北京课改版六年级数学下册第十二册第二单元《比和比例》知识点归纳总

2023年10月1日发(作者：ghost怎么用)

六年级下册个单元知识点

第二单元 比和比例

一、比的意义

第1课时

（一）比的意义

1、能列除法算式表示的两个量之间的关系，这两个量之间的关系也可以用比表示。

2、两个同类量的比表示这两个量之间的倍数关系，两个有联系的不同类量的比表示一个新的

量。

【易错提示】“a比b多（或少）c”，这里的“比”表示加减关系，不是数学上的比。

3、两个数相除，又叫作这两个数的比。（比的意义）

（二）比的读、写法及各部分之间的名称

1、认识比的符号

比用符号“：”表示，“：”叫作比号，读作：比

2、比的写法

21

21比14记作: 21:14或。

14

21

【重点提示】是分数形式的比，是比的另一种书写形式。

14

3、比的读法

两种形式的比都读作几比几。

21

例如：21:14读作：二十一比十四，读作二十一比十四

14

4、比的各部分的名称

213

21 : 14 =21÷14==

14

2

↓ ↓ ↓ ↓

前项 比号 后项 比值

5、求比值的方法

（1）求比值，就是用比的前项除以比的后项。

（2）10:5=10÷5=2

313

33

：4=÷4=×=

22248

0.3:0.6=0.3÷0.6=0.5

【重点提示】比值可以用分数表示，也可以用小数或整数表示。

【归纳总结】

1、比的前项：比号前面的数叫作比的前项。

2、比的后项：比号后面的数叫作比的后项。

3、比值：比的前项除以比的后项，所得的商叫作比值。

【拓展提高】

1、教材中讲的“比”与体育比赛中的“比”意义不同。体育比赛中的“比”是记录比赛双方

得分的一种形式，它可以记作“2:0”，表示一个队得2分，另一个队得0分，而教材中讲的比表示

两个量（或数）之间的一种关系。

2、连比：三个或三个以上的数的关系也可以用“比”表示。例如：一个长方体的长宽高的比

是4:3:5（读作四比三比五），这样的比成为连比。【连比没有总的比值,同样只有两个之间的比值】

3、比和比值的联系和区别。

3

（1）联系：比和比值都可以用分数的形式表示，如既可以表示3:5，又可以表示3:5的比

5

值。

（2）区别:a、比表示两个量（或数）之间的一种关系，比值是一个数。

a

b、比只能写成a：b或者（b≠0）的形式，比值可以是分数、小数或整数。

b

（三）比与分数、除法的关系

1、比与分数、除法之间的关系

（1）

比 除法 分数

3 分子

3 ： 5 = 3 ÷ 5 = 分数线

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 5分母

前项 比号 后项 被除数 除号 除数

（2）用表格表示三者之间的关系

除法 被除数 ÷（除号） 除数 商

分数 分子 -（分数分母 分数值

线）

比 前项 ：（比号） 后项 比值

用字母表示三者之间的关系

a

a：b=a÷b=（b≠0）

b

2、比与分数、除法之间的区别

（1）意义不同：比表示两个量（或数）之间的关系；除法是一种运算；分数是一个数。

（2）表示方法不同：作为一种运算，除法算式不能用分数表示；比可以用分数表示，分数不

一定表示两个量的比。

（3）结果表达不同：除法一般要求出商；比只有求比值时才通过计算求出比值；分数本身就

是一个数值，无需计算。

比、分数、除法三者之间的联系与区别

联 系 区别

除被÷（除除商 除法是一种运算

法 除数 号） 数

分分-（分数分分分数是一个数

数 子 线） 母 数值

比 前：（比号） 后比表示两个量（或数）之间的一种关系

项 项 值

第2课时

（一）比的基本性质

1、可以根据比与除法、比与分数之间的关系探究比的基本性质

比的前项后后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这叫作比的基本性质。

比的基本性质也同样使用于连比。

2、化简比

（1）化简比的意义

应用比的基本性质，也可以把比化成最简单的整数比。

把比化成最简单的整数比，叫作化简比，也叫作比的化简。

3、最简单的整数比的意义

最简单的整数比是指比的前项和后项都是整数，并且是一对互质数，即比的前项和比的后项的

最大公因数是1.

35

4、化简比2.7:1.2，：

48

（1）根据比与除法的关系及商不变的性质化简比

35

2.7:1.2 ：

48

35

=2.7÷1.2 =÷

48

6

=（2.7×10）÷（1.2×10） =

5

=27÷12 =6:5

9

=

4

=9:4

（2）根据比的基本性质化简比

35

2.7:1.2 ：

48

35

=27：12 =（×8）：（×8）

48

=（27÷3）：（12÷3） =6:5

=9:4

化简比的方法

化简比的方法 化简方法

化简整数比 （1）先改写成分数的形式，在进行约分，直到不能约分为止，

最后还原成比的形式。

（2）把比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。

化简小数比 （1）先把小数改写成小数除法，在根据商不变的性质化成最

简整数比。

（2）先移动小数点，化成整数比，在化成最简整数比。

化简分数比 （1）先用比的前项除以比的后项，求出商，在化成最简的整

数比。

（2）先把比的前项和比的后项同时乘以它们分母的最小公倍

数，在化成最简单的整数比。

【拓展提高】

1、利用比的基本性质可以对连比进行化简。

121121

例如：：：=（×12）：（×12）：（×12）=3:8:2

436436

2、一个比中既有小数，又有分数，可以把小数化成分数，按照化简分数比的方法进行化简，

也可以把分数化成小数，按照化简小数比的方法进行化简。

3133

例如:0.5：=：=5:6或者0.5：=0.5:0.6=5:6

5255

3、化简比和求比值的区别

化简比和求比值是两种不同的运算，他们的区别主要表现以下三点：

（1）意义不同：求比值是比的前项除以比的后项所得的商，化简比是把比化成最简单的整数

比。

（2）运算方法不同：求比值是比的前项除以比的后项，化简比是根据比的基本形式进行运算。

（3）结果不同：求比值的结果是一个数，一般用整数、分数或小数表示；化简比的结果仍是

一个比，有两个项，表示几比几。

二、比的应用

按一定的比进行分配的问题的解题方法

按一定的比进行分配问题的解题方法，可以先求出总量一共被平均分成了几份，然后再用平均

分的方法求出每份的具体数量，最后求出各部分量对应的具体数量；也可以先求出总量一共被平均

分成了几份，再用相应的分数来表示个部分量，然后用分数乘总量求出各部分量对应的具体数量。

解答按一定的比进行分配的问题时，不但要找准分配的比，还要找准被分配的量。要注意的是

被分配的量一定是各部分量的和。

【温馨提示】浓度配比中，一定要找准总量对应的总份数，以便准确确定分数的分母。

三、比例的意义

第一课时

（一）比例的意义及各部分名称

1、比例的意义

10

5：=2.4:1.6

3

2.4:1.6=60:40

像这样表示两个比相等的式子叫作比例。在比例中，等号两边必须都是一个比。

【难点】比表示两个数相除的关系；比例表示两个比相等的关系，是一个等式。

判断两个比能否组成比例，关键是看它们的比值是否相等。若比值相等就能组成比例；若比值

不相等，则不能组成比例。

写比例时，组成比例的两个比既可以写成带比号的形式，也可以写成分数的形式。

2、比例各部分之间的名称

2.4 : 1.6 = 60 : 40

内项 内项

外项 外项

组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。

3、比例的基本性质

在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质。

如果a：b=c：d（b、d均不为0），那么ad=bc

【拓展提高】比和比例的联系与区别

意义 项基本性质 用举例 区别

数 途

比 两个数相两比的前项和化比由两个

4

4:5或

除，又叫作这项 比的后项同时乘简比 数组成，表示

5

两个数的比。 或除以相同的数这两个数相除

（0除外），比值的关系

不变。

比表示两个四在比例中，解比例由两

例 比相等的式子项 两个外项积等于比例 个相等的比组

叫作比例。 两个内项的积。 成。

8:10=16:20

816

=

1020

第2课时 解比例

1、解比例的意义

求比例中的未知项叫作解比例。

2、解比例的依据

根据比例的基本性质，知道比例中的任何三项，就可以求出另一个未知项。

3、解比例的方法

根据比例的基本性质解比例，先把比例转化成外项乘积与内项乘积相等的形式（即方程），在

通过解方程求出未知项的值。即先把原比例a：b=c：d（b、d均不能为0）改写成bc=ad的形式，

在解方程。

4、解比例

131

：=x：

4810

311

解：x=×

8410

x=×÷

113

4108

118

×× x=

4103

1

x=

15

5、检验计算结果的正确性

（1）根据比例的意义检验：把求出的未知项的值代入比例中，看比例等号左右两边的比值是

否相等。

（2）根据比例的基本性质检验：把求出的未知项的值代入比例中，看比例的内项之积是否等

于外项之积。

6、利用比例解决实际问题，将解方程与比例联系在一起，根据比例的基本性质，求未知数x

的值。

四、比例尺

1、比例尺的意义

图上距离与实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。

比例尺是图上距离与实际距离的最简单的整数比，可以写成带比号的形式，也可以写成分数形

式。

【重点提示】比例尺既不是比例，也不是尺，而是一个比，它表示图上距离与实际距离的倍

比关系，因此不能带单位名称。

2、比例尺的用途

在绘制地图或者其他平面图时，需要把实际距离按一定的比缩小或放大后画到图纸上。这时就

要确定图上距离与实际距离的比。

3、求比例尺的方法

根据比例尺的意义，用图上距离比实际距离就可以求出比例尺，计算时要统一单位。

图上距离：实际距离=比例尺 或 =比例尺

图上距离

实际距离

4、比例尺的分类

（1）数值比例尺：用数字形式表示的比例尺，就是数值比例尺。如：1:6000000

（2）线段比例尺：在图上附有一条猪油数量的线段来表示和地面上相对应的实际距离，这样

的比例尺叫作线段比例尺。如：0 20 40 60 80（千米），它表示的是图上1厘米代表实际距

离20千米。

（3）文字比例尺：用文字直接写出图上1厘米代表的实际距离是多少，这样的比例尺叫作文

字比例尺。比如数值比例尺1:2000000或者线段比例尺

0 20 40 60 80（千米）都可以用文字比例尺来表示，即图上1厘米相当于实际距离20

千米。

5、线段比例尺与数值比例尺的改写方法

（1）改写方法

先根据线段比例尺写出图上距离与实际距离的比，同意单位后再化成最简单的整数比的形式。

（2）应用距离

把上边的线段比例尺改写成数值比例尺。

图上距离：实际距离

=1厘米：20千米

=1厘米：2000000厘米

=1:2000000

6、缩小比例尺和放大比例尺

（1）缩小比例尺

在绘图时，有时需要把实际距离按一定的比缩小后在纸上画出来，用这种方法得到的比例尺就

是缩小比例尺。前面提到过的几个比例尺都是缩小比例尺。

【应用提示】为了计算方便，缩小比例尺写出带比号的形式时，前一项一般为1。若写出分数

的形式，分子一般为1。

（2）放大比例尺

在生产中，有时由于机器零件比较小，需要把实际尺寸按一定的比放大后画在图纸上，这样的

比例尺就是放大比例尺。如：2:1就是一个放大比例尺，它表示图上2厘米的长度相当于实际长度

1厘米。为了计算方便，通常把放大比例尺写成后项是1的形式。

7、根据比例尺和图上距离求实际距离

【归纳总结】已知比例尺和图上距离，求实际距离，可以根据“=比例尺”列方程解

答，也可以利用“实际距离=图上距离÷比例尺”直接列式计算。

8、根据比例尺和实际距离求图上距离

【归纳总结】已知比例尺和实际距离，求图上距离，可以根据“=比例尺”列方程解

答，也可以根据“图上距离=实际距离×比例尺”直接列式计算。

图上距离

实际距离

图上距离

实际距离

（五）正比例和反比例

第一课时 正比例

1、正比例的意义

一种量的变化能引起另一种量的变化，这两种量就是相关联的量。

【归纳总结】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应

的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫作正比例的量，他们的关系就叫作正比例关系。用字母

表示=k（一定）。

y

x

2、判断两种量是否成正比例的方法

【归纳总结】判断两种量是否成正比例的方法：先找变量（一种量是否随着另一种量的变化

而变化），再找到定量（两种量中相对应的两个数的比值是否一定），最后做出判断。

3、正比例图像的特点

【归纳总结】正比例关系的图像是一条经过原点的直线。从图像上可以直观的看到两种量的

变化情况，不用计算，由一种量的值可以直接找到对应的另一个量的值。

第二课时 反比例

1、反比例的意义

【归纳总结】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应

的两个数的积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系就叫作反比例关系。用字母表示

xy=k（一定）。

2、判断两种量是否成反比例的方法

【归纳总结】判断两种量是否成反比例的方法：先判断这两种量是不是相关联的量，在根据

数量关系式判断这两种量中相对应的两个数的积是否一定，积一定，这两种量就成反比例，否则就

不成反比例。

【拓展提高】正比例与反比例的异同点：

正比例 反比例

1、都是两种相关联的量。

相同点

2、一种量随着另一种量的变化而变化。

1、“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，1、“变化方向”相反，一种量扩大或缩

另一种量也扩大或缩小。 小，另一种量反而缩小或扩大。

2、相对应的两个数的比值（商）一定。 2、相对应的两个数的积一定。

不同点

3、关系式：xy=k（一定）

y

3、关系式：=k（一定）

x

（六）解决问题

1、正比例的应用

【归纳总结】用正比例知识解决问题的方法：

（2）若成正比例，根据

（1）根据不变量判断两种

（4）检验并

→ → →

（3）解比例

正比例的意义列出比例

相关联的量是否成正比例。

写出答语。

（即方程）。

2、反比例的应用

【归纳总结】用正比例知识解决问题的方法：

（2）若成反比例，根据

（1）根据不变量判断两种

（4）检验并

（3）解比例

反比例的意义列出比例

相关联的量是否成反比例。

写出答语。

（即方程）。

（七）图形的放大与缩小

【归纳总结】

1、保持物体的图像或图形的形状不变而使物体的图像或图形的放大，叫做放大。

2、保持物体的图像或图形的形状不变而使物体的图像或图形的缩小，叫做缩小。

把一个图形放大或缩小后得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。这两个图形是相似

图形。把一个图形放大或缩小，就可以得到原图形的相似图形。

3、在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小分为三步：一看，看原图形各边分别占几格；二

算，计算按给定的比将图形的各边放大或缩小后得到的新图形的各边分别占几格；三画，按计算出

的各边的长画出放大或缩小后图形。

把图形放大或缩小后，形状不能变，相对应的角的度数也不能改变。

【整理复习】

基本方法一：转化法

转化法是指在解答一些复杂的、陌生的问题时，可以根据题目中存在的相等关系，把新问题通

过换角度、换方式、换叙述等办法进行变化，把新问题和复杂的问题转化为已学问题或容易解决的

问题，最终是问题获得解决的思维策略。

典型例题：一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两地的中点出发，反向而行。4小时后客车到达

甲地，货车距乙地还有42千米，已知货车的速度是客车的。甲、乙两地相距多少千米？

5

6

方法指导：时间一定，路程和速度成正比例，所以货车和客车的路程比等于货车和客车的速度

比。货车的速度是客车的，可以转化成货车和客车的路程比是5:6,。根据题意列出比例，先求出

5

6

甲、乙两地距离的一半，再求出总距离。