四年级第30讲容斥原理

2023年10月1日发(作者：gotta have you mp3)

四年级奥数

容斥原理

专题简析：

容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥

原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它

们的和中排除重复部分。

容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a

分类与性质b分类（如图），那么具有性质

a或性质b的事物的个数=N＋N－N。

【例1】

一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”

有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁

语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成

的人数。

【思路导航】完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37

＋42=79人，多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做

完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这

样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。

练 习 一

1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀

成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀

的有多少人？

1

abab

Na

Nab

Nb

四年级奥数

2、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电

子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？

【例2】某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题

的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？

【分析与解答】已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出

只答对第一题的有25－15=10人。又已知答对第二题的有23人，用只答对第

一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33

人。所以，两题都答得不对的有36－33=3人。

练 习 二

1、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，

有19人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？

2、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖

了，有27人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛

获奖的有多少人？

【例3】某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，

如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少

人？

【分析与解答】要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的

人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。

练 习 三

1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不

会的有4人。两样都会的有多少人？

2

四年级奥数

2、三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队

又参加舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的有10人。请算一算，这个班共

有多少人？

【例4】1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？

【分析与解答】从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。从1到

100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16„„

4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100

÷30=3„„10）。因此，是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个，既不是5

的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100－33=67个。

练 习 四

1、在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少

个？

2、在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少

个？

【例5】光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书

法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展

的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？

【分析与解答】由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的

总数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24＋22=46幅，这是

一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六

两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总

数，再除以2，即可求出其他年级参展作品的总数。（24＋22－10）÷2=18幅。

3

四年级奥数

练 习 五

1、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110

件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。

其他年级参展的作品共有多少件？

2、六（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中

有25幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画

共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅？

3、实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，

其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作

品共有20幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4

幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅？

4

四年级奥数

作 业

1、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物

的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数

学大世界》的有多少人？

2、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年

报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？

3、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有

52人，这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人？

4、五（1）班做广播操，全班排成4行，每行的人数相等。小华排的位置是：

从前面数第5个，从后面数第8个。这个班共有多少个学生？

5