2020年第九届小学数学“梦想杯”全国数学邀请赛试卷(五年级第2试)_百

20112

年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（五年级第

试）

一、填空题（每小题5分，共60分）

1．（5分）计算：0.15÷2.1×56＝．

．2．（5分）15+115+1115+11115+…+1111111115＝

3．（5分）一个自然数除以3，得余数2，用所得的商除以4，得余数3．若用这个自然数除

以6，得余数．

个正方形．4．（5分）数一数图中有

5．（5分）有一些自然数（0除外）既是平方数，又是立方数．（注：平方数可以写成两个相

同的自然数的乘积，立方数可以写成三个自然数的乘积）．如：1＝1×1＝1×1×164

＝8×8＝4×4×4．那么，1000以内的自然数中，这样的数有个．

6．（5分）有一个自然数，它的最小的两个约数的差是4，最大的两个约数的差是308，则

这个自然数是．

7．（5分）如图，先将4黑1白共5个棋子放在圆上，然后在同色的两子之间放入一个白子，

在异色的两子之间放入一个黑子，再将原来的5个棋子拿掉．如此不断操作下去，圆圈

上的5个棋子中最多有个白子．

8．（5分）甲乙两人分别从AB两地同时相向而行，甲的速度是乙的3倍．经过60分钟，两

人相遇，然后，甲的速度减为原速的一半，乙的速度不变，两人各自继续前行，那么，

当甲到达B地后，再经过分钟，乙到达A地．

9．（5分）如图，将一个棱长为1米的正方体木块分别沿长宽高三个方向锯开1，2，3次得

到24个长方形木块，这24个长方形木块的表面积的和是平方米．

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10．（5分）如图，小丽和小明的桶中原来各装有3千克和5千克水，依据图中的信息可知，

小丽的桶最多可以装千克水，小明的桶最多可以装千克水．

11．（5分）将1～2011的奇数排成一列，然后按每组1，2，3，2，1，2，3，2，1，…个数

的规律分组如下（每个括号为一组）：

（1）（3，5）（7，9，11）（13，15）（17）（19，21）（23，25，27）（29，31）（33）…

则最后一个括号内的各数之和是．

12．（5分）当爷爷的年龄是爸爸年龄的2倍时，小明1岁；当爸爸的年龄是小明的年龄的8

倍时，爷爷61岁．那么，爷爷比小明大岁；当爷爷的年龄是小明年龄的20倍时，

爸爸的年龄是岁．

二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程．

13．（15分）如图，大小两个正方形并排放在一起，请分别在图乙和图丙中阴影标出一个几

何图形（不一定是三角形，可以是任意的多边形），使它的面积等于图甲中的阴影面积．（直

接作图，不写解答过程）

14．（15分）甲、乙、丙、丁4人去钓鱼，共钓到25条鱼，按数量从多到少的排名是甲、

乙、丙、丁．又知甲钓到的鱼的条数是乙和丙钓到鱼的条数的和，乙钓到鱼的条数是丙

和丁钓到鱼的条数的和．那么，甲乙丙丁各钓到几条鱼？

15．（15分）A、B两地间有一条公路，甲乙两辆车分别从AB两地同时相向出发，甲车的速

度是50千米/时．经过1小时，两车第一次相遇．然后两车继续行驶，各自到达B、A两

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地后都立即返回，第二次相遇点与第一次相遇点的距离是20千米．求：

（1）AB两地的距离．

（2）乙车的速度．

16．（15分）观察以下的运算：

若是三位数，因为＝100a+10b+c＝99a+9b+（a+b+c）

能被9整除．所以，若a+b+c能被9整除，

这个结论可以推广到任意多位数．

运用以上的结论，解答以下问题：

（1）N是2011位数，每位数字都是2，求N被9除，得到的余数．

（2）N是n位数，每位数字都是7，n是被9除余3的数．求N被9除，得到的余数．

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2011年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（五

年级第2试）

参考答案与试题解析

一、填空题（每小题5分，共60分）

1．（5分）计算：0.15÷2.1×56＝4．

【解答】解：0.15÷2.1×56，

＝0.15×56÷2.1

＝0.15×8×7÷2.1

＝1.2×，

＝4．

故答案为：4．

2．（5分）15+115+1115+11115+…+1111111115＝1234567935．

【解答】解：15+115+1115+11115+11115+…+1111111115，

＝（10+110+1110+11110+1111110+1111110+11111110+111111110+1111111110）+5×9，

＝1234567890+45，

＝1234567935．

故答案为：1234567935．

3．（5分）一个自然数除以3，得余数2，用所得的商除以4，得余数3．若用这个自然数除

以6，得余数5．

【解答】解：设这个商除以4得余数3时所得商为x，

则这个商为4x+3，

这个自数数为：（4x+3）×3+2＝12x+11＝6×（2x+1）+5，

所以若用这个自然数除以6，得余数5．

故答案为：5．

4．（5分）数一数图中有18个正方形．

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【解答】解：1个小正方形的个数为：13个；

含有4个小正方形的大正方形的个数为：4；

含有9个小正方形的大正方形的个数为：1．

故有13+4+1＝18个正方形．

或直接利用公式先求中间由9个小正方形组成的正方形一共有：3＝14，

222

+2+1

加上四周的4个共14+4＝18个．

故答案为：18．

5．（5分）有一些自然数（0除外）既是平方数，又是立方数．（注：平方数可以写成两个相

同的自然数的乘积，立方数可以写成三个自然数的乘积）．如：1＝1×1＝1×1×164

＝8×8＝4×4×4．那么，1000以内的自然数中，这样的数有3个．

【解答】解：既是平方数，又是立方数的数一定是完全六次方数，

所以：1＝1，2＝64，3＝729，4＝4096…

6666

而4＝4096超过了1000，所以共有3个．

6

故答案为：3．

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6．（5分）有一个自然数，它的最小的两个约数的差是4，最大的两个约数的差是308，则

这个自然数是385．

【解答】解：因为，最小的约数为1，所以第二小的约数为1+4，

因此最大的约数为本身x，第二大的约数为x÷5，

所以，x﹣x÷5＝308，

x﹣＝308，

x＝308，

x＝308，

x＝308×，

x＝385；

故答案为：385．

7．（5分）如图，先将4黑1白共5个棋子放在圆上，然后在同色的两子之间放入一个白子，

在异色的两子之间放入一个黑子，再将原来的5个棋子拿掉．如此不断操作下去，圆圈

上的5个棋子中最多有3个白子．

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【解答】解：由上图可以看出，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上白子最多能有3

个．

答：圆圈上的5个棋子中最多有3个白棋子．

故答案为：3．

8．（5分）甲乙两人分别从AB两地同时相向而行，甲的速度是乙的3倍．经过60分钟，两

人相遇，然后，甲的速度减为原速的一半，乙的速度不变，两人各自继续前行，那么，

当甲到达B地后，再经过140分钟，乙到达A地．

【解答】解：设乙的速度是x米/分钟，则甲的速度是3x米/分钟，

相遇后甲到达B地的时间：60x÷（3x÷2），

＝60x÷1.5x，

＝40（分钟）；

相遇后已到达A地的时间：（60×3x）÷x，

＝180x÷x，

＝180（分钟）；

180﹣40＝140（分钟）；

答：当甲到达B地后，再经过140分钟，乙到达A地．

故答案为：140．

9．（5分）如图，将一个棱长为1米的正方体木块分别沿长宽高三个方向锯开1，2，3次得

到24个长方形木块，这24个长方形木块的表面积的和是18平方米．

【解答】解：1×6+（2+4+6）×1

22

＝6+12

＝18（m）．

2

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711

故答案为：18．

10．（5分）如图，小丽和小明的桶中原来各装有3千克和5千克水，依据图中的信息可知，

小丽的桶最多可以装3.2千克水，小明的桶最多可以装6.4千克水．

【解答】解：设小丽的桶最多可以装x千克水，则小明的桶最多可以装（8﹣0.5x）千克

水，根据题意可得方程：

5﹣（x﹣3）＝（8﹣0.5x）×，

x＝2，

x＝3.2，

8﹣0.5×3.2＝6.4（千克），

答：小丽的桶最多能装3.2千克，小明的桶最多可装6.4千克．

故答案为：3.2；6.4．

11．（5分）将1～2011的奇数排成一列，然后按每组1，2，3，2，1，2，3，2，1，…个数

的规律分组如下（每个括号为一组）：

（1）（3，5）（7，9，11）（13，15）（17）（19，21）（23，25，27）（29，31）（33）…

则最后一个括号内的各数之和是6027．

【解答】解：1+2+3+2＝8，即分组规律为每8个数一循环，

2010÷2+1＝1006（个），

1006÷8＝125…6．

1～2011中最后6个奇数为：（2001），（2003，2005），（2007，2009，2011）．

则最后一个括号内的各数之和为：2007+2009+2011＝6027．

故答案为：6027．

12．（5分）当爷爷的年龄是爸爸年龄的2倍时，小明1岁；当爸爸的年龄是小明的年龄的8

倍时，爷爷61岁．那么，爷爷比小明大57岁；当爷爷的年龄是小明年龄的20倍时，

爸爸的年龄是31岁．

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【解答】解：（1）设爷爷比小明大x岁，根据题意可得方程：

x+1﹣＝61﹣8×（61﹣x），

整理可得：15x＝855，

x＝57，

（2）小明1岁时，爷爷的年龄是：57+1＝58（岁），爸爸的年龄是：58÷2＝29（岁）；

所以爷爷与爸爸的年龄差是：58﹣29＝29（岁），爸爸与小明的年龄差是：29﹣1＝28（岁）．

设当爷爷的年龄是小明年龄的20倍时，爸爸的年龄为y岁，根据题意可得方程：

29+y＝20×（y﹣28），

19y＝589，

y＝31，

答：爷爷比小明大57岁；当爷爷的年龄是小明年龄的20倍时，爸爸的年龄是31岁．

故答案为：57；31．

二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程．

13．（15分）如图，大小两个正方形并排放在一起，请分别在图乙和图丙中阴影标出一个几

何图形（不一定是三角形，可以是任意的多边形），使它的面积等于图甲中的阴影面积．（直

接作图，不写解答过程）

【解答】解：答案如图，

14．（15分）甲、乙、丙、丁4人去钓鱼，共钓到25条鱼，按数量从多到少的排名是甲、

乙、丙、丁．又知甲钓到的鱼的条数是乙和丙钓到鱼的条数的和，乙钓到鱼的条数是丙

和丁钓到鱼的条数的和．那么，甲乙丙丁各钓到几条鱼？

【解答】解：设甲乙丙丁分别钓了a、b、c、d条鱼，且a＞b＞c＞d，根据题意可得方程：

a+b+c+d＝25，①；

a＝b+c，②；

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b＝c+d，③；

把③代入②可得：a＝2c+d，④；

把③和④都代入①可得：

4c+3d＝25，解得这个二元一次方程的整数解有：

当c＝1时，d＝7；

当c＝4时，d＝3；

又因为：c＞d，所以符合题意的只有c＝4，d＝3，

所以b＝4+3＝7；a＝7+4＝11；

答：甲乙丙丁分别钓了11条、7条、4条、3条．

15．（15分）A、B两地间有一条公路，甲乙两辆车分别从AB两地同时相向出发，甲车的速

度是50千米/时．经过1小时，两车第一次相遇．然后两车继续行驶，各自到达B、A两

地后都立即返回，第二次相遇点与第一次相遇点的距离是20千米．求：

（1）AB两地的距离．

（2）乙车的速度．

【解答】解：（1）第二次相遇地点距A地50+20＝70千米时，

AB两地的距离为：

（50×3+50+20）÷2

＝220÷2，

＝110（千米）．

答：AB两地的距离为110千米．

乙车的速度为：

110÷1﹣50

＝110﹣50，

＝60（千米/小时）．

答：乙车的速度为60千米/小时．

成第二次相遇时距离A地50﹣20＝30千米时：

（50×3+50﹣20）÷2

＝180÷2，

＝90（千米）．

答：AB两地的距离为90千米．

第页（共页）

1011

乙车的速度为：

90÷1﹣50

＝90﹣50，

＝40（千米/小时）．

答：乙车的速度为40千米/小时．

16．（15分）观察以下的运算：

若是三位数，因为＝100a+10b+c＝99a+9b+（a+b+c）

能被9整除．所以，若a+b+c能被9整除，

这个结论可以推广到任意多位数．

运用以上的结论，解答以下问题：

（1）N是2011位数，每位数字都是2，求N被9除，得到的余数．

（2）N是n位数，每位数字都是7，n是被9除余3的数．求N被9除，得到的余数．

【解答】解：（1）2011×2＝4022；

4022÷9＝446…8，

所以N被9除，得到的余数是8；

（2）自然数N各个数位上数字之和为7n；由于n÷9余3，所以不妨设n＝9k+3，

则7n＝7（9k+3）＝63k+21＝（63k+18）+3＝9（7k+2）+3；

那么N﹣3的各个数位上数字和为7n﹣3＝9（7k+2）能被9整除，所以N﹣3能被9整除，

所以N被9除的余数也是3．

答：（1）N被9除，得到的余数是9，（2）N被9除，得到的余数是3．

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