四年级奥数第三十五周 容斥原理

第三十五周 容斥原理

专题简析：

容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,也叫容斥

原理.即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的

和中排除重复部分.

容斥原理：对n个事物,如果采用不同的分类标准,按性质a分

类与性质b分类（如图）,那么具有性质a或性质b的事物的个数

=N＋N－N.

abab

Na

Nab

Nb

例1：一个班有48人,班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举

手！”有37人举手.又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举

手.最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手.求这个

班语文、数学作业都完成的人数.

分析 完成语文作业的有37人,完成数学作业的有42人,一共

有37＋42=79人,多于全班人数.这是因为语文、数学作业都完成的

人数在统计做完语文作业的人数时算过一次,在统计做完数学作业

的人数时又算了一次,这样就多算了一次.所以,这个班语文、数作业

都完成的有：79－48=31人.

练 习 一

1,五年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功

课取得优秀成绩.其中语文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人.

语文、数学都优秀的有多少人？

2,四年级一班有54人,订阅《小学生优秀作文》和《数学大世

界》两种读物的有13人,订《小学生优秀作文》的有45人,每人至

少订一种读物,订《数学大世界》的有多少人？

3,学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有

24人,会弹电子琴的有17人,其中两种乐器都会演奏的有8人.这个

文艺组一共有多少人？

例2：某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第

二题的有23人,两题都答对的有15人.问多少个同学两题都答得不

对？

分析与解答：已知答对第一题的有25人,两题都答对的有15

人,可以求出只答对第一题的有25－15=10人.又已知答对第二题的

有23人,用只答对第一题的人数,加上答对第二题的人数就得到至少

有一题答对的人数：10＋23=33人.所以,两题都答得不对的有36－

33=3人.

练 习 二

1,五（1）班有40个学生,其中25人参加数学小组,23人参加科

技小组,有19人两个小组都参加了.那么,有多少人两个小组都没有

参加？

2,一个班有55名学生,订阅《小学生数学报》的有32人,订阅《中

国少年报》的有29人,两种报纸都订阅的有25人.两种报纸都没有

订阅的有多少人？

3,某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛,结果3人两

项比赛都获奖了,有27人两项比赛都没有获奖.已知作文比赛获奖的

有14人,问数学比赛获奖的有多少人？

例3：某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27

人,如果两科都没有参加的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞

赛的有多少人？

分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数,应先求出至少参

加一科竞赛的人数：56－25=31人,再求两科竞赛同时参加的人数：

28＋27－31=24人.

练 习 三

1,一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法语的有18人,

两样都不会的有4人.两样都会的有多少人？

2,一个俱乐部有103人,其中会下中国象棋的有69人,会下国际

象棋的有52人,这两种棋都不会下的有12人.问这两种棋都会下的

有多少人？

3,三年级一班参加合唱队的有40人,参加舞蹈队的有20人,既参

加合唱队又参加舞蹈队的有14人.这两队都没有参加的有10人.请

算一算,这个班共有多少人？

例4：在1到100的自然数中,既不是5的倍数也不是6的倍数的数

有多少个？

分析与解答：从1到100的自然数中,减去5或6的倍数的个

数.从1到100的自然数中,5的倍数有100÷5=20个,6的倍数有16

个（100÷6=16……4）,其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6

的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）.因此,是6或5的倍数

的个数是16＋20－3=33个,既不是5的倍数又不是6的倍数的数的

个数是：100－33=67个.

练 习 四

1,在1到200的全部自然数中,既不是5的倍数又不是8的倍数

的数有多少个？

2,在1到130的全部自然数中,既不是6的倍数又不是5的倍数

的数有多少个？

3,五（1）班做广播操,全班排成4行,每行的人数相等.小华排的

位置是：从前面数第5个,从后面数第8个.这个班共有多少个学生？

例5：光明小学举办学生书法展览.学校的橱窗里展出了每个年级学

生的书法作品,其中有24幅不是五年级的,有22幅不是六年级的,五、

六年级参展的书法作品共有10幅,其他年级参展的书法作品共有多

少幅？

分析与解答：由题意知,24幅作品是一、二、三、四、六年级

参展作品的总数,22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数.24

＋22=46幅,这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的

作品数,从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品,即得到两个

一、二、三、四年级参展作品的总数,再除以2,即可求出其他年级参

展作品的总数.（24＋22－10）÷2=18幅.

练 习 五

1,科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作

品,其中有110件不是一年级的,有100件不是二年级的,一、二年级

参展的作品共有32件.其他年级参展的作品共有多少件？

2,六（1）儿童节那天,学校的画廊里展出了每个年级学生的图

画作品,其中有25幅画不是三年级的,有19幅画不是四年级的,三、

四两个年级参展的画共有8幅.其他年级参展的画共有多少幅？

3,实验小学举办学生书法展,学校的橱窗里展出每个年级学生

的书法作品,其中有28幅不是五年级的,有24幅不是六年级的,五、

六年级参展的书法作品共有20幅.一、二年级参展的作品总数比三、

四年级参展作品的总数少4幅.一、二年级参展的书法作品共有多少

幅？