奥数专题 时钟问题

2023年10月20日发(作者：好易通电子词典)

奥数专题 时钟问题

第一部分 基础知识点部分

【开门见山 这一段话多半录自百度百科】

时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”

分别是时钟的分针和时针。不同在于时钟问题有别于其他行程问题是：它的速度和总路程的

度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每

分钟走多少小格”。对于正常的时钟：

1.整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6

度。

分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度；

时针速度：每分钟走十二分之一小格，每分钟走0.5度

速度差：每分钟6-0.5=5.5度；每分钟1-1/12=11/12小格

2.需要注意的是在许多时钟问题中，往往遇到各种“怪钟”、“坏了的钟”，它们的时

针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，但是在题目中总会给出标准时钟与特殊钟表

的比例关系，在独立分析的基础上必须要学会十字交叉法。当你做过一个题目后，这个十字

交叉法其实没有啥精妙之处，与浓度问题中的十字交叉类似，实际就是个一元一次方程变种

格式而已。

【温故知新】追击问题的三个特点：同时出发；同向而行；同时停止。追击问题的重要

公式：路程差除以时间差=追击时间。常用的等量关系：快者路程-慢者路程=距离；在实际

题目中，路程差相对变化多一些，主要的类型有：重合问题（路程）

例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为65

又11分之5 分。

认识钟面：

时钟问题解法与算法公式：时钟问题的关键点：

时针每小时走30度; 分针每分钟走6度

分针走一分钟（转6度）时，时针走0．5度，分针与时针的速度差为5．5度。

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第二部分 以知促行

【例题1】从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有：

A．1次 B．2次 C．3次 D．4次

【解析】

时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为90度或者为270度，理论上讲应为２次，还要验证：

根据角度差/速度差 =分钟数，可得 90/5．5= 16又4/11＜60，表示经过16又4/11分钟，时针与分针

第一次垂直；同理，270/5．5 = 49又1/11＜60，表示经过49又1/11分钟，时针与分针第二次垂直。经验

证，选B可以。

【例题2】在某时刻，某钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和

此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为----。

【解法1】

时针10—11点之间的刻度应和分针20—25分钟的刻度相对，所以要想时针与分针成一条直线，则分

针必在这一范围，而选项中加上6分钟后在这一范围的只有10点15分，所以

【解法2】常规方法

设此时刻为X分钟。则6分钟后分针转的角度为6（X+6）度，则此时刻3分钟前的时针转的角度为0．5

（Ｘ＋3）度，以0点为起始来算此时时针的角度为0．5（Ｘ—3）+10×30度。所谓“时针与分针成一条

直线”即0．5（Ｘ—3）+10×30—6（Ｘ+6）=180度，解得Ｘ=15分钟。

著名数学难题：时钟的时针和分针（了解）

由时钟的时针与分针的特殊关系，产生了许多有趣的数学问题，介绍几例，研究解法。

例1 在钟表正常走动的时候，有多少个时针和分针重合的位置？它们分别表示什么时刻？

解：钟表上把一个圆分成了60等分，假如时针从12点开始走过了x个刻度，那么分针就要

走过12x个刻度，即分针走了12x分钟。两针在12点重合后，当分针比时针多走60个刻度

时，出现第一次分针和时针重合；当分针又比时针多走60个刻度时，出现第二次分针和时

针重合；……直至回到12点两针又重合后，又开始重复出现以上情况。用数学式子来表示，

即为：

12x－x=60m，其中m=1，2，…．

度为1小时，对分针来说1个刻度就是1分钟。所以，12点以后出现第四、五、六、七、

八、九、十次重合的时间不难算出它们 :

如果用m=11代入，解得x=60，出现第十一次重合的时间是12点，这样就回到了开始的时

刻，可见，以上共有11次出现两针重合的时间。

1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？

分析：两点钟的时候，分针指向12，时针指向2，分针在时针后5×2＝10（小格）。而分

针每分钟可追及1－＝（小格），要两针重合，分针必须追上10小格，这样所需要时间应

为（10÷）分钟。

解： （5×2）÷（1－）＝10÷＝10（分）

答：2点10分时，两针重合。

2、在4点钟至5点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上？

分析：分针与时针成一条直线时，两针之间相差30小格。在4点钟的时候，分针指向12，

时针指向4，分针在时针后5×4＝20（小格）。因分针比时针速度快，要成直线，分针必须

追上时针（20小格）并超过时针（30小格）后，才能成一条直线。因此，需追及（20＋30）

小格。

解： （5×4＋30）÷（1－）＝50÷＝54（分）

答：在4点54分时，分针和时针在同一条直线上。

3、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角？

分析：分针与时针成直角，相差15小格（或在前或在后），一点时分针在时针后5×1＝5

小格，在成直角，分针必须追及并超过时针，才能构成直角。所以分针需追及（5×1＋15）

小格或追及（5×1＋45）小格。

解： （5×1＋15）÷（1－）＝20÷＝21（分）

或（5×1＋45）÷（1－）＝50÷＝54（分）

答：在1点21分和1点54分时，两针都成直角。

4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好

处在一条直线上。看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。看书期间，小

明听到挂钟一共敲过三下。（每整点，是几点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明从几点

开始看书？看到几点结束的？

分析：连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午12点以后。12点以

后时针与分针：

第一次成一条直线时刻是：（0＋30）÷（1－）＝30÷＝32（分）即12点32分。

第二次成一条直线时刻是：（5×1＋30）÷（1－）＝35÷＝38（分）即 1点38分。

第三次成一条直线的时刻是：（5×2＋30）÷（1－ ）＝40÷＝43（分）即 2点43分。

如果从12点32分开始，到1点38分，只敲2下，到2点43分，就共敲5下（不合题意）

如果从1点38分开始到2点43分，共敲3下。因此，小明应从1点38分开始看书，到2

点43分时结束的。

5、此挂钟走到5点30分，按标准时间还要走27分，因它的速度是标准时钟速度的，实际

走完这27分所要时间应是27÷。

解： 5×（17－12） ＝27 （分） 27÷＝30（分）

答：再经过30分钟，该挂钟才能走到5点30分。

解题关键：时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为12大格，按“分”

分为60小格。每小时，时针走1大格合5小格，分针走12大格合60小格，时针的转速是

分针的，两针速度差是分针的速度的，分针每小时可追及。

【其他例题】

例1：从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线?

5时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为25个小格(表面上

每个数字之间为5个小格)，如果要成直线，则分针要超过时针30个小格，所以在此时间段

内，分针一共比时针多走了55个小格。由每分钟分针比时针都走11/12个小格可知，此段

时间为55/(11/12)=60分钟，也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。

例2：从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合?

6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。如果要第

一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为

30/(11/12)=360/11分钟。

例3：在8时多少分，时针与分针垂直?

8时整时，分针指向正上方，时针指向左下方，两者之间间隔为40个小格。如果要两

者垂直，有两种情况，一个是第一次垂直，此时两者间隔为15个小格(分针落后时针)，也

就是分针比时针多走了25个小格，此段时间为25/(11/12)=300/11分钟;另一次是第二次垂直，

此时两者间隔仍为15个小格(但分针超过时针)，也就是分针比时针多走了55个小格，此段

时间为55/(11/12)=60分钟，时间变为9时，超过了题意的8时多少分要求，所以在8时300/11

分时，分针与时针垂直。

由上面三个例题可以看出，求解此类问题(经过多少时间，分针与时间成多少夹角)时，采用

上述方法是非常方便、简单、快捷的，解题过程形象易懂，结果正确率高，是一种非常好

的方法。解决此类问题的一个关键点就是抓住分针比时针多走了多少个小格，而不论两者

分别走了多少个小格。

下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点。

关于时钟的问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线

等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。

一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。1分钟时间，分针走1个小格，

时针指走了1/60*5=1/12个小格，所以每分钟分针比时针多走11/12个小格，以此作为后续

计算的基础，对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、快捷。

例4：从9点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线?

9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要第

一次成直线，也就是两者之间间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走15个小格，此段

时间为15/(11/12)=180/11分钟。

例5：一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟?

9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要分

针追上时针，也就是两者之间间隔变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段

时间为45/(11/12)=540/11分钟。

例6：时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线?

时针和分针重合，也就是两者间隔为0个小格，如果要成一条直线，也就是两者间隔变

为30个小格，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/(11/12)=360/11分钟。

1.设时钟一圈分成了12格，则时针每小时转1格，分针每小时转12格。

2.时针一昼夜（24小时）转2圈，分针一昼夜转24圈。

3.钟面上每两格之间为30°，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。

4.时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。

【例1】清晨5点时，时钟的时针和分针的夹角是多少度？（）

A. 30度 B. 60度 C. 90度D. 150度［答案］D

［解析］清晨5点时，时针和分针相差5格，则5×30°＝150°。

【例2】中午12点整时，钟面上时针与分针完全重合。那么到当晚12点时，时针与分针还

要重合了多少次？（）A. 10 B. 11 C. 12 D. 13［答案］B

［解一］从中午12点到晚上12点，时针走了1圈，分针走了12圈，比时针多走了11圈。

因此，时针与分针重合了11次。选择B。

［解二］根据基本知识点：由于时针和分针24小时内重合22次，所以12小时内重合11

次。

【例3】小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束时又看了手表，发现时

针和分针恰好互换了位置。问这次会议大约开了1小时多少分？（） #中国公务员考试信息

网 A. 51 B. 47 C. 45 D. 43［答案］A

［解析］根据题意，会议开了1个多小时，那么分针应该转了1圈多不到2圈，时针转了1

格多不到2格。由于“时针和分针恰好互换了位置”，所以时针和分针所转角度之和应该是

整整两圈。假设这个过程经过了T小时，时针12小时转一圈，那么T小时应该转了T/12

圈；分针1小时转一圈，T小时应该转了T圈，那么T+T/12＝2，得到T＝24/13小时，约

合1小时51分。

【例4】某时刻钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后分针和此时刻3分钟前

的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为几点几分？（）

A. 10点15分 B. 10点19分

C. 10点20分 D. 10点25分［答案］A

［解析］代入B、C、D，很明显，这三个时刻的3分钟之前都还是10点多，因此时针在钟

面上的“10”与“11”之间，而这三个时刻6分钟之后已经至少是25分了，即分针已经在

钟面上的“5”上或者之后了。我们知道，钟面上的“10”与“11”之间反过来对应的是“4”

与“5”之间，所以这三个选项对应的时间与条件不符，所以选择A。

核心提示

钟面问题很多本质上是追及问题，可选用公式T＝T0+111T0，其中：T为追及时间，即分针

和时针要“达到条件要求”的真实时间。T0为静态时间，即假设时针不动，分针和时针“达

到条件要求”的时间。

例5 从钟表的12点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重叠中间相隔的时间是（）。

A. 43分钟B. 45分钟C. 49分钟D. 61分钟 ［答案］C

［解析］从12点整往后，时针与分针第一次垂直到再一次重叠的静态时间T0＝45（分钟），

根据公式，其间隔时间T＝T0+T0/11≈49（分钟）。

【例6】（国家2006一类-45、国家2006二类-45）从12时到13时，钟的时针与分针可成

直角的机会有多少次?（）A. 1次 B. 2次 C. 3次 D. 4次［答案］B

［解一］从12时到13时，时针旋转了30°；分针旋转了360°。分针与时针所成的角度从

0°变化到330°（其中包括90°和270°），因此有2次成直角的机会。选择B。

［解二］根据公式：从12点开始算，时针与分针成直角的“静态时间”为15分钟或45分

钟，追及时间为15+1511=16411、45+4511=49111分钟，所以垂直两次。

【例7】（广东2008年）时针与分针在5点多少分第一次垂直？（）

A. 5点10分 B. 5点101011分 C. 5点11分 D. 5点12分［答案］B

［解析］根据公式：时针与分针5点后第一次成直角的“静态时间”为10分钟，追及时间

为10+1011=101011分钟，所以选择B。 强华公务员

【例8】时针与分针两次垂直的间隔有多长时间？（）

A. 32 B. 32811分 C. 33分 D. 34分［答案］B

［解一］根据公式：时针与分针两次垂直间隔的“静态时间”为30分钟，代入公式算得追

及时间为 30+3011=32811分钟，所以选择B。

［解二］根据基本知识点：时针与分针24小时内垂直44次，所以垂直间隔为：24×6044=32811

分钟。

核心提示当时钟问题涉及“坏表”时，其本质是“比例问题”。解题的关键是抓住“标准比”，

按比例计算。

【例9】（国家2005二类-46）有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分的时候，把钟

对准了标准时间，则钟走到当天上午10点50分的时候，标准时间是多少?（）

A. 11点整 B. 11点5分 C. 11点10分 D. 11点15分［答案］C

［解析］标准比：标准时间走60分钟时，慢钟走57分钟。此时，慢钟从4点30分走到10

点50分，一共走了6小时20分，合380分钟，假设标准时间走了x分钟，那么：x∶380=60∶

57，可得：x＝400（分钟）。说明标准时间比慢钟快400-380＝20分钟，慢钟走到了10点

50分，实际上应该是11点10分了。

【例10】（国家2005一类-46）一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比

标准时间慢3分钟。如将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，

慢钟恰好显示9点整。则此时的标准时间是多少？（）

A. 9点15分 B. 9点30分 C. 9点35分 D. 9点45分［答案］D

［解析］快钟、慢钟与标准时间的差的标准比为1∶3。假设现在是9点x分（快钟显示10

点整，慢钟显示9点整），那么（60-x）∶（x-0）＝1∶3，解得：x＝45。所以标准时间是

9点45分。

时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具,生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。

关于时钟的问题有：

求时间差：

例：从上午五点十五分到下午两点四十五分之间，共有多少时间？

A.8小时 B.8小时30分 C.9小时30分 D.9小时50分

解析：这种属于最简单的时钟问题。答案是14.45-5.15=9.30 C

求慢（快）表在几小时后显示什么时间？

例：有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到

当天上午10点50分的时候，标准时间是( )。

A．11点整 B．11点5分 c．1l点1O分 D．11点15分

解析：慢表显示经过的时间是：10：50-4：30=6小时20分钟=380分钟，实际经过的时间应

该是：380÷[（60-3）/60]=400分钟=6小时40分钟，答案为C：4：30+6：40=11：10。

例：一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。如将两个

钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点整。则此

时的标准时间是( )。

A．9点15分 B 9点30分 c．9点35分 D 9点45分

解析：这是2个不准确的时钟问题，也是这种问题的一个延伸。

我们可以看到，在一个小时内，快钟与慢钟有4分钟的差距，而4分钟里面，1分钟时快走

造成的，3分钟时慢走造成的。所以当它们（快慢钟）的差距有60分钟时，那么一样，1/4

的时间=15分钟时快走造成的，3/4的时间（45分钟）时慢走造成的。所以标准时间为9点

45分，答案为D。

总结：其实这种类型题是较为简单的，关键把握一点，就是不准确的时钟与标准时间的比例

关系，也就是常说的一小时慢（快）多少，然后再推广到几个小时后，而这种比例是不变的。

延伸：通过第二道例题，大家可以多少感觉到，有点像路程问题，其实这正是解决时钟问题

中较困难问题的一个核心思想。下面，我们继续往下看，来看看时钟问题中较为困难的类型。

求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。

例：中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点，时针与分针重合多少次？

一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。1小时时间，分针走60个小格，时

针只走了5个小格，所以每小时分针比时针多走55个小格。

解析：就此题而言，可以看作是跑道同向相遇问题：

时针: v1=5格/小时 分针：v2=60格/小时

n*60=（v2-v1）*12 即：重合一次，多走60个格，假设重合了N次，所以多走了n*60；再

有，一小时多走（60-5）个格，总共走了12小时，所以多走了（60-5）*12个格。解出：n=11

例：从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？

解析：6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。如果要

第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为

30/55=6/11小时=360/11分钟。

例：一个指在九点钟的时钟，多少分钟后时针与分针第一次重合？

解析：9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要

分针与时针重合，也就是两者之间间隔变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，

此段时间为45/55小时=540/11分钟。

总结：这类题型其本质就是追击问题。我们知道在追击问题中，关键是要知道路程差，速度

差。而在时针与分针重合问题中，路程差就是时针分针之间有多少个小格，速度差就是一小

时差55格（前面已经分析过）。所以本着这两点，这类问题可以迎刃而解。

大家可以看看下面这两个问题：供大家思考，也是对这类问题的延伸。

例：爷爷家的老式钟的时针与分针每隔66分钟重合一次,这只钟每昼夜慢多少分钟?

解析：正常的钟每隔(12/11)小时=(720/11)分钟重合一次，

爷爷家的老式钟是726/11分钟重合一次，慢了6/11分钟。

每小时这个钟就会慢【(6/11)/(720/11)】*60=1/2分钟。

一昼夜共慢了1/2*24=12分钟。

时针分针讨论了不少，我们稍微换一换，看看分针和秒针的问题。

例：1个小时内分针和秒针共重叠（ ）次。

A.60 B.59 C.61 D.55

这个题目很多人认为是61次，我们来讨论一下：

首先，从一个理想状态来研究，因为理想状态也是其中的符合条件的情况，比如正点时刻

分针和秒针都是在12上

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，。。。。。。。58，59，60

我们来仔细分析

当0分钟时刻，分针秒针都是在一起，算1次重叠。但是在0～1之间却是没有重合的，因

为当秒针从12转一圈之后回到12，此时的分针已经偏离12，1格子的角度了。从1～2分

钟时刻开始，秒针和分针就开始在其每分钟的间隙之间重叠了。当到了59～60分钟之间，

最后是分针和秒针同时到达12上，形成了最后一次重复。在59～60间隙里面也是没有重合

的。

这样我们就可以把开始0位置上的重合看作是0～1上的重合，60上的重合看作是59～60

之间的重合，整个过程就发现就是60次。

其次：如果不是理想状态。这个题目就出现了2个结果。就是看间隔。59个间隔至少有59

次相遇。第一次的间隔没有。

这里有一个问题，很多人认为 当出现整点到整点时刻是不是不包含两端的端点时刻。如果

题目没有交代的情况下是包涵的，跟植树问题是样的。如果交代了，自然按照题目交代的情

况来做。

时钟问题经典例题详解

例：现在是2 点，什么时候时针与分针第一次重合？

析：2 点时候，时针处在第10 格位置，分针处于第0 格，相差10 格，则需经过10 / 11/12

分钟的时间。

例：中午12 点，时针与分针完全重合，那么到下次12 点时，时针与分针重合多少次？

析：时针与分针重合后再追随上，只可能分针追及了60 格，则分针追赶时针一次，耗时60

/11/12 ＝720/11 分钟，而12 小时能追随及12*60 分钟/ 720/11 分钟/次=11 次，第11 次时，

时针与分针又完全重合在12 点。如果不算中午12 点第一次重合的次数，应为11 次。如

果题目是到下次12 点之前，重合几次，应为11-1 次，因为不算最后一次重合的次数。

2. 分针与秒针秒针每秒钟走一格，分针每60 秒钟走一格，则分针每秒钟走1/60 格，每秒

钟秒针比分针多走59/60 格

3. 例：中午12 点，秒针与分针完全重合，那么到下午1 点时，两针重合多少次？

析：秒针与分针重合，秒针走比分针快，重合后再追上，只可能秒针追赶了60 格，则秒针

追分针一次耗时，60 格/ 59/60 格/秒= 3600/59 秒。而到1 点时，总共有时间3600 秒，则

能追赶，3600 秒/ 3600/59 秒/次=59 次。第59 次时，共追赶了，59 次*3600/59 秒/次=3600

秒，分针走了60 格，即经过1 小时后，两针又重合在12 点。则重合了59 次。

3.时针与秒针

秒针每秒走一格，时针3600 秒走5格，则时针每秒走1/720 格，每秒钟秒针比时针多走

719/720格。

例：中午12 点，秒针与时针完全重合，那么到下次12 点时，时针与秒针重合了多少次?

析：重合后再追上，只可能是秒针追赶了时针60 格，每秒钟追719/720 格，则要一次要追

60 /719/720=43200/719 秒。而12 个小时有12*3600 秒时间，则可以追12*3600/43200/719

＝710次。此时重合在12 点位置上，即重合了719 次。

4.成角度问题

例：在时钟盘面上，1 点45 分时的时针与分针之间的夹角是多少？

析：一点时，时针分针差5 格，到45 分时，分针比时针多走了11/12*45＝41.25 格，则分

针 此时在时针的右边36.25 格，一格是360/60＝6 度，则成夹角是,36.25*6=217.5 度。

5.相遇问题

例：3 点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？

析：作图，此题转化为时针以每分1/12 速度的速度，分针以每分1 格的速度相向而行，当

时针和分针离3 距离相等，两针相遇，行程15 格，则耗时15 / 1+ 1/12 =180/13 分。

例：小明做作业的时间不足1 时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时

针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？

析：只可能是这个图形的情形，则分针走了大弧B-A，时针走了小弧A-B，即这段时间时针

和分针共走了60 格，而时针每分钟1/12 格，分针1 格，则总共走了60/ (1/12+1)=720/13 分

钟，即花了720/13 分钟。

钟表上的追及问题加强内容

一. 格数法：钟表面的外周长被分为60个“分格”，时针1小时走5个分格，所以时针一

1

分钟转分格，分针一分钟转1个分格。因此可以利用时针与分针旋转的“分格”数来解

12

决这个问题。

x

解析 （1）设3点x分时，时针与分针重合，则分针走x个分格，时针走个分格。因为

12

在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，所以当分针与时针在3点与4点之间重合时，

x15x16

分针比时针多走15个分格，于是得方程，解得。

x4

1211

4

所以3点16分时，时针与分针重合。

11

（2）设3点x分时，时针与分针成平角。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，

而在3点到4点之间，时针与分针成一平角时，分针在时针前30分格处，此时分针比时针

x45

多走了45分格，于是得方程，解得。

x

12

x49

1

11

49

所以3点分时，时针与分针成平角。

1

11

（3）设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针在时针前15分格处，所以在3点到4

x30

点之间，时针与分针成直角时，分针比时针多走了30分格，于是得方程，解得

x

12

x32

8

11

。

32

8

11

分时，时针与分针成直角。 所以3点

二. 度数法

对钟表而言，时针12小时旋转一圈，分针1小时旋转一圈，转过的角度都是360°，所以

时针1分钟转过的角度是0.5°，分针1分钟转过的角度是6°。故也可以利用时针与分针

转过的度数来解决这道题。

解析 （1）设3点x分时，时针与分针重合，则时针旋转的角度是0.5x°，分针旋转的角

度是6x°。整3点时，时针与分针的夹角是90°，当两针重合时，分针比时针多转了90°，

.x906x05

，解得于是得方程。

x16

4

11

（2）设3点x分时，时针与分针成平角。此时分针比时针多转了90°+180°=270°，于是

得方程，解得。

6x0.5x270

x49

1

11

（3）设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针比时针多转了，于是得

9090180

方程，解得。

6x0.5x180

x32

8

11

练一练

1. 钟表上9点到10点之间，什么时刻时针与分针重合？

2. 钟表上5点到6点之间，什么时刻时针与分针互相垂直？

3. 钟表上3点到4点之间，什么时刻时针与分针成40°的角？

4. 钟表上2点到3点之间，什么时刻时针与分针成一直线？

1710

（参考答案：1. 9点49分； 2. 5点43或5点10分；

1111

11

71

7

3. 3点9分或3点23分； 4. 2点43分。）

1111

11

网络上的经典问题

【钟表指针重叠问题】

中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？

（2006国家考题）

A、10 B、11 C、12 D、13 答案B

2、中午12点，秒针与分针完全重合，那么到下午1点时，两针重合多少次？

A、60 B、59 C、61 D、62 答案B

讲讲第2题，如果第2题弄懂了第1题也就懂了！

给大家介绍我认为网友比较经典的解法：

考友1.其实这个题目就是追击问题，我们现在以钟表上的每一刻度为一个单位，这时秒针的

速度就是是分针速度的60倍，秒针和分针一起从12点

的刻度开始走，多久分针追上时针呢？我们列个方程就可以了，设分针的速度为1格/秒，

那么秒针的速度就是60格/秒，设追上的时候路程是S，

时间是t，方程为(1+60)t＝S 即61t＝S，中午12点到下午1点，秒针一共走了3600格，即

S的范围是0，那么t的范围就是0

即0，因为t只能取整数，所以t为1～59，也就是他们相遇59次。

第1题跟这个思路是一样的。

给大家一个公式

61T＝S （S为题目中最小的单位在题目所要求的时间内所走的格数，确定S后算出T的

最大值就知道相遇多少次了）

如第1题，题目中最小单位为分针，题目所要求的时间为12小时，也就是说分针走了720

格T(max)=720/61.8，取整数就是11。

1、钟表指针重叠问题

中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？

A、10 B、11 C、12 D、13

考友2.这道题我是这么解,大家比较一下:

解:可以看做追及问题,时针的速度是:1/12格/分 分针的速度是:1格/分.

追上一次的时间=路程差/速度差=60/(1-1/12)=720/11分

从12点到12点的总时间是720 分钟,所以重合次数n=总时间/追上一次的时间=720/720/11

次

【关于成角度的问题，给力的公式及变式】设X时时，夹角为30X ， Y分时，分针追时

针5.5，设夹角为A.（请大家掌握）

钟面分12大格60小格每一大格为360除以12等于30度，每过一分钟分针走6度，时针

走0.5度，能追5.5度。

1.【30X－5.5Y】或是360－【30X-5.5Y】 【】表示绝对值的意义（求角度公式）

变式与应用

2.【30X－5.5Y】=A或是360－【30X-5.5Y】=A

（已知角度或时针或分针求其中一个的公式。

3.由变式2.可以变为

30×〔(X-Y/5)＋Y/60]=A或30×｛〔（X+12)-Y/5]＋Y/60}=A

说明变式3.实质上完全等同变式2.

例题3〔2000年国家考题〕

某时刻钟表时间在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时刻

正好方向相反且在一条直线上，则从时刻为（）

A.10点15分 B.10点19分 C.10点20分 D.10点25分

思路1.设时刻正好方向相反且在一条直线上的分针为Y,用变式2解出

30×10－5.5Y=180 解出Y=21又9/11分，Y-6=15又9/11分,本题最接近A.(说明此国考题不

够严谨！）

思路2.根据钟表的特点：首先看时针在10点到11点之间，那么根据“正好方向相反且在一

条直线上”分针必在4点到5点之间（相对时针而言），那么在6分钟以前分针必在3点附

近（相对时针而言），运用排除法选A