42抽象与概括

第二节 抽象与概括

一、抽象与概括在小学数学教学中的体现

在小学数学教学中，概念的形成、运算定律的归结都离不开抽象与概括这一

数学思想方法。如一年级1~10数的认识，四年级各种运算定律的教学，五年级

“数的整除”各种数概念的教学等等都是通过抽象与概括进行教学的。

二、抽象与概括的基本知识

1、 抽象与概括的含义及其过程

（1）抽象的含义及其过程

抽象是在头脑中把同类事物的共同的、本质的特征抽取出来，并舍弃个别的、

非本质特征的思维过程。

抽象过程是非常复杂的，但大多数的抽象过程基本都涉及到这四个环节，即

比较和区分、舍弃和收括。所谓比较，就是在思维中确定对象之间的相同点和不

同点；而所谓区分，则是把比较得到的相同点和不同点在思维中固定下来，利用

它们把对象分为不同的类。然后再进行舍弃与收括，舍弃是指在思维中不考虑对

象的某些性质，收括则是指把对象的我们所需要的性质固定下来，并用词表达出

来。这就形成了抽象的概念，同时也就形成了表示这个概念的词，于是完成了一

个抽象过程。

例1 质数、合数概念的形成。通过对自然数能否被其他数整除作比较，发

现有些自然数除了1和其自身外不能被其他自然数整除；有些自然数除了能被1

和自身外还能被其他数整除；而1只能被1整除。这样通过比较区分，就把最初

所考察的对象自然数分成了3类。进一步舍弃掉具体的除法运算等性质，收括一

个自然数被其他自然数整除个数的性质，分别形成了质数和合数的概念。

（2）概括的含义及其过程

概括就是把个别事物的某些属性推广到同类事物中去或者总结同类事物的

共同属性的思维过程。

一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环节。比较和区分的

具体做法与抽象过程中的一样，不过在概括过程中，通过比较和区分要得到的是

某类对象的共同本质；扩张指的是把由比较区分得到的关于对象的共同点推广到

1

包括这些对象的一类更广泛的对象的共同本质，这是区别于抽象的一个环节，是

概括的关键。

例2 由计算知

1+2=3=

1+2+3=6=

1+2+3+4=10=

„„„„

1+2+3+„+19+20=210=

通过对以上19个算式的比较区分可得出一个共同点；连续若干个从1开始

的自然数的和等于最后的那个数乘以其后继数的积的一半。把这个共同点推广到

所有自然数，即有 1+2+3+4+„+n= 最后可用数学归纳法证明，这是一

个正确的命题。这就是一个的概括过程。

（3）抽象和概括的区别和联系

抽象方法与概括方法是不同的。抽象是从具体事物的多种性质中抽取某些性

质给予单独考察，所以抽象侧重于分析、提炼。如例1是抽取“一个自然数被其

他自然数整除个数”这一本质的特性。而概括是在思维中由认识个别事物的本质

属性，发展到认识具有这种属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念，

所以概括侧重于归纳、综合。如例2就把19个算式表现出的规律性推广到了所

有这样的算式中。

但抽象和概括又是密切联系的。抽象是概括的基础，而概括则是抽象的发展。

数学中概念的形成、问题的解决往往是二者协同作用下完成的。因此，有时将抽

象方法和概括方法统称为抽象概括方法。

2、抽象的种类

从抽象的目的来看，可分为表征性抽象、原理性抽象和方法性抽象。

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（1）表征性抽象

所谓表征性抽象是以提炼概念、数学符号为目的的一种抽象。它往往以可

观察的事物为直接起点，对事物所表现出来的特征进行抽象。

例4 分数概念的形成

在教学分数的意义时，通过演示教具和操作学具，让学生把一个圆，一个正

方形，20根小棒，一条线段，各自分成若干等份，标出其中的一份或几份；撇

开各种实物的不同颜色、形状，而仅仅注意它们等分的份数以及所取的几份。多

次操作后，结合直观图示抽象出：“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样的

一份或者几份的数，叫做分数。”然后再介绍分数的表示方法及分数各部分的名

称，最后再让学生举出几个不同的分数并说出它们表示的意义。这样，分数的概

念在学生头脑中就初步形成了。

（2）原理性抽象

所谓原理性抽象是以探索数学原理、性质、定律等为目的的一种抽象。它是

在表征性抽象的基础上形成的一种深层次抽象，它所关注的是事物的因果联系和

规律性联系，所以抽象的结果往往是数学的性质、定理等。

例5 同分母分数加法的法则

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先用两张分别表示 和 的长方形纸条（所表示的单位“1”要相同），用实

77

335335123

际操作来演示 + = ；然后观察 + = 和 + = 的共同特征。这里舍弃

777777555

的是算式中的具体不同的数，抽取的是它们的共同本质，即每个算式中分母相同

意味着分数单位相同，所以在相加时，分子直接相加，分母不变。从而抽象出：

“同分母分数相加，只把分子相加，分母不变”的分数加法计算法则。

（3）方法性抽象

所谓方法性抽象是以数学方法的获得为目的的一种抽象，它是一种更深层次

抽象。如数学家通过用消元法对方程组的解答，把方程组中的各个系数抽象成行

列式，然后抽象成用行列式来解答；又如把经验的归纳方法抽象为演绎的本质方

3

法——数学归纳法。

从抽象的方式来看，可分为弱抽象、强抽象和广义抽象。

（1）弱抽象

所谓弱抽象是指从原型中选取某一特征（侧面）加以抽象，从而获得比原结

构更广的结构，使原结构成为后者的特例。弱抽象也可称做“概念扩张式抽象”。

例6 如“点”的概念，通过延伸、扩张可以抽象出“直线”的概念，而“点”

又是“直线”的特例。

（2）强抽象

所谓强抽象指在原结构中增添某一特征，通过抽象获得比原结构更丰富的结

构，使后者成为前者的特例。强抽象也可叫做“强化结构式抽象”。

例7 在四边形概念中，增加两组对边平行这个条件，就可抽象得到平行四

边形的概念，平行四边形是四边形的特例。

（3）广义抽象

除强抽象和弱抽象外，还可以有各种意义下的抽象，如定义概念B时用到

了概念A，或者证明定理B时用到了定理A，我们就说B比A抽象，这样的抽

象称为广义抽象。

例6 我们在定义“互质数”时用到“公约数”，显然“互质数”要比“公

约数”抽象。这种抽象过程是一种广义抽象。

思考题：

1. 以第十册“数的整除”这一单元为内容，画出各概念间的关系图，并对各个

概念的抽象方式作出分析。

2. 以小学数学教材中的教学内容，举一个原理性抽象的例子。

3. 以小学数学教材中的教学内容，举一个概括的例子。

资料来源：

1. 《数学思想方法》 顾泠沅 朱成杰 中央广播电视大学出版社 2004年6月第1版

2． 《数学思想方法教学研究导论》 朱成杰 文汇出版社 2001年6月第2版

3． 《徐利治论数学方法学》 徐利治 山东教育出版社 2001年12月第1版

4． 中央电大开放教育小学教育本科《数学思想与方法》课程学习辅导材料

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