。

接着出示教材练习十一1～3题，让学生先思考这一题属于“简单列举”还是“分类列举”？

【设计意图】

“能有条理地一一列举，不重复、不遗漏的找到符合要求的所有答案”是本课教学的难点。面

对学生实际，在教学例题环节把例1这样的列举归纳为“简单列举”，将例2这样的列举归纳

为“分类列举”，让学生在头脑中建立“一一列举”的两种形式的模型，帮助学生列举时做到更

“有序”。为了突出“一一列举”这个策略，在练习前增加了一个环节，即判断所有练习题属于

哪种列举形式，厘清思路，有助于学生巩固“一一列举”的策略，进一步感受“一一列举”的特

点和价值。

总之，策略，有助于在解决问题时走出无从下手的“沼泽地”；解决问题，有助于加深对策略

的认识、理解与掌握。“解决问题的策略”的教学，不能满足于学生对“策略”一词语义的理解，

不能把解决某一具体问题作为教学目标，而应让学生在解决问题的过程中形成对策略的体验，

依据学生经验，将策略化隐为显。

一堂“活力”课给我的启发

—— 听《解决问题策略》有感

杨勤燕

本周我们聆听了卞校长执教的《解决问题的策略》一课。在他进行教学的时候，我一边听一

边在回忆我去年这个时候是怎么教这节课的。通过比较，我情不自禁的赞叹：特级就是特级，

课大气，充满活力。

一、合理重组教材，构建灵动的课堂

.在教学中，卞校长没有拘泥于教材和教参，创造性地处理教材,唤醒了学生的问题意识。我

们都知道，问题是数学的心脏，提出一个问题比解决一个问题更重要。如：卞校长在教学例

1时，先将条件呈现，让学生理解题意，接着问：根据知道的信息，你能提出哪些问题？此

时一层激起千层浪，孩子们的思维被激活了。有同学说：这个羊圈面积是多少？一位同学马

上补充道：应该说这个羊圈的面积可能是多少？还有同学说：这个羊圈面积最大是多少？这

个长方形羊圈有多少中不同的围法？……在这一环节中，卞校长积极引导学生提出不同的问

题，通过激励性的评价不断的唤醒学生自觉提问的意识，从而激活了学生的思维，使课堂充

满生命的活力。

二、教学方法灵活，激发学习的兴趣。

如：（1）在理解例2“至少订一本”的意思时，卞校长问：如果你订书，你想订几本？让学

生走进例题，学生轻而易举的理解了题意。（2）让七个学生上台表示7种不同的订法，即

检验了学生自主学习的效果和合作的能力，又提高了学生学习的积极性。（3）在进行课堂

小结时，卞校长的一句：谁能当回小老师，帮我总结一下今天我们学习的内容，再次激发了

学生学习的热情。

通过今天的学习，我深刻体会到，“活力课堂”，既包括教师的教学活力，也包括学生的学习

活力，还包括教学过程的动态生成，这三方面的活力综合起来，才是真正有“活力”的课堂。

听《解决问题策略——一一列举》有感

俞勤

华罗庚先生说过：“教师之为教，不在全盘授予，而在相机引导，必令学生运其才智，勤其

练习，领悟之源广开，纯熟之功弥深，乃为善教者也。”这次专题研究《解决问题策略——

一一列举》同题异构，我们享受了卞校长精湛的、炉火纯青的教学艺术。

整节课，课堂节拍随着学生的思维脉搏而跳动，数学题的信息学生自主获取、分析，数学问

题学生自主提出、思考，解题策略学生自己归纳、命名并总结。放手让学生走在课堂自主学

习的前沿，教师退后作学生强有力的后盾，让学生扬起思维的风帆前行，教师就像学生知识

渡船的撑篙人，篙子踩着学生思维的涟漪，把学生的思维一步步引向深入。“深入思考”，“再

联想一下”，“有什么窍门做到不遗漏？”精辟的点评踩在了学生思维的节点上，变“教师讲授”

为“学生研究交流”，凸显了学生的主体地位，发挥了学生的积极性和创造性，知识让学生去

探索，问题让学生去发现，共性让学生去归纳。

整节课以学生的眼光看待数学问题，思维科学家张光鉴教授回答道：“就是要跟学生相似。”

把例题分成简单例举与分类例举两种例举类型，淡化思维表达的形式，文字叙述、字母符号

代替，以表格形式或算式形式都适用，突出策略的运用及列举的特点。使学生主动同化新知，

便于新知结构的建模。

整节课教学设计科学合理，层次清晰，环环相扣。例1精耕细作，例2作粗略的点拨，凸现

列举的本质有序，列举时的差别，一次列举与两次列举。我们教学时例1、例2同样使力，

反而使列举的本质特点有序的思考被列举表达的形式所掩盖，学生在一味地追求简洁的书写

表达，忽略了更主要的思考时条理清晰，列举时有序。特别是对练习十一1、2、3题的处理

方式，先把题进行整体判断、分类再单攻第三题，再次突出了列举的本质，同时对难点两次

列举进行再次巩固。把练一练作为分类列举的特例来理解，体现数学问题的不断变化，发展

学生的数学思考。

卞校长在课上展现出的紧扣教学目标的功夫，驾驭课堂的功夫，判断决策的功夫，相机引导

的功夫，评价的功夫等值得我们不懈追求。数学课本身有着无穷的精妙，至于运用之妙，那

只好存乎其人了！

《解决问题的策略》感悟反思

汤永娟

在学校的第二次专题研讨活动中，我有幸聆听了王老师执教的苏教版五年级上册《解决问题

的策略》一课，受益匪浅。

整节课上，王老师紧紧围绕主线展开教学。本课的教学重点是让学生学会有序地，不重复，

不遗漏的一一列举。在新知的教学中，王老师首先引导学生认识“如何做到有序”，在例1的

教学中，让学生说出他是按照什么样的顺序一一列出长、宽的米数的。引导学生认识到可以

从“长最长是8米开始，然后依次减少1米”这样的顺序列出答案。也可以从“宽最短是1米，

然后依次增加1米”的顺序思考。这样一个教学过程让学生充分认识到了什么是“有序”，怎

样才能做到按照一定的顺序列举。让学生在具体的例子中体会到“有序”列举，注意到“不遗

漏、不重复”。

在例2的教学中，王老师放手，让孩子自主尝试寻找解决问题的策略，孩子们有的用文

字表示，有的用数字表示，有的用符号表示，无论哪一种表达的方式都紧紧围绕着一一列举

这一策略。王老师选中了部分学生的作业呈现给大家作比较，于是怎样规范的列表就在比较

中你一言我一语的渐渐的完善了。整个教学过程注重发挥学生的主动性，引发学生主动用一

一列举策略解决问题的需要，让学生深深体会到列举要有序，先考虑只订1本，再依次分别

考虑订阅2本、订阅3本的情况，而且，订阅2本的情况，还要有序思考把3本杂志两两搭

配订阅，以保证列举不重复，不遗漏。进而，让学生对一一列举的策略有了较全面的和进一

步的认识和理解。

总之这节课的教学充分体现了“学程导航、以学定教”的理念，很有实效。

有思考才有突破

卞月红

上好一节数学课，我们应该关注些什么？是设计环节的与众不同，还是教材的重新组合，我

们总是在寻求一种新的思路，新的手段，但面对一成不变的教材，常常不知如何教出特色。

解决问题的策略之一一列举，我们教研组的老师反复研究，反复设计，但是试教下来，总觉

得和以往没什么两'样，例题—试一试—巩固练习，以最精炼的语言，丰富的问题，引导学

生不停的思考，找到合适的策略，学会用一一列举的方法来解题，并能感受到策略的多样性。

学生也学会了。但课堂就是沉浸在不断的做题中，活不起来。

这次的教研活动，卞校长亲自参与课的研究，在他不断的思考后，终于给我们展示了一节耳

目一新的数学课，同样的两个例题和四道习题，就是因为问题设计的巧妙，习题处理的灵活

而显现出课的耐人寻味。

课一开始，以这节课的重点在哪里引入，并简单交代学习任务，使学生明确了学习目标和内

容。例题1的处理中，用“从这句话中你知道什么信息？还能联想到什么？”来突破难点，给

予学生足够的思考的空间，让学生知道列举前需要解决的问题，就是长方形的长和宽之和是

18米。然后以“有什么好策略把各种方法都找出来？不遗漏、不重复的窍门在哪”等问题，

引出课题，并使学生明白了一一列举时重要的注意点，问题放得开，收得拢，充分展现了设

计者的深厚功底，对教材的透彻把握。

例题二的教学更是独具匠心，审题后，把“如果是你订阅，你会怎么订阅？一共会有几种不

同的方法？你做的和书本上比较一下，有什么话想要与同学分享？”等问题抛给学生，并给

学生充分的自主思考空间，带着问题研究，比较，得出结论，这是最有效的学习。最后让7

个同学上台表示7种结果的环节，把有序这个重要的特点直面展现给学生，学生直观感受到

了分类的有序，排列的有序给解题带来的方便。

整节课听下来，很轻松，很灵活，很扎实，很有效，正如学生最后的评价一样，很开心，都

是自己思考的。这些精彩来自于对教材的不断挖掘，深入思考，看似寻常，却别有一番心思

在里头。

立足学生的发展，让“策略”教学显得更大气

——执教“一一列举”的对比感悟

王振丹

很荣幸，能和卞校长同题异构，在磨课、上课的过程中，我看到了自己的薄弱之处——即所

站的教育角度还不够高，有待更多的理论补充，促进专业成长。

曾经上过“列表”策略的专题研究课，总感觉要上得得心应手、上得出彩有点难。这次执教“一

一列举”的策略，之前有特级教师徐斌的课例，前不久也有兄弟学校的老师执教，听课后的

总体感受是：扎实但不花俏。细细品味徐斌老师的课，可以看出很多细节处的心思。所以我

在备课时给自己的定位便是：清晰，扎实。

课前，我让学生独立探索例1，并提供给每两人18根小棒，由学生自主选择合适的方法解

决问题。在了解预习情况时，我发现很多学生能根据周长18米想到长＋宽＝9（米），有序

列举出4种围法，找了一大圈才收集全我需要的几份作业：遗漏的、无序的和有序的。在展

示环节，我特意按照这样有层次的顺序进行交流，旨在让学生通过对比，感悟列举时要做到

有序，并且无一遗漏。

教学例2时，为了突破“分类”这一难点，我着重让学生分析“最少订1本，最多订3本”的含

义，然后放手让他们独立列举。从课堂反馈来看，多数学生能领会“一一列举”的本意，并想

到用文字、字母、数字来呈现列举的过程，与书上的列表有着异曲同工之处，甚至更为简洁。

而且从后续几课的作业中不难发现，用字母进行一一列举的方式很受学生欢迎，既简单又清

晰。

在练习环节，“飞镖题”从试教起就一直感觉“困难重重”。从最初把书上的“投中两次”改为“投

了两次”，试下来发现学生不理解题目的意思，列举的过程千奇百怪，耗时也很多，于是仍

改回“投中两次”。

纵观整节课，时间把握得比较恰当，环节清晰，基本能达到预设的教学效果。但期间，始终

让我困扰的是：课堂上的交流除了展示、评点、校对，还有其它形式吗？自始至终采取这样

的处理方法，似乎略显单调了些。而听完卞校长的课，我终于解开了心中的困惑，感觉教学

的视野更宽广了……

精彩一：卞校长并未开门见山介绍当堂的策略名称，而是通过设疑——“今天，在解决问题

的过程中会领悟到什么样的策略呢？”巧妙引出例1，让学生带着疑问开始新的学习。

精彩二：出示例题的条件后，卞校长不断地鼓励学生发挥联想，挖掘隐藏的诸多信息，当学

生的反应略有迟缓时，耐心地等待他们的回答。更让人出其不意的是，屏幕上并未直接出示

问题，而是“请你给它提出一个问题”，学生的思维很活跃——“请你求出羊圈的面积？”“有

多少种围法？”“最大的面积是多少？”真是教师问得妙，学生答得好！

精彩三：就在我好奇卞校长准备用什么方式来交流例2时，他提示正在解题的同学们：“独

立完成后，跟书本第64页的方法比较一下，如果不会做，也可以参考书上的方法。”这一招

真是让我惊讶呀！转而反思：我怎么没想到？孩子们可以向老师学，向同伴学，更可以向书

本学，而且这种学习方式更直接、更明了。

整节课中像这样出彩的地方还有很多，比如，例1中“能不能列举长6.5米，宽2.5米？”，

由学生反驳：这些都是1米长的栅栏，不能切断再围，所以长和宽的数据必须是整数；例2

中，展示学生作业后，又让7个同学现场演示，合作表示这7种结果，让学生更直观、形象

地体验“列举”的过程；在课堂总结时，别出心裁地提出“谁来代替老师，给今天的内容做一

次总结？”同样回顾了知识，形式却很吸引人……

卞校长的课堂始终把学生放在首位，重点引导如何审清题意，放手让他们独立解题，交流反

馈的形式多样，上得轻松、活泼，小精彩、大惊喜不断，让人应接不暇，其背后蕴藏的教育

智慧随处可见。作为特级教师，卞校长对于课堂和学生深入研究的精神为我们树立了榜样，

这将不断督促着我们这些还停留在“技术”层面的年轻人向着“艺术的课堂”迈进——不拘泥

于小节，让课堂在智慧的引领下彰显大气，夺取一个又一个教学上的制高点！