撒谎者的英文翻译英语怎么说-金妍儿冬奥会
2023年9月23日发(作者：简体字转换器)
小学数学趣题巧算（一）
1．钟声
小明家离火车站很近，他每天都可以根据车站大楼的钟声起床。车站大楼的
钟，每敲响一下延时3秒，间隔1秒后再敲第二下。
假如从第一下钟声响起，小明就醒了，那么到小明确切判断出已是清晨6点，
前后共经过了几秒钟？
2．越减越多
同学们对这样的问题可能并不陌生：“一个长方形被切去1个角，还剩几个角？”这种题的
最大特点是答案不唯一，要根据去掉的这个角的不同情况来确定“剩角”的多少。
图1
以上3幅示意图，表明了3种不同情况的3种不同答案。其中第3种情况最有趣，
长方形原有4个角，切去了1个角，反而多了1个角，出现了越减越多的情况。下
面一道题的思考方法与上题类似，看你能否正确回答。
“一个正方体，锯掉一个角，还剩几个角？”请注意，这里的“角”是立体
的“角”，它不同于平面上的角。
3．数一数
如果有人问你“会数数儿吗？”，你会不屑一顾地说：“这么大了，还不会数数儿！”
其实，数数儿的学问还是很大的。不信，请你数出下面几何图形的个数。
图2
4．画一画
下面这些图形你能一笔画出来吗？（不重复画）
图3
5．最短的路线
9
养貂专业户养殖场内安置了个貂笼（如下图）。为了节省每次喂食的时间，他必须走一
条最短的路，但又
不能漏掉一个貂笼，喂完食后还要回到原出发点。你能替他设计
一条最短的路线吗？并算出每喂食一次，至少要走多少米的路。
6．切西瓜
六（1）班召开夏夜乘凉晚会，买来了许多西瓜。班主任李老师说：“今天
买来了许多西瓜请大家吃。在吃以前我先要以切西瓜为名请大家做一道数学题。
我规定，西瓜只能竖切，不能横剖。大家知道，切一刀最多分成2块，切2刀最分
成多4块，那么切3刀最多能分成几块？切4刀、切5刀、切6刀呢？这中间有没有
规律？如果有规律，请同学们找出来。”李老师刚说完，同学们就七嘴八舌地讨
论起来。请你也参加他们的讨论吧。
7．均分承包田
有一块等腰梯形菜地（如下图），地边有一口水井。现在3户种菜专业户都提
出要承包这块地。经研究，决定让这3户共同承包这块地，因此必须把这块地分
成面积相等、形状相同且与这口水井的距离也要相等的3块地。你能帮助解决这
个问题吗？
图5
8．巧分食盐水
大家在常识课上认识了量杯。快下课时，王老师让我们用手中的量杯做一个
智力小游戏：
有30毫升、70毫升、100毫升的量杯各1个，请你用这三个量杯把水槽中的100
毫升食盐水平均分成两份，但分的时候不准看量杯的刻度。大家动手试一试，至
少要分几次才成？
9．扩大鱼池
养鱼专业户张强，去年承包了一个叫“金三角”的鱼池（如下图），喜获丰
收。为了进一步增产，决定把鱼池扩大。但有这样的要求：①扩大后的鱼池必须
仍是三角形，保持“金三角”鱼池的称号；②扩大后的鱼池面积是原面积的4倍；
③原鱼池的三个角上栽的3棵大柳树不能移动。你能替张强设计一个施工草图
吗？
10．巧妙的算法（一）
1
12
=1 2=1+3
3
22
=1+3+5 4=1+3+5+7
„„ „„
请你仔细观察上面这些算式，试着找出某种规律，并利用
这个规律迅速算出下面式子的答案：
（1）1+3+5+7+9+11+13+15
（2）
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39
小学数学趣题巧算（二）
11．巧妙的算法（二）
1
332
+2=9 （1+2）=9
1
3332
+2+3=36 （1+2+3）=36
„„ „„
请你仔细观察上面两组算式，找出规律，并迅速算出下面算式的答案：
（1）1
+2+3+4+5+6+7+8+9+10
（2）1
3333
+2+3+„„+20
3333333333
12．哪个分数大？
13．想办法巧算
14．从1到100万
大家对德国大数学家高斯小时候的一个故事可能很熟悉了。
传说他在十岁的时候，老师出了一个题目：1+2+3+„„+99+100的和是多少？
老师刚把题目说完，小高斯就算出了答案：这100个数的和是5050。
原来，小高斯是这样算的：依次把这100个数的头和尾都加起来，即1+100，
2+99，3+98，„„，50+51，共50对，每对都是101，总和就是101×50=5050。
现在请你算一道题：从1到1000000这100万个数的数字之和是多少？
注意：这里说的“100万个数的数字之和”，不是“这100万个数之和”。例
如，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这12个数的数字之和就是
1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1+1+2=51。
请你先仔细想想小高斯用的方法，会对你算这道题有启发。
15．求数列的和
你能用巧妙的方法，求出下列算式的结果吗？注意，高斯求和的方法在这里用不上。
16．不必大乘大除
下面这道计算题，按一般运算法则计算是很麻烦的。如果你能发现数字的特点，采用
巧算，则这道题将变得很容易。请你不要用纸和笔，用脑子想一想，就得出答案，行吗？（限
10秒钟）
17．猜猜是几？
个三位数，写在一张纸上，倒过来看是正着看的1.5倍，正着看是倒
18．完全数
如果整数a能被b整除，那么b就叫做a的一个因数。例如，1、2、3、4、6都是12
的因数。有一种数，它恰好等于除去它本身以外的一切因数的和，这种数叫做完全数。例如，
6就是最小的一个完全数，因为除6以外的6的因数是1、2、3，而6=1+2+3。
你能在20至30之间找出第二个完全数吗？
19．有这样的数吗？
小明异想天开地提出：“世界上应该存在这样两个数，它们的积与它们的差
相等。”他的话音刚落，就引起了同学们的哄堂大笑，大家都觉得这是不可能的。
但是，世界上有些事情往往产生于一些怪想法。小明的想法，后来竟被同学们讨
论证实了。
你能找到这样的两个数吗？告诉你，这样的数还不止一对呢！
20．两数的积与两数的和能相等吗？
数学课上，小明偶然发现2×2=2+2。下课后，小明问王老师：“2×2=2+2，这样
两数的积等于两数的和的情况，还有吗？”王老师听后很高兴地拍着小明肩膀说：“你能在
数学学习中敏锐地发现问题，提出问题，这是很宝贵的，希望你能保持这个优点。你提的问
题在数学中不是偶然的现象，
这三个数的和，四个数的积等于这四个数的和，五个数的积等于这五个数的和。
这些现象近似于数学游戏，有兴趣，你回去仔细想想，一定会找到答案的。明天
我们一起交换看法好吗？”小明听后高兴地接受了老师的建议。
同学们，你们能找出这样的数吗？
小学数学趣题巧算（三）
21．老路行不通
五年级的时候，我们在数学课上就学习过计算与三角形有关的阴影部分面积的方法。
但下面这道题却无法用习惯的方法解答，需要另辟蹊径。这条要走的“新路”所依靠的知识，
仍然是最基本的：如果几个三角形的底和高都相等，那么它们的面积也相等。
图7
已知：在△ABC中，BC=5BD，AC=4EC，DG=GS=SE，AF=FG。
求阴影部分的面积占△ABC面积的几分之几？
22．关键在于观察
你在数学课上学了不少几何图形的知识，掌握了不少平面图形的求面积公式。但是有许
多组合面积的计算，单靠这些知识是远远不够的，它更需要对组合图形的观察能力。下面就
是一道考查你的观察能力的题目。试试看，你能很快做出来吗？
已知图内各圆相切，小圆半径为1，求阴影部分的面积。
23．一筐苹果
入冬前，妈妈买来了一筐苹果。清理时，发现这筐苹果2个、2个地数，余1个；3个、3个地数，余2个；
4个、4个地数，余3个；5个、5个地数，余4个；6个、6个地数，余5个。你知道这筐苹果至少有多少个吗？
24．怎样分？
有44枚棋子，要分装在10个小盒中，要求每个小盒中的棋子数互不相同，应该怎样分？
25．不要急于动手
下图是一个正方形，被分成6横行，6纵列。在每个方格中，可任意填入1、2、3中的一
个数字，但要使每行、每列及两条对角线上的数字之和各不相同，这可能吗？为什么？
图9
26．数字小魔术
新年联欢会上，同学们一致要求教数学的王老师出一个节目。王老师微笑着走到讲台前说：“我给你
们表演一个数字魔术吧！”说完，王老师拿出一叠纸条，发给每人一张，并神秘地说：“由于我教你们数
学，所以你们脑子里的数也听我的话。不信，你们每人独立地在纸条上写上任意4个自然数（不重复写），
我保证能从你们写的4个数中，找出两个数，它们的差能被3整除。”
王老师的话音一落，同学们就活跃起来。有的同学还说：“我写的数最调皮，就不听王老师的话。”
不一会儿，同学们都把数写好了，但是当同学们一个个念起自己写的4个数时，奇怪的事果真发生了。同学
们写的数还真听王老师的话，竟没有一个同学写的数例外，都让王老师找出了差能被3整除的两个数。
同学们，你们知道王老师数字小魔术的秘密吗？
27．应该怎样称？
有9个外观完全相同的小球，其中只有一个重量轻一点儿。现在要求你用一架天平去称，问你至少称几
次，才能找出较轻的球？
如果是27个球、81个球中只有一个较轻的球，你知道至少称几次才能找出那个较轻的球吗？这里有规
律吗？
28．最少拿几次？
晚饭后，爸爸、妈妈和小红三个人决定下一盘跳棋。打开装棋子的盒子前，爸爸忽然用大手捂着盒子
对小红说：“小红，爸爸给你出道跳棋子的题，看你会不会做？”小红毫不犹豫地说：“行，您出吧？”“好，
你听着：这盒跳棋有红、绿、蓝色棋子各15个，你闭着眼睛往外拿，每次只能拿1个棋子，问你至少拿几次
才能保证拿出的棋子中有3个是同一颜色的？”
听完题后，小红陷入了沉思。同学们，你们会做这道题吗？
29．巧手摆花坛
学校门口修了一个正方形花坛，花坛竣工时，大队部在花坛旁挂出一块小黑板，上面写着：
“各中队少先队员：
花坛修好了，同学们都希望管理这个花坛。哪个中队的少先队员能做出下面两道题，就请那个中队的
少先队员负责管理这个花坛。
① 要在这个花坛的四周摆上16盆麦冬，要求每边都是7盆，应该怎样摆？
② 还要在这个花坛四周摆上24盆串红，要求每边也是7盆，应该怎样摆？”
同学们，你会摆吗？请你试试看。
30．填数（一）
请你把1～8这八个数分别填入下图所示正方体顶点的圆圈里，使每个面的4个角上的数
之和都相等。
图10
小学数学趣题巧算（四）
31．算算这笔账
小明哥哥的个体商店里，同时放着甲、乙两种收录机，售价都是990元。但
是甲种收录机是紧俏商品，赚了10％；乙种收录机是滞销品，赔了10％。假如今
天两种收录机各售出一台，小明哥哥的商店是赚钱了还是赔钱了？若赚了，则赚
了多少？若赔了，则赔了多少？你会算这笔账吗？
32．“达标”的人数
优秀的学生占全校学生总数的百分之几？
33．谁得优秀？
六年级同学毕业前，凡报考重点中学的同学，都要参加体育加试。加试后，
甲、乙、丙、丁四名同学谈论他们的成绩：
甲说：“如果我得优，那么乙也得优。”
乙说：“如果我得优，那么丙也得优。”
丙说：“如果我得优，那么丁也得优。”
以上三名同学说的都是真话，但这四人中得优的却只有两名。问这四人中谁
得优秀？
34．排名次
学校举办排球比赛，进入决赛的是五（1）班、五（2）班、六（1）班、六
（2）班的代表队，到底谁得第一，谁得第二，谁得第三，谁得第四呢？
甲、乙、丙三人做如下的猜测：
甲说：“五（1）班第一，五（2）班第二。”
乙说：“六（1）班第二，六（2）班第四。”
丙说：“六（2）班第三，五（1）班第二。”
比赛结束后，发现甲、乙、丙三人谁也没有完全猜对，但他们都猜对了一半。
你能根据上面情况排出1～4名的名次吗？
35．要赛多少盘？
六年级举行中国象棋比赛，共有12人报名参加比赛。根据比赛规则，每个人
都要与其他人各赛一盘，那么这次象棋比赛一共要赛多少盘？
36．获第三名的得几分？
A、B、C、D、E五名学生参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一盘，并且只赛
一盘。规定胜者得2分，负者得0分。现在知道比赛结果是：A和B并列第一名，
C是第三名，D和E并列第四名。那么C得几分？
37．五个好朋友
A、B、C、D、E五个学生是同班的好朋友，其中有四人做课代表工作，这四
科是语文、数学、地理、历史。另一个人是中队长。
请你根据下列条件，判断出这五位同学各做什么工作。
（1）语文课代表不是C，也不是D；
（2）历史课代表不是D，也不是A；
（3）C和E住在同一楼里，中队长和他们是邻居；
（4）C问数学课代表问题时，B也在一旁听着；
（5）A、C、地理课代表、语文课代表常在一起讨论问题；
（6）D、E常到数学课代表家去玩，而中队长去的次数不多。
38．过队日
六（1）中队共43名队员，他们到龙潭游乐园过中队日。中队长宣布，大家
只能参加“激流勇进”、“观览车”和“单轨火车”三种游乐活动。活动结束时，
中队长说：“根据今天参加游乐活动的情况我编了一道数学题：“全中队至少有
多少人参加的活动完全相同？”
你能替六（1）中队的同学找到正确答案吗？
39．放硬币游戏
参加人：2人，也可以有裁判1人。
用具：一张纸（方形、圆形都可以），1分硬币若干枚。
游戏规则：①2人轮流把硬币放在纸上，每人每次只放一枚；②放在桌上的
硬币不能重叠；③最后在纸上无处可放者为负。
同学们，要想在这个小游戏中取胜，只需应用几何中一个很简单的原理。你
知道怎样放才能保证在游戏中稳操胜券吗？
40．一本书的页数
我们知道印刷厂的排版工人在排版时，一个数字要用一个铅字。例如15，就
要用2个铅字；158，就要用3个铅字。现在知道有一本书在排版时，光是排出所
有的页数就用了6869个铅字，你知道这本书共有多少页吗？（封面、封底、扉页
不算在内）
小学数学趣题巧算（五）
41．重要的是能发现规律
学习数学，重要的不是会做几道题，而是通过学习，学会总结规律、使用规
律，最终培养出一种能独立发现和总结规律并应用规律去解决实际问题的能力。
下面有一道题，就是检查你是否具备这方面能力的。不过，在正式做题前，
先复习一下有关的知识。
一个三位数，例如256，可以表示成：
100×2+10×5+6。
一个任意三位数abc（通常表示几位数时就在这几个字母上面画一条横线）
也可以表示成：
100a+10b+c
1000a+100b+10c+d
好了，现在请做下面的题。
有一个四位数，减掉它各位数字的和得到19※2，你能准确地判断出※表示
的数字是几吗？
解答这道题，当然可以用分析、推理等方法，但希望你能发现规律，并利用
规律来巧解这道题。
42．填数（二）
右图中的大三角形被分成9个小三角形。试将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别
填入9个小三角形中，每个小三角形内只填一个数。要求靠近大三角形每条边的5
个小三角形内的数相加的和相等，并且使五个数的和尽可能大，请问该怎样填？
如果使五个数的和尽可能小，又该怎样填？
图11
43.换个角度想
在所有的三位数中，有很多数能同时被2、5、3整除，那么不能同时被2、5、
3整除的三位数的和是多少？
要解答这个问题，最好换个角度想。
44.从后往前想
明明和华华各有铅笔若干支，两个人的铅笔合起来共72支。现在华华从自己
所有的铅笔中，取出明明所有的支数送给明明，然后明明又从自己现在所有的铅
笔中，取出华华现有的支数送给华华，接着华华又从自己现在所有的铅笔中，取
出明明现在所有的支数送给明明。这时，明明手中的铅笔支数正好是华华手中铅
笔支数的8倍，那么明明和华华最初各有铅笔多少支？
45．缺少条件吗？
红光小学六年级共有学生210多人。期末考试成绩得优的占全年级人数
格。问不及格的有几人？
46．丢番图的墓志铭
古希腊的大数学家丢番图，大约生活于公元前246年到公元330年之间，距现
在有二千年左右了。他对代数学的发展做出过巨大贡献。
丢番图著有《算术》一书，共十三卷。这些书收集了许多有趣的问题，每道
题都有出人意料的巧妙解法，这些解法开动人的脑筋，启迪人的智慧，以致后人
把这类题目叫做丢番图问题。
但是，对于丢番图的生平知道得非常少。他唯一的简历是从《希腊诗文集》
中找到的。这是由麦特罗尔写的丢番图的“墓志铭”。“墓志铭”是用诗歌形式
写成的：
“过路的人！
这儿埋葬着丢番图。
请计算下列数目，
便可知他一生经过了多少寒暑。
他一生的六分之一是幸福的童年，
十二分之一是无忧无虑的少年。
再过去七分之一的年程，
他建立了幸福的家庭。
五年后儿子出生，
不料儿子竟先其父四年而终，
只活到父亲岁数的一半。
晚年丧子老人真可怜，
悲痛之中度过了风烛残年。
请你算一算，丢番图活到多大，
才和死神见面？”
请你算一算，丢番图到底活到多少岁？
47．丢番图的趣题
下面是丢番图出的一道题：
今有四数，取其每三个而相加，则其和分别为22、24、27和20。求这四个数
各是多少？
48．真是没想到！
出题前，先讲个小故事。
传说在很久以前，印度有个叫塞萨的人，为了能使国王忘掉战争，精心设计
了一种游戏（国际象棋）献给国王。国王对这种游戏非常满意，决定赏赐塞萨。
国王问塞萨需要什么，塞萨指着象棋盘上的小格子说：“就按照棋盘上的格子数，
在第一个小格内赏我1粒麦子，在第二个小格内赏我2粒麦子，第三个小格内赏4
粒，照此下去，每一个小格内的麦子都比前一个小格内的麦子加一倍。陛下，把
这样摆满棋盘所有64格的麦粒，都赏给我吧。”国王听后不加思索就满口答应了
塞萨的要求。但是经过大臣们计算发现，就是把全国一年收获的小麦都给塞萨，
也远远不够。国王这才明白，塞萨要的，是国王放弃战争，发展生产，改善人民
生活。
我们来计算一下，塞萨要的小麦到底是多少？原来聪明的塞萨巧妙地利用了
数学中的乘方。棋盘上共有64格，按塞萨的要求，应付给他
264-1=18446744粒小麦，约合5千多亿吨。这个数字大得惊人，古
代印度那个国王，怎么能付得出来？
下面有一道类似的题：
“把一张厚度仅有0.05毫米的纸，对折30次后，它的厚度是多少？”
请你算算，看你想到了没有？
49．黑蛇钻洞（印度古题一）
古代印度的许多算术题是很有趣的，比如：
一条长80安古拉（古印度长度单位）的强有力的、不可征服的、极好的
。请你算一算，这条大蛇多少天全部进洞？
50．芒果总数（印度古题二）
出芒果的总数是多少个。
小学数学趣题巧算（六）
51．托尔斯泰的算题（一）
托尔斯泰是19世纪末俄国的伟大作家。他对算术也很有兴趣，还写过算术课
本。他特别喜欢表面复杂，但却有简便方法解答的算题。
下面就是托尔斯泰非常喜欢的“割草人”算题：
“一队割草人要收割两块草地，其中一块比另一块大1倍。全队在大块草地
上收割半天之后，分为两半，一半人继续留在大块草地上，到傍晚时把草割完；
另一半人到小块草地上割草，到傍晚还剩下一小块没割。剩下的一小块要第二天
1个人用1整天才能割完。
问割草队共有几人？”
52．托尔斯泰的算题（二）
托尔斯泰喜欢的另一道算题是：
木桶上方有两个水管。若单独打开其中一个，则24分钟可以注满水桶；若单
独打开另一个，则15分钟可以注满。木桶底上还有一个小孔，水可以从孔中往外
流，一满桶水用2小时流完。如果同时打开两个水管，水从小孔中也同时流出，
那么经过多少时间水桶才能注满？
53．爱因斯坦编的问题
很多科学家都喜欢用一些有趣的数学问题来考察别人的机敏和逻辑推理能力。这里有一道著名物理学
家爱因斯坦编的问题：
在你面前有一条长长的阶梯。如果你每步跨2阶，那么最后剩下1阶；如果你每步跨3阶，那么最后剩2
阶；如果你每步跨5阶，那么最后剩4阶；如果你每步跨6阶，那么最后剩5阶；只有当你每步跨7阶时，最后
才正好走完，一阶也不剩。
请你算一算，这条阶梯到底有多少阶？
54．苏步青教授解过的题
我国著名数学家苏步青教授，有一次到德国去，遇到一位有名的数学家，在
电车上出了一道题目让苏教授做。这道题目是：
甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是50千米。甲每小时走3千米，
乙每小时走2千米，甲带着一只狗，狗每小时跑5千米。这只狗同甲一起出发，碰
到乙的时候它就掉头往甲这边跑，碰到甲时又往乙这边跑，碰到乙时再往甲这边
跑„„，直到甲、乙二人相遇为止。问这只狗一共跑了多少路？
苏步青教授略加思索，未等下电车，就把正确答案告诉了这位德国数学家。
请你也来解答这道数学题，题目虽不太难，但要认真思考，才能找到解题的
“窍门”。
55．农妇卖鸡蛋
从前，有一个农妇提了一篮鸡蛋去卖。甲买了全部鸡蛋的一半多半个；乙买
了剩下鸡蛋的一半多半个；丙又买了剩下的一半多半个；丁买了最后剩下的鸡蛋
的一半多半个。这样，鸡蛋刚好卖完。
你知道农妇的一篮鸡蛋共有几个吗？
56．各有多少钱？
兄弟俩到商店去买东西。妈妈问哥哥：“你带多少钱？”哥哥说：“我和弟
弟一共带240元，如果弟弟给我5元，那么我的钱数就比弟弟的钱数多一倍了。”
妈妈又问弟弟：“你带了多少钱呢？”弟弟回答说：“如果哥哥给我35元钱，那
么我的钱数就和哥哥的一样多了。”妈妈听了以后，还弄不清哥哥和弟弟到底各
带多少钱。你能弄明白吗？
57．河边洗碗
有一名妇女在河边洗刷一大摞碗，一个过路人问她：“怎么刷这么多碗？”
她回答：“家里来客人了。”过路人又问：“家里来了多少客人？”妇女笑着答
道：“2个人给一碗饭，3个人给一碗鸡蛋羹，4个人给一碗肉，一共要用65只碗，
你算算我们家来了多少客人。”
58．是谁错了？
小明看见哥哥的练习本上抄着一道加法题，越看越奇怪，题目是这样写的：
小明认为这道题错了，到底是谁错了呢？
59．各放多少发子弹？
小张是某部队武器库保管员，他将1千发子弹分放在10个盒子里，一旦需要，
只需告诉他1000以内所需子弹数，他都可以拿出若干个盒子，凑出所需的子弹数，
而不必打开盒子去数子弹。请问小张在10个盒子里各放了多少发子弹？
60. 逢四进一
通常我们用的数的进位制是十进制，即逢十进一。它有十个数字：0、1、
2、„„、9。下面的算式用的不是十进制，而是四进制——即逢四进一。它有四
个数字：0、1、2、3。在这个算式中，字母A、B、C、D分别代表0、1、2、3中
的某一个数字。
请问按此算式，字母A、B、C、D各代表什么数字？
小学数学趣题巧算（七）
61．交叉公路
有两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1350米处往北直行；乙从十字路口
处向东直行。二人同时出发，10分钟后，二人离十字路口的距离相等；二人仍保
持原速继续直行，又过了80分钟，这时二人离十字路口的距离又相等。求甲、乙
二人的速度。
62．何时追上乙？
甲、乙二人步行速度比是13∶11。如果甲、乙二人分别从A、B两地同时出
发，相向而行，0.5小时相遇，那么甲、乙二人分别从A、B两地同向而行，几小
时后甲追上乙？
63．流水行船
一只小船，第一次顺水航行20千米，又逆水航行3千米，共用了4小时；第二
次顺水航行了17.6千米，又逆水航行了3.6千米，也用了4小时。求船在静水中的
速度和水流速度。
64．粗心的钟表匠
小王师傅是钟表店的新职工，由于工作不安心，时常出问题。有一次，他给
学校修理一只大钟，竟然把长短针装配错了。这样一来，短针走的速度变成了长
针的12倍。装配的时候是下午6点，他把短针指在“6”上，长针指在“12”上。
小王装好后，就回家了。
学校值班老师看到这大钟一会儿7点，一会儿8点，十分奇怪，立刻派人去找
小王师傅。小王师傅在第二天上午7点多钟才来到，他掏出标准表一看，表和大
钟的时间一样，说学校故意找他的麻烦，气乎乎地回家了。小王走后，老师发觉
大钟还是不对头，又通知小王来。下午8点多，小王又来到学校，与标准表一对，
仍旧准确无误。
请你想一想，小王第一次来校对表的时刻是上午7点几分？第二次对表的时
刻又是下午8点几分？
65．分针、时针追跑
你注意过钟面上的时、分、秒3根针的运动特点吗？这3根针，每时每刻都处
在你追我赶之中。秒针追分针、分针追时针„„，永不停息。请问从早晨8点开
始，当分针第一次与时针重合时，是几点几分？
66．弄通情境
骑车人以每分钟300米的速度，从102路电车始发站出发，沿102路电车线前
进。骑车人离开出发地2100米时，一辆102路电车开出了始发站。这辆电车每分
钟行500米，行5分钟到达一站并停1分钟，那么要用多少分钟，电车追上骑车人？
67. 预定时间
甲地到乙地共行了16天。那么原定从甲地到乙地要行多少天？
68.文艺书与科技书
六（1）班的图书箱里共有文艺书和科技书91本，文艺书本数的25％
69．几天完工？
一项工程，甲、乙两队合做需要8天完成，甲队单独做了4天，乙队又
需要几天？
70．干活的人数
一项工程，8个人干需15天完成。今先由18人干了3天，余下的又由另一部分
人干了3天，共完成了这项工程的
小学数学趣题巧算（八）
71．甲先做了几天？
一件工程，甲独做12天可以完成，乙独做4天可以完成。现在甲先独做了几
天，因事离去，乙接着做余下的工程，直至完工。完成这件工程前后共用了6天，
那么甲先独做了几天？
72．空池注水
一个水池有两个进水管甲、乙，一个排水管丙。如果单开甲、丙两管，那么
10小时可把空池注满；如果单开乙、丙两管，那么15小时可把空池注满；如果单
开丙管，那么30小时可把满池水放光。现在同时打开甲、乙、丙三管，几小时可
把空池注满？
73．往返行驶
一辆汽车在甲、乙两站之间行驶，往返一次共用去4小时（停车时间不计）。
已知汽车去时每小时行驶45千米，返回时每小时行驶30千米，问甲、乙两站相距
多少千米？
74．分树苗
学校把414棵树苗按各班人数分给六年级三个班。一班和二班分得树苗的棵
数比是2∶3，二班和三班分得树苗的棵数比是5∶7，求每个班各分得树苗多少
棵？
75．生产巧安排
甲厂和乙厂是相邻的两个服装厂，并且都生产同规格的成衣，而且甲、乙两
厂的人员和设备都能全力进行上衣和裤子的生产。但是两厂的特长不同，
月可以生产1200套成衣。现在两厂联合，尽量各自发挥特长，那么怎样进行合
理安排，在原有的条件下增加产量？每月能增产成衣多少套？
76．谁先掉进陷阱？
狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛。狐狸每次跳4.5米，黄鼠狼每次跳2.75米。
阱。它们同时起跳，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？
77．何时再相逢？
甲、乙、丙三辆公共汽车分别往返于A、B，A、C，A、D之间。A、B间的路
程是4千米，A、C间的路程是6千米，A、D间的路程是8千米。甲车每小时行40
千米，乙车每小时行50千米，丙车每小时行60千米。现在三辆车同时从A站出发
往返而行，（途中停车时间不计）那么经过多少小时后三辆车又在A站相遇？
78．奇特的长跑训练
小明在400米长的环形跑道上练习长跑。上午8点20分开始，小明按逆时针方
向出发，1分钟后，小明掉头按顺时针方向跑，又过了2分钟，小明又掉头按逆时
针方向跑。如此，按1、2、3、4、„„分钟掉头往回跑。当小明按逆时针方向跑
到起点，又恰好该往回跑时，他的练习正好停止。如果小明每分钟跑120米，那
么他停止练习时是几点几分？他一共跑了多少米
79．试着使用代数法
我们快要上中学了，在数学学习上，要完成从算术到代数的过渡。下面这道
题希望你试着用代数法解答。
为了庆祝“六一”儿童节，班里决定做一幅贴纸画送给低年级同学。中队长
小明拿1元钱买了彩色纸100张。其中，绿色纸3分1张，红色纸4分1张，白色纸1
分7张。你知道小明买了3种颜色的纸各多少张吗？
80．发奖品
学校举办了数学竞赛。老师准备了35支铅笔作为奖品，发给一、二、三等奖
获得者。原计划发给一等奖获得者每人6支，发给二等奖获得者每人3支，发给三
等奖获得者每人2支，正好发完。后来改为发给一等奖获得者每人13支，发给二
等奖获得者每人4支，发给三等奖获得者每人1支，也正好发完。那么获得二等奖
的有
小学数学趣题巧算（九）
81．姐姐、弟弟各几岁？
李老师问明明的姐姐今年几岁了。明明的姐姐说：“4年前，我的年龄正好
是弟弟年龄的3倍。”李老师又问明明：“你姐姐今年几岁？”明明说：“姐姐
今年的年龄是我今年年龄的2倍。”请问今年姐姐、弟弟各几岁？
82．兄弟俩的年龄
今年兄弟俩的年龄加起来是55岁，曾经有一年，哥哥的岁数是弟弟今年的岁
数，那时哥哥的年龄恰好是弟弟年龄的两倍。问哥哥和弟弟今年年龄各是多少
岁？
83．幼儿园的午餐
某幼儿园现有大人和幼儿共100人，今天午餐刚好吃了100个面包，其中一个
大人一餐吃四个面包，四个幼儿一餐只吃一个面包。问这100个人中，大人和幼
儿各有多少人？
84．生产课桌椅
新星木器厂安排56名工人生产学生用的课桌椅。每个工人平均每天能生产课
桌6张或椅子8把，问应分配多少人生产课桌，多少人生产椅子，才能使每天生产
出的课桌和椅子刚好配套？
85. 为新生做花
为了欢迎一年级新生入学，六（1）班同学承担了做花的任务。如果每人平
均做5朵，则缺少20朵，不能完成任务；如果每人平均做6朵，则又超过任务24
朵。问参加做花的同学有多少人？做花的任务是多少朵？
86.五个少年
五个少年，依次相差一岁，在1994年共同发奋学习，到公元2018年时，他们
都在科学上做出了很大贡献。那时他们的年龄也增长了，他们五人在公元2018
年的年龄之和正好是1994年的年龄之和的3倍。问在1994年时他们的年龄各是多
少？
87. 学雷锋
小丽和小刚两个小朋友向雷锋叔叔学习，准备把零用钱攒起来，以后寄给希
望工程，帮助贫困地区的小朋友上学。小丽现有5元钱，她计划每年节约11元；
小刚现有3元，他打算每年节约12元。问他们俩几年后钱数能一样多吗？如果他
们俩准备一共凑足100元，问需要几年？
88. 白鹅和山羊
小勇跟爷爷去赶集，看见集市的一角有44只白鹅和山羊，它们共有100条腿。
请问白鹅和山羊各有几只？
89. 两盘苹果
有大小两盘苹果。如果从大盘中拿出一个苹果放在小盘里，两盘苹果就一样
多；如果从小盘中拿出一个苹果放在大盘里，大盘苹果就是小盘的3倍。问大小
两盘苹果各有几个？
90. 师徒加工零件
师徒两人加工一批零件，徒弟先加工240个，然后师傅和徒弟共同加工。
的比是5∶3，问这批零件有多少个？
小学数学趣题巧算（十）
91. 王医生出诊
王医生为一位山里人出诊，他下午1时离开诊所，先走了一段平路，然后爬
上了半山腰，给那里的一位病人看病。半小时后，王医生沿原路下山回诊所，下
午3时半回到诊所。已知他在平路步行的平均速度是每小时4千米，上山每小时3
千米，下山每小时6千米。请问王医生出诊共走了多少路？
92．规定时间
一个通讯员骑自行车需要在规定时间内把信件送到某地，每小时走15千米可
以早到24分钟，每小时走12千米就要迟到15分钟。问原规定时间是多少？他去某
地的路程有多远？
93．至少有几个人做的数学题一样多？
9月1 日开学那天，数学课代表向李老师汇报说：“我们六年级100个同学，
在暑假里一共做了1600道数学题。”李老师听了非常高兴，立刻表扬了他们。接
着李老师问课代表：“你知道这100个同学中，至少有几个人做的数学题一样多
吗？”课代表答不出来。同学们，你能帮助课代表解答这个问题吗？
94．六（1）班有多少人？
六（1）班在期末考试中，数学得100分的有10人，英语得100分的有12人，
这两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26个。那么六（1）班
有学生多少人？
95．至少有几个学生四项活动都会？
六（2）班有学生50人，其中35人会游泳，38人会骑车，40人会溜冰，46人
会打乒乓球。那么这班至少有多少个学生以上四项活动都会？
96. 五种颜色的铅笔
有红、黄、蓝、绿、白五种颜色的铅笔，每两种颜色的铅笔为一组，最多可
以搭配成不重复的几组？
97．最少有几个座位？
有一条公共汽车的行车路线，除去起始站和终点站外，中途有9个车站。一
辆公共汽车从起始站开始上乘客，除终点站外，每一站上车的乘客中，都恰好各
有一位乘客从这一站到以后的每一站。为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车
至少要有多少个座位？
98. 将军饮马
古希腊一位将军要从A地出发到河边（如下图MN）去饮马，然后再回到驻
地B。问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？
图12
99．牛顿与方程
阿基米德、牛顿和高斯被誉为历史上最伟大的三位数学家。牛顿是17世纪英
国著名科学家，他非常喜欢用方程解题，并常常出一些方程问题。下面的一道题
就是选自牛顿的名著《一般算术》。为了便于理解，我们把长度单位改为现行的
通用单位。
“邮递员A和B相距59千米，相向而行。A两小时走了7千米，B三小时走了
8千米，而B比A晚出发一小时。求A在遇到B时走了多少千米？”
100．有名的牛吃草的问题
牛顿的名著《一般算术》中，还编有一道很有名的题目，即牛在牧场上吃草
的题目，以后人们就把这种应用题叫做牛顿问题。
“有一片牧场的草，如果放牧27头牛，则6个星期可以把草吃光；如果放牧
23头牛，则9个星期可以把草吃光；如果放牧21头牛，问几个星期可以把草吃
光？”
解答这道题时，我们假定牧草上的草各处一样密，草长得一样快，并且每头
牛每星期的吃草量也相同。
你会解这道题吗？
前部分参考答案
1．钟声
小明家离火车站很近，他每天都可以根据车站大楼的钟声起床。车站大楼的钟，每敲响
一下延时3秒，间隔1秒后再敲第二下。
假如从第一下钟声响起，小明就醒了，那么到小明确切判断出已是清晨6点，前后共经
过了几秒钟？
分析与解 从第一下钟声响起，到敲响第6下共有5个“延时”、 5个“间隔”，共计
（3+1）×5=20秒。当第6下敲响后，小明要判断是否清晨6点，他一定要等到“延时3秒”
和“间隔1秒”都结束后而没有第7下敲响，才能判断出确是清晨6点。因此，答案应是：
（3＋1）×6=24（秒）。
2．越减越多
同学们对这样的问题可能并不陌生：“一个长方形被切去1个角，还剩几个角？”这种
题的最大特点是答案不唯一，要根据去掉的这个角的不同情况来确定“剩角”的多少。
以下3幅示意图，表明了3种不同情况的3种不同答案。其中第3种情况最有趣，长方形
原有4个角，切去了1个角，反而多了1个角，出现了越减越多的情况。下面一道题的思考方
法与上题类似，看你能否正确回答。
图13
“一个正方体，锯掉一个角，还剩几个角？”请注意，这里的“角”是立体的“角”，
它不同于平面上的角。
分析与解 锯掉角的情况有4种，因此剩角的答案也有4种（如14图所示）。
图14
3．数一数
如果有人问你“会数数儿吗？”，你会不屑一顾地说：“这么大了，还不会数数儿！”
其实，数数儿的学问还是很大的。不信，请你数出下面几何图形的个数。
图15
分析与解 图（1）中：边长1个单位的三角形有12个；边长2个单位的三角形有6个，
边长3个单位的三角形有2个。
一共有三角形20个。
图（2）中：先按公式，计算出边长8个单位的大正方形中，共有（1＋2＋3＋4＋
2222
5＋6＋7＋8）=204个正方形；然后再分别计算左、右两侧各多出的一部分构成
2222
13×2=26个正方形；最后计算出共有大、小不同的正方形204＋26=230个。
图（3）中：共有长方形（1+2＋3+ 4＋5）×（1+2+3＋4）= 15×10=150（个）。
图（4）中：共有梯形（1＋2+3+4+5）×（1+2+3）=15×6=90（个）。
4．画一画
下面这些图形你能一笔画出来吗？（不重复画）
图16
分析与解 一笔画需要解决两个关键问题。一个是这幅图能不能一笔画？另一个是，若
能一笔画，应该怎样画？对于这两个问题，数学家欧拉在1736年研究了“哥尼斯堡七桥”
的问题后，做了相当出色的回答。他指出，如果一幅图是由点和线连接组成，那么与奇数条
线相连的点叫“奇点”；与偶数条线相连的点叫“偶点”。
例如，在图17中，B为奇点，A和C为偶点。
图17
如果一幅图的奇点的个数是0或是2，这幅图可以一笔画，否则不能一笔画。这是对第
一个问题的回答。欧拉又告诉我们，如果一幅图中的点全是偶点，那么，你可以从任意一个
点开始画，最后还回到这一点；如果图中只有两个奇点，那么必须从一个奇点开始画，并结
束于另一个奇点。
本题的4幅图，其中图（1）、（4）各有两个奇点，图（2）、（3）的奇点个数为0。因此
这4幅图都可一笔画。画法请参看图
图18
5．最短的路线
养貂专业户养殖场内安置了9个貂笼（如下图）。
为了节省每次喂食的时间，他必须走一条最短的路，但又不能漏掉一个貂笼，喂完食后
还要回到原出发点。你能替他设计一条最短的路线吗？并算出每喂食一次，至少要走多少米
的路。
分析与解 要给9个貂笼的貂分别喂食，最短的路线不止一条。我们只给出其中的一种
如图20所示。
我们选择这条路线的根据是：（1）尽量多走3米长的貂笼间隔，少走4米长的貂笼间隔；
（2）根据勾股定理，第⑨步走斜边（长5米，这是因为5=3＋4）比走两条直角边（3
222
＋4=7米）要少走2米。
他每喂食一次，至少要走
3×5＋4×3+5=32（米）。
图20
6．切西瓜
六（1）班召开夏夜乘凉晚会，买来了许多西瓜。班主任李老师说：“今天买来了许多
西瓜请大家吃。在吃以前我先要以切西瓜为名请大家做一道数学题。我规定，西瓜只能竖切，
不能横剖。大家知道，切一刀最多分成2块，切2刀最多分成4块，那么切3刀最多能分成几
块？切4刀、切5刀、切6刀呢？这中间有没有规律？如果有规律，请同学们找出来。”李老
师刚说完，同学们就七嘴八舌地讨论起来。请你也参加他们的讨论吧。
分析与解 分割圆时，切的刀数和最多可分的块数之间有如下规律：
切n刀时，最多可分成：（1+1+2＋3＋„„+n）块。
21所示。
图21
7．均分承包田
有一块等腰梯形菜地（如下图），地边有一口水井。现在3户种菜专业户都提出要承包
这块地。经研究，决定让这3户共同承包这块地，因此必须把这块地分成面积相等、形状相
同且与这口水井的距离也要相等的3块地。你能帮助解决这个问题吗？
图22
分析与解 分法如图23所示。我们只要把等腰梯形上底的两个端点，分别与水井连接，
这样就把这块菜地分成符合题意的3块了。
图23
8．巧分食盐水
大家在常识课上认识了量杯。快下课时，王老师让我们用手中的量杯做一个智力小游戏：
有30毫升、70毫升、100毫升的量杯各1个，请你用这三个量杯把水槽中的100毫升食
盐水平均分成两份，但分的时候不准看量杯的刻度。大家动手试一试，至少要分几次才成？
分析与解 至少分9次。这种题，一般统称为分液问题。解答时，最好用列表的方法。
本题解答方法，如下表所示（这不是唯一的方法）：
9．扩大鱼池
养鱼专业户张强，去年承包了一个叫“金三角”的鱼池（如图24），喜获丰收。为了进
一步增产，决定把鱼池扩大。但有这样的要求：①扩大后的鱼池必须仍是三角形，保持“金
三角”鱼池的称号；②扩大后的鱼池面积是原面积的4倍；③原鱼池的三个角上栽的3棵大
柳树不能移动。你能替张强设计一个施工草图吗？
分析与解 草图如图25所示。
10． 巧妙的算法（一）
1=1 2=1+3
12
3＝1+3+5 42＝1+3+5+7
2
„„ „„
请你仔细观察上面这些算式，试着找出某种规律，并利用这个规律迅速算出下面式子的
答案：
（1）1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15
（2）1+3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25
＋27＋29＋31＋33＋35＋37＋39
分析与解 由已知的算式
1=1
2
2=1+3
2
3=1+3＋5
2
4=1＋3＋5＋7
2
我们不难看出：
因此，（1）的答案为8（项数）的平方，即64；（2）的答案为20（项数）的平方，即 400。
我们只要过三角形的三个顶点，分别作它们所对的边的平行线，两两相交，成一个大三
角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的4倍。
11．巧妙的算法（二）
1＋2
=9 （1+2）=9
1
+2+3 =36 （1＋2＋3）=36
„„ „„
3332
332
请你仔细观察上面两组算式，找出规律并迅速算出下面算式的答案：
（1）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋10
3333333333
+8+9
（2）1＋2
3333
+3+„„＋20
分析与解 求几个数的立方和，一般总是先求出各数的立方再相加。但对于从1 开始的
若干个连续自然数的立方和，我们可以从题中的两组算式得到启发，找出规律，迅速算出它
的答案：
（1）1＋3＋„„+10
3333
+2
=（1+2+3+„„＋10）
22
=55=3025；
（2）1＋2
+3+„„+20
=（1+2+3＋„„＋20）
=210=44100
22
3333
用数学归纳法可以证明：
1＋2＋3
33333
+„„+（n-1）+n
=[1＋2+3+„„+（n-1）+n]
2
12．哪个分数大？
分析与解
的倒数3小。就普遍的情况而言，一个分数的倒数大，这个分数反而小。这样，要比较
这三个分数的大小，只要比较它们的倒数就可以了。
13．想办法巧算
开。
分析与解 计算这道题要是先通分再加，那实在是太困难了。我们可以把这样的分数拆
14．从1到100万
大家对德国大数学家高斯小时候的一个故事可能很熟悉了。
传说他在十岁的时候，老师出了一个题目：1+2＋3+„„+99+10O的和是多少？
老师刚把题目说完，小高斯就算出了答案：这100个数的和是5050。
原来，小高斯是这样算的：依次把这100个数的头和尾都加起来，即 1＋100，2＋99，
3＋98，„„，50＋51，共50对，每对都是 101，总和就是 101×50=5050。
现在请你算一道题：从1到1000000这100万个数的数字之和是多少？
注意：这里说的“100万个数的数字之和”，不是“这100万个数之和”。例如，1、
2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这12个数的数字之和就是1+2＋3＋4+5＋6＋
7＋8＋9＋1＋0＋1+1+1+2=51。
请你先仔细想想小高斯用的方法，会对你算这道题有启发。
分析与解 可以在这100万个数前面加一个“0”，再把这些数两两分组：
999999和 0 999998和 1
999997和 2 999996和 3
依此类推，一共可分为50万组，最后剩下1000000这个数不成对。
各组数的数字之和都是9＋9＋9＋9＋9＋9=54，最后的1000000数字之和是1。
所以这100万个数的数字之和为：
（54×500000）+1=27000001
15.求数列的和
你能用巧妙的方法，求出下列算式的结果吗？注意，高斯求和的方法在这里用不上。
分析与解 这是两道求数列和的计算题。巧算的方法与第13题类似，要根据每个数列中
各个数的特点，进行“拆分”，使拆分成的新数列的中间部分互相抵消，从而达到“巧”算
的目的。
16．不必大乘大除
下面这道计算题，按一般运算法则计算是很麻烦的。如果你能发现数字的特点，采用巧
算，则这道题将变得很容易。请你不要用纸和笔，用脑子想一想，就得出答案，行吗？（限
10秒钟）
分析与解 根据分母的数字特点，可用如下方法计算：
17．猜猜是几？
一个三位数，写在一张纸上，倒过来看是正着看的1.5倍，正着看是倒
分析与解 这个三位数是666。其实，只要你稍加思索，就可以想出来了。这道题如果
要求找一个一位数，那就是6；找一个两位数，则是66；找一个四位数，则是6666，„„，
依此类推。
18．完全数
如果整数a能被b整除，那么b就叫做a的一个因数。例如，1、2、3、4、6都是
12的因数。有一种数，它恰好等于除去它本身以外的一切因数的和，这种数叫做完全数。
例如，6就是最小的一个完全数，因为除6以外的6的因数是1、2、3，而6=1+2＋3。
你能在20至30之间找出第二个完全数吗？
分析与解 20至30之间的完全数是28。因为除28以外的28的因数是1、2、4、7、14，
而28=1＋2＋4＋7＋14。
寻找完全数并不是容易的事。经过不少数学家研究，到目前为止，一共找到了23个完
全数。第三、四个完全数是：
496=1+2+4+8＋16+31+62＋124+248
8128=1＋2＋4+8＋16＋32+64＋127+254＋508+1016＋2032+4064
奇怪的是，已发现的23个完全数是偶数，会不会有奇完全数存在呢？至今无人能回答。
完全数问题还是一个没有解决的问题。
19．有这样的数吗？
小明异想天开地提出：“世界上应该存在这样两个数，它们的积与它们的差相等。”他
的话音刚落，就引起了同学们的哄堂大笑，大家都觉得这是不可能的。但是，世界上有些事
情往往产生于一些怪想法。小明的想法，后来竟被同学们讨论证实了。
你能找到这样的两个数吗？告诉你，这样的数还不止一对呢！
分析与解 下面举出几个两数的积等于两数的差的实例：
同学们，你可再试着找一些。
20．两数的积与两数的和能相等吗？
数学课上，小明偶然发现2×2=2+2。下课后，小明问王老师：“2×2=2+2，这样
两数的积等于两数的和的情况，还有吗？”王老师听后很高兴地拍着小明肩膀说：“你能在
数学学习中敏锐地发现问题，提出问题，这是很宝贵的，希望你能保持这个优点。你提的问
题在数学中不是偶然的现象，
这三个数的和，四个数的积等于这四个数的和，五个数的积等于这五个数的和。这些现
象近似于数学游戏，有兴趣，你回去仔细想想，一定会找到答案的。明天我们一起交换看法
好吗？”小明听后高兴地接受了老师的建议。
同学们，你们能找出这样的数吗？
分析与解 下面是部分例子。
两数积=两数和：
11×1.1=11+1.1
„„
三数积=三数和：
1×2×3=1＋2＋3
四数积=四数和：
1×1×2×4=1+1＋2＋4
五数积=五数和：
1×1×1×2×5=1+1+1+2+5
1×1×1×3×3=1+1+1+3+3
1×1×2×2×2=1+1+2+2+2
其中，有关两数积=两数和的例子，可以找出无数组，请再找出一些。
21．老路行不通
五年级的时候，我们在数学课上就学习过计算与三角形有关的阴影部分面积的方法。但
下面这道题却无法用习惯的方法解答，需要另辟蹊径。这条要走的“新路”所依靠的知识，
仍然是最基本的：如果几个三角形的底和高都相等，那么它们的面积也相等。
图7
已知：在△ABC中，BC=5BD，AC=4EC，DG=GS=SE，AF=FG。
求阴影部分的面积占△ABC面积的几分之几？
分析与解 这道题看起来很像一道中学较复杂的几何求解题。其实，只需要一些小学最基
本的数学知识就可以解答了。
22．关键在于观察
你在数学课上学了不少几何图形的知识，掌握了不少平面图形的求面积公式。但是有许
多组合面积的计算，单靠这些知识是远远不够的，它更需要对组合图形的观察能力。下面就
是一道考查你的观察能力的题目。试试看，你能很快做出来吗？
已知图内各圆相切，小圆半径为1，求阴影部分的面积。
分析与解 按一般的解题规律，要求面积，首先得确定所求的是什么图形，或是由什么图
形组合而成。而本题构成阴影部分的图形，却是个不规则的图形。但仔细观察，就能发现阴
影部分是由两部分组成的：下面是一个小
可得到以下解法：
23．一筐苹果
入冬前，妈妈买来了一筐苹果，清理时，发现这筐苹果2个、2个地数，余1个；3个、
3个地数，余2个；4个、4个地数，余3个；5个、5个地数，余4个；6个、6个地数，余5
个。你知道这筐苹果至少有多少个吗？
分析与解 根据题目条件，可以知道，这筐苹果的个数加1，就恰好是2、3、4、5、6
的公倍数。而题目要求“至少有多少个”，所以，苹果的个数应该是2、3、4、5、6的最
小公倍数减去1。
[2，3，4，5，6]=60
60-1=59
即这筐苹果至少有59个。
24．怎样分？
有44枚棋子，要分装在1O个小盒中，要求每个小盒中的棋子数互不相同，应该怎样分？
分析与解 无法分。
25.不要急于动手
左图是一个正方形，被分成6横行，6纵列。在每个方格中，可任意填入1、2、3中的
一个数字，但要使每行、每列及两条对角线上的数字之和各不相同，这可能吗？为什么？
分析与解 不可能。
这是因为每行、每列和两条对角线都是由6个方格组成的，那么数字之和最小是
1×6=6，数字之和最大是3×6=18。要想使各行、各列及对角线上的数字之和各不相同，
只能出现6、7、8、9、„„、17、18这13种数字和，但实际却需要6（行）＋6（列）＋
2（对角线）=14种不同的数字和。
由此可知，要达到每行、每列及两条对角线上的数字和各不相同是不可能的。
26．数字小魔术
新年联欢会上，同学们一致要求教数学的王老师出一个节目。王老师微笑着走到讲台前
说：“我给你们表演一个数字魔术吧！”说完，王老师拿出一叠纸条，发给每人一张，并神
秘地说：“由于我教你们数学，所以你们脑子里的数也听我的话。不信，你们每人独立地在
纸条上写上任意4个自然数（不重复写），我保证能从你们写的4个数中，找出两个数，它们
的差能被3整除。”
王老师的话音一落，同学们就活跃起来。有的同学还说：“我写的数最调皮，就不听王
老师的话。”不一会儿，同学们都把数写好了，但是当同学们一个个念起自己写的4个数时，
奇怪的事果真发生了。同学们写的数还真听王老师的话，竟没有一个同学写的数例外，都让
王老师找出了差能被3整除的两个数。
同学们，你们知道王老师数字小魔术的秘密吗？
分析与解 其实，同学们写在纸条上的数字并不是听王老师的话，而是听数学规律的话。
因为任意一个自然数被3除，余数只能有3种可能，即余0、余1、余2。如果把自然数
按被3除后的余数分类，只能分为3类，而王老师让同学们在纸条上写的却是4个数，那么必
有两个数的余数相同。余数相同的两个数相减（以大减小）所得的差，当然能被3整除。
王老师是根据数学基本性质设计小魔术的。所以，只要我们刻苦学习数学，掌握规律，
也会在数学王国中创造出魔术般的奇迹。
27．应该怎样称？
有9个外观完全相同的小球，其中只有一个重量轻一点儿。现在要求你用一架天平去称，
问你至少称几次，才能找出较轻的球？
如果是27个球、81个球中只有一个较轻的球，你知道至少称几次才能找出那个较轻的
球吗？这里有规律吗？
分析与解 9个球，至少称两次就可以找到那个较轻的球。
第一次：天平两侧各放3个球。
如果天平平衡，说明较轻的球在下面；如果不平衡，那么抬起一侧的3个球中必有轻球。
第二次：从含有轻球的3个球中任选两个，分别放在天平两侧。如果平衡，下面的球是
轻的；如果不平衡，抬起一侧的球是轻的。
如果是27个球，至少需要称3次。
第一次：天平两侧各放9个球。
如果平衡，说明轻球在下面9个中；如果不平衡，抬起一侧的9个球中含有轻球。
第二次、第三次与前面所说9个球的称法相同。
在这种用天平确定轻球（或重球）的智力题中，球的总个数与至少称的次数之间的关系
是：若3＜球的总个数≤3，则（n+1）即为至少称的次数。
nn+1
例如，设有25个球，因为3＜25＜3，所以至少称3次；
23
设有81个球，因为3＜81=3，所以至少称4次。
34
28．最少拿几次？
晚饭后，爸爸、妈妈和小红三个人决定下一盘跳棋。打开装棋子的盒子前，爸爸忽然用
大手捂着盒子对小红说：“小红，爸爸给你出一道跳棋子的题，看你会不会做？”小红毫不
犹豫地说：“行，您出吧？”“好，你听着：这盒跳棋有红、绿、蓝色棋子各15个，你闭
着眼睛往外拿，每次只能拿1个棋子，问你至少拿几次才能保证拿出的棋子中有3个是同一
颜色的？”
听完题后，小红陷入了沉思。同学们，你们会做这道题吗？
分析与解 至少拿7次，才能保证其中有3个棋子同一颜色。
我们可以这样想：按最坏的情况，小红每次拿出的棋子颜色都不一样，但从第4次开始，
将有2个棋子是同一颜色。到第6次，三种颜色的棋子各有2个。当第7次取出棋子时，不管
是什么颜色，先取出的6个棋子中必有2个与它同色，即出现3个棋子同一颜色的现象。
同学们，你们能从这道题中发现这类问题的规律吗？如果要求有4个棋子同一颜色，至
少要拿几次？如果要求5个棋子的颜色相同呢？
29．巧手摆花坛
学校门口修了一个正方形花坛，花坛竣工时，大队部在花坛旁挂出一块小黑板，上面写
着：
“各中队少先队员：
花坛修好了，同学们都希望管理这个花坛。哪个中队的少先队员能做出下面两道题，就
请那个中队的少先队员负责管理这个花坛。
① 要在这个花坛的四周摆上16盆麦冬，要求每边都是7盆，应该怎样摆？
② 还要在这个花坛四周摆上24盆串红，要求每边也是7盆，应该怎样摆？”
同学们，你会摆吗？请你试试看。
分析与解 答案如下图：
图29
30．填数（一）
请你把1～8这八个数分别填入下图所示正方体顶点的圆圈里，使每个面的4个角上的数
之和都相等。
分析与解 做这种填数游戏，有两种方法，一种是“笨”方法，即凑数的方法。分别用
这8个数去试，这种方法可行，但很费事。另一种方法是用分析、计算的方法。这道题可以
分析、计算如下：
在计算各个面上4个数的和时，顶点上的数总是分属3个不同的面，这样，每个顶点上
的数都被重复计算了3次。因此，各个面上4个数的和为1～8这8个数的和的3倍，即（1＋
2+3+„+8）×3=108。又因为正方体有6个面，也就是每个面上的四个数的和应是
108÷6=18。18应是我们填数的标准。
如果在前面上填入1、7、2、8（如图31），那么右侧面上已有2、8，其余两顶点只能
填3、5。以此类推，答案如图31所示。
31．算算这笔账
小明哥哥的个体商店里，同时放着甲、乙两种收录机，售价都是990元。但是甲种收
录机是紧俏商品，赚了10％；乙种收录机是滞销品，赔了10％。假如今天两种收录机各售
出一台，小明哥哥的商店是赚钱了还是赔钱了？若赚了，则赚了多少？若赔了，则赔了多少？
你会算这笔账吗？
分析与解 赚了10％后是990元，原价是：
990÷（1＋10％）=900（元）
赔了10%后是990元，原价是：
990÷（1-10%）=1100（元）
那么两台收录机，原来进价为900＋1100=2000元，现在卖了990×2=1980元。
因此，这个商店卖出甲、乙两种收录机各一台，赔了2000-1980=20元。
32．“达标”的人数
优秀的学生占全校学生总数的百分之几？
33．谁得优秀？
六年级同学毕业前，凡报考重点中学的同学，都要参加体育加试。加试后，甲、乙、丙、
丁四名同学谈论他们的成绩：
甲说：“如果我得优，那么乙也得优。”
乙说：“如果我得优，那么丙也得优。”
丙说：“如果我得优，那么丁也得优。”
以上三名同学说的都是真话，但这四人中得优的却只有两名。问这四人中谁得优秀？
分析与解 我们可以这样想：如果甲得优秀，那么乙、丙、丁都得优秀，这与实际不符；
如果乙得优秀，则丙、丁也得优秀，也与实际不符。因此，只能丙、丁得优秀，才符合实际
情况。
判断结果是：丙、丁得优秀。
34．排名次
学校举办排球比赛，进入决赛的是五（1）班、五（2）班、六（1）班、六（2）班的
代表队，到底谁得第一，谁得第二，谁得第三，谁得第四呢？
甲、乙、丙三人做如下的猜测：
甲说：“五（1）班第一，五（2）班第二。”
乙说：“六（1）班第二，六（2）班第四。”
丙说：“六（2）班第三，五（1）班第二。”
比赛结束后，发现甲、乙、丙三人谁也没有完全猜对，但他们都猜对了一半。你能根据
上面情况排出1～4名的名次吗？
分析与解 这类题用列表法进行推理比较简捷。
35． 要赛多少盘？
六年级举行中国象棋比赛，共有12人报名参加比赛。根据比赛规则，每个人都要与其
他人各赛一盘，那么这次象棋比赛一共要赛多少盘？
分析与解 一共要赛66盘。
要想得出正确答案，我们可以从简单的想起，看看有什么规律。
假如2个人（A、B）参赛，那只赛1盘就可以了；假如3个人（A、B、C）参赛，那么
A—B、A—C、B—C要赛3盘；假如4个人参赛，要赛6盘，„„
于是我们可以发现：
2人参赛，要赛1盘，即1；
3人参赛，要赛3盘，即1+2；
4个参赛，要赛6盘，即1+2+3；
5人参赛，要赛10盘，即1+2+3+4；
„„
那么，12人参赛就要赛1+2+3+„„+11=66盘。
我们还可以这样想：
这12个人，每个人都要与另外11个人各赛1盘，共11×12=132（盘），但计算这总盘
数时把每人的参赛盘数都重复算了一次，（如A—B赛一盘，B—A又算了一盘）,所以实际
一共要赛132÷2=66（盘)。
42、分析与解 靠近大三角形三条边的5个数的和尽可能大的填法如图33中的左
图；使5个数的和尽量小的填法如图33中的右图。
把靠近大三角形三条边的5个数都加起来，就会发现，除每边靠中间的那三
个数外，其余的数都重复相加了两次。要想
图33
使靠近大三角形每条边的5个数的和相等，并且使和尽可能大，那么靠近各
边中间的这三个数就应该尽量小，当然应该填1、2、3。这时每条边的5个数之
和为
［2×（1+2+3+ ……+9）-1-2-3]÷3=28
同理，要使靠近大三角形三条边的5个数的和相等，并且使和尽可能小，则
靠近各边中间的这三个数就应该尽量大，即这三个数应是7、8、9。这时每条边
的5个数之和为
［2×（1+2+3+ ……+ 9）-7-8-9]÷3=22
全部答案
二、百解
1．钟声
小明家离火车站很近，他每天都可以根据车站大楼的钟声起床。车站大 楼的钟，
每敲响一下延时 3 秒，间隔 1 秒后再敲第二下。
假如从第一下钟声响起，小明就醒了，那么到小明确切判断出已是清晨
6 点，前后共经过了几秒钟？
分析与解 从第一下钟声响起，到敲响第 6 下共有 5 个“延时”、 5 个 “间
隔”，共计(3+1)×5=20 秒。当第 6 下敲响后，小明要判断是否清晨 6 点，他
一定要等到“延时 3 秒”和“间隔 1 秒”都结束后而没有第 7 下敲响， 才能
判断出确是清晨 6 点。因此，答案应是：
(3＋1)×6=24(秒)。
2．越减越多
同学们对这样的问题可能并不陌生：“一个长方形被切去 1 个角，还剩 几个
角？”这种题的最大特点是答案不唯一，要根据去掉的这个角的不同情 况来确
定“剩角”的多少。
以下 3 幅示意图，表明了 3 种不同情况的 3 种不同答案。其中第 3 种情
况最有趣，长方形原有 4 个角，切去了 1 个角，反而多了 1 个角，出现了越 减
越多的情况。下面一道题的思考方法与上题类似，看你能否正确回答。
图 13 “一个正方体，锯掉一个角，还剩几个角？”请注意，这里的“角”是
立体的“角”，它不同于平面上的角。
分析与解 锯掉角的情况有 4 种，因此剩角的答案也有 4 种(如 14 图所 示)。
图 14
3．数一数
如果有人问你“会数数儿吗？”，你会不屑一顾地说：“这么大了，还 不会数
数儿！”其实，数数儿的学问还是很大的。不信，请你数出下面几何 图形的个
数。
图 15
分析与解 图(1)中：边长 1 个单位的三角形有 12 个；边长 2 个单位的 三角
形有 6 个，边长 3 个单位的三角形有 2 个。
一共有三角形 20 个。
图(2)中：先按公式，计算出边长 8 个单位的大正方形中，共有(12
＋22＋32＋42＋52＋62＋72＋82)=204 个正方形；然后再分别计算左、右两侧 各
多出的一部分构成 13×2=26 个正方形；最后计算出共有大、小不同的正方 形
204＋26=230 个。
图(3)中：共有长方形(1+2＋3+ 4 ＋5)×(1+2+3＋4)= 15×10=150
(个)。 图(4)中：共有梯形(1＋2+3+4+5)×(1+2+3)=15×6=90(个)。
4．画一画
下面这些图形你能一笔画出来吗？(不重复画)
图 16
分析与解 一笔画需要解决两个关键问题。一个是这幅图能不能一笔画？ 另一个
是，若能一笔画，应该怎样画？对于这两个问题，数学家欧拉在 1736 年研究了
“哥尼斯堡七桥”的问题后，做了相当出色的回答。他指出，如果 一幅图是由
点和线连接组成，那么与奇数条线相连的点叫“奇点”；与偶数 条线相连的点
叫“偶点”。
例如，在图 17 中，B 为奇点，A 和 C 为偶点。
如果一幅图的奇点的个数是 0 或是 2，这幅图可以一笔画，否则不能一 笔画。
这是对第一个问题的回答。欧拉又告诉我们，如果一幅图中的点全是 偶点，那
么，你可以从任意一个点开始画，最后还回到这一点；如果图中只 有两个奇点，
那么必须从一个奇点开始画，并结束于另一个奇点。
本题的 4 幅图，其中图(1)、(4)各有两个奇点，图(2)、(3)的 奇点个数为 0。
因此这 4 幅图都可一笔画。画法请参看图
图 18
5．最短的路线
养貂专业户养殖场内安置了 9 个貂笼(如下图)。
为了节省每次喂食的时间，他必须走一条最短的路，但又不能漏掉一个 貂笼，
喂完食后还要回到原出发点。你能替他设计一条最短的路线吗？并算 出每喂食
一次，至少要走多少米的路。
分析与解 要给 9 个貂笼的貂分别喂食，最短的路线不止一条。我们只 给出其
中的一种如图 20 所示。
我们选择这条路线的根据是：(1)尽量多走 3 米长的貂笼间隔，少走 4 米长的
貂笼间隔；(2)根据勾股定理，第⑨步走斜边(长 5 米，这是因为
522＋42)比走两条直角边(3＋4=7 米)要少走 2 米。 他每喂食一次，至少要走
3×5＋4×3+5=32(米)。
图 20
6．切西瓜
六(1)班召开夏夜乘凉晚会，买来了许多西瓜。班主任李老师说：“今 天买来了
许多西瓜请大家吃。在吃以前我先要以切西瓜为名请大家做一道数 学题。我规
定，西瓜只能竖切，不能横剖。大家知道，切一刀最多分成 2 块， 切 2 刀最
多分成 4 块，那么切 3 刀最多能分成几块？切 4 刀、切 5 刀、切 6 刀呢？
这中间有没有规律？如果有规律，请同学们找出来。”李老师刚说完， 同学们
就七嘴八舌地讨论起来。请你也参加他们的讨论吧。
分析与解 分割圆时，切的刀数和最多可分的块数之间有如下规律： 切 n 刀时，
最多可分成：(1+1+2＋3＋ +n)块。2
经整理，可归纳成公式： n
21 所示。 n 2 。其中n表示切的刀数举例如图2
图 21
7．均分承包田
有一块等腰梯形菜地(如下图)，地边有一口水井。现在 3 户种菜专业 户都提出
要承包这块地。经研究，决定让这 3 户共同承包这块地，因此必须 把这块地分
成面积相等、形状相同且与这口水井的距离也要相等的 3 块地。 你能帮助解决
这个问题吗？
图 22
分析与解 分法如图 23 所示。我们只要把等腰梯形上底的两个端点，分 别与水
井连接，这样就把这块菜地分成符合题意的 3 块了。
8．巧分食盐水
大家在常识课上认识了量杯。快下课时，王老师让我们用手中的量杯做 一个智
力小游戏：
有 30 毫升、70 毫升、100 毫升的量杯各 1 个，请你用这三个量杯把水槽 中
的 100 毫升食盐水平均分成两份，但分的时候不准看量杯的刻度。大家动 手试
一试，至少要分几次才成？
分析与解 至少分 9 次。这种题，一般统称为分液问题。解答时，最好 用列表
的方法。本题解答方法，如下表所示(这不是唯一的方法)：杯子容量 杯中盐水
分的次数100 毫升70 毫升30 毫升
1369950500
9．扩大鱼池
养鱼专业户张强，去年承包了一个叫“金三角”的鱼池(如图 24)，喜 获丰收。
为了进一步增产，决定把鱼池扩大。但有这样的要求：①扩大后的 鱼池必须仍
是三角形，保持“金三角”鱼池的称号；②扩大后的鱼池面积是 原面积的 4 倍；
③原鱼池的三个角上栽的 3 棵大柳树不能移动。你能替张强 设计一个施工草图
吗？
分析与解 草图如图 25 所示。
我们只要过三角形的三个顶点，分别作它们所对的边的平行线，两两相 交，成
一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的 4 倍。
10． 巧妙的算法(一)
112
32＝1+3+5 42＝1+3+5+7
请你仔细观察上面这些算式，试着找出某种规律，并利用这个规律迅速 算出下
面式子的答案：
(1)1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15
(2)1+3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25
＋27＋29＋31＋33＋35＋37＋39
分析与解 由已知的算式
12
22
32
4252 ＋ 3＋ 5＋ 7 ＋ 95 项6 2 ＋ 5 ＋ 7 + 9 ＋ 116 项n 2 ＋ 3＋ 5 + +
( 2 n - 3) + ( n项2 n - 1 )
因此，(1)的答案为 8(项数)的平方，即 64；(2)的答案为 20(项 数)的平方，
即 400。
11．巧妙的算法(二)
13＋23 2
13+23+33 2
请你仔细观察上面两组算式，找出规律并迅速算出下面算式的答案：
(1)13＋23＋33＋43＋53＋63＋73+83+93＋103
(2)13＋23+33+ ＋203
分析与解 求几个数的立方和，一般总是先求出各数的立方再相加。但 对于从 1
开始的若干个连续自然数的立方和，我们可以从题中的两组算式得 到启发，找
出规律，迅速算出它的答案：
(1)13+23＋33＋ +103
=(1+2+3+ ＋10)22
(2)13＋23+33+ +203
=(1+2+3＋ ＋20)22
用数学归纳法可以证明：
13＋23＋33+ +(n-1)3+n3
=[1＋2+3+ +(n-1)+n]2
12．哪个分数大？
有三个分数 1111 、1111111111 和1 ，请你比较一下，哪个分
1111111
数大？
分析与解1111
在比较 、 和 的大小时，如果用先通分再比较1111111
大小的一般方法，就太麻烦了。我们知道， 1 1 ，而 1 的倒数2却比 12 3 2 3
的倒数 3 小。就普遍的情况而言，一个分数的倒数大，这个分数反而小。这 样，
要比较这三个分数的大小，只要比较它们的倒数就可以了。111111111
的倒数是101
；111111111 的倒数是10 1 ；111
的倒数是10 。111111
因为，101111111< 101111111<1111
所以， 111111 11111 1111< <1111111
13．想办法巧算
计算： 11 212 313 41998 9991999 1000
分析与解 计算这道题要是先通分再加，那实在是太困难了。我们可以 把这样的
分数拆开。
因为：11 21 1 ,2113 41 1 ,1 1 ,3 41 1 1 999 1 1 1 1 11 1 1
1
所以，原式 1 1 1000999`0002 2 3 3 49989999991000
14．从 1 到 100 万
大家对德国大数学家高斯小时候的一个故事可能很熟悉了。 传说他在十岁的时
候，老师出了一个题目：1+2＋3+ +99+10O 的和是
多少？
老师刚把题目说完，小高斯就算出了答案：这 100 个数的和是 5050。 原来，
小高斯是这样算的：依次把这 100 个数的头和尾都加起来，即 1
＋100，2＋99，3＋98， ，50＋51，共 50 对，每对都是 101，总和就是 101
×50=5050。
现在请你算一道题：从 1 到 1000000 这 100 万个数的数字之和是多少？ 注
意：这里说的“100 万个数的数字之和”，不是“这 100 万个数之和”。 例如，
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 这 12 个数的数字之和就是
1+2＋3＋4+5＋6＋7＋8＋9＋1＋0＋1+1+1+2=51。
请你先仔细想想小高斯用的方法，会对你算这道题有启发。
分析与解 可以在这 100 万个数前面加一个“0”，再把这些数两两分组：
999999 和 0 999998 和 1
999997 和 2 999996 和 3
依此类推，一共可分为 50 万组，最后剩下 1000000 这个数不成对。 各组数的
数字之和都是 9＋9＋9＋9＋9＋9=54，最后的 1000000 数字之
和是 1。
所以这 100 万个数的数字之和为：
(54×500000)+1=27000001
15.求数列的和
你能用巧妙的方法，求出下列算式的结果吗？注意，高斯求和的方法在 这里用
不上。1 1 1 11 1 1
(1)2 4 1224 4060 84
(2) 2 23 152 235 632 299 143
分析与解 这是两道求数列和的计算题。巧算的方法与第 13 题类似，要 根据每
个数列中各个数的特点，进行“拆分”，使拆分成的新数列的中间部 分互相抵
消，从而达到“巧”算的目的。(1)原式 1 1) + ( -2 21 1) + (4 41 1- ) + ( -6
61 1) + (8 81 1- ) + ( -10 101 1 1) + ( - )12 12 14121 1 1 1- + - +2 4
4 61 1 1 1- + -6 8 8 101 1 1 1+ - + -10 12 12 141 1314 14(2)原式 3 3 5
1 15 7 7 9 9 11 1 1 1 1 111 13 1 1 1 1 3 3 5 5 71 127 9 911 11 13 1 1313
16．不必大乘大除
下面这道计算题，按一般运算法则计算是很麻烦的。如果你能发现数字 的特点，
采用巧算，则这道题将变得很容易。请你不要用纸和笔，用脑子想 一想，就得
出答案，行吗？(限 10 秒钟)19941994 1994 1995 1993
分析与解 根据分母的数字特点，可用如下方法计算：19941994×1994
1995×10031994 1994 2 (1994 1)×(1994 1)1994 1994 2 (1994 2 1)19941994
2 1994 2 1 1994
17．猜猜是几？
一个三位数，写在一张纸上，倒过来看是正着看的 1.5 倍，正着看是倒
过来看的 2 。这个三位数是几？3
分析与解 这个三位数是 666。其实，只要你稍加思索，就可以想出来了。 这道
题如果要求找一个一位数，那就是 6；找一个两位数，则是 66；找一个 四位数，
则是 6666， ，依此类推。
18．完全数
如果整数 a 能被 b 整除，那么 b 就叫做 a 的一个因数。例如，1、2、3、
4、6 都是 12 的因数。有一种数，它恰好等于除去它本身以外的一切因数的
和，这种数叫做完全数。例如，6 就是最小的一个完全数，因为除 6 以外的 6 的
因数是 1、2、3，而 6=1+2＋3。
你能在 20 至 30 之间找出第二个完全数吗？
分析与解 20 至 30 之间的完全数是 28。因为除 28 以外的 28 的因数是 1、
2、4、7、14，而 28=1＋2＋4＋7＋14。 寻找完全数并不是容易的事。经过不少
数学家研究，到目前为止，一共
找到了 23 个完全数。第三、四个完全数是：
496=1+2+4+8＋16+31+62＋124+248
8128=1＋2＋4+8＋16＋32+64＋127+254＋508+1016＋2032+4064 奇怪的是，已发
现的 23 个完全数是偶数，会不会有奇完全数存在呢？至
今无人能回答。完全数问题还是一个没有解决的问题。
19．有这样的数吗？
小明异想天开地提出：“世界上应该存在这样两个数，它们的积与它们 的差相
等。”他的话音刚落，就引起了同学们的哄堂大笑，大家都觉得这是 不可能的。
但是，世界上有些事情往往产生于一些怪想法。小明的想法，后 来竟被同学们
讨论证实了。
你能找到这样的两个数吗？告诉你，这样的数还不止一对呢！
分析与解 下面举出几个两数的积等于两数的差的实例：1 1 1 1 1
×2 3 2 3 61 × 1 1 1 1 4 5 4 5 202 2 2 2 45 7 5 7 353 3 3 3 9
×4 7 4 7 28
同学们，你可再试着找一些。
20．两数的积与两数的和能相等吗？
数学课上，小明偶然发现 2×2=2＋2。下课后，小明问王老师：“2×2=2
＋2，这样两数的积等于两数的和的情况，还有吗？”王老师听后很高兴地拍 着
小明肩膀说：“你能在数学学习中敏锐地发现问题，提出问题，这是很宝 贵的，
希望你能保持这个优点。你提的问题在数学中不是偶然的现
象，还可以举出很多实例。例如，3×1 1 = 3＋1 1 ，甚至还有三个数的积2 2
等于这三个数的和，四个数的积等于这四个数的和，五个数的积等于这五个 数
的和。这些现象近似于数学游戏，有兴趣，你回去仔细想想，一定会找到 答案
的。明天我们一起交换看法好吗？”小明听后高兴地接受了老师的建议。
同学们，你们能找出这样的数吗？ 分析与解 下面是部分例子。
两数积=两数和：
11×1.1=11+1.113×1211＋1214×13＋135×1 1414
三数积=三数和：
1×2×3=1＋2＋3 四数积=四数和：
1×1×2×4=1+1＋2＋4 五数积=五数和：
1×1×1×2×5=1+1+1+2+5
1×1×1×3×3=1+1+1+3+3
1×1×2×2×2=1+1+2+2+2 其中，有关两数积=两数和的例子，可以找出无数组，
请再找出一些。
21．老路行不通
五年级的时候，我们在数学课上就学习过计算与三角形有关的阴影部分 面积的
方法。但下面这道题却无法用习惯的方法解答，需要另辟蹊径。这条 要走的“新
路”所依靠的知识，仍然是最基本的：如果几个三角形的底和高 都相等，那么
它们的面积也相等。
图 26
已知：在△ABC 中，BC=5BD，AC=4EC，DG=GS=SE，AF=FG。 求阴影部分的面积占
△ABC 面积的几分之几？
分析与解 这道题看起来很像一道中学较复杂的几何求解题。其实，只 需要一些
小学最基本的数学知识就可以解答了。
根据BC = 5BD，可以知道，△ABD的面积 △ABC的面积；根据AC5，可以知道，
△DEC的面积 1
△ADC的面积 41 4
× △ABC的4 5
面积 △ABC的面积。依此类推，△ADG的面积 △ADE的面积 51
△ABC的面积；△FGE的面积 531
△ABC的面积。5
阴影部分的面积占△FGE面积的 1 ，即占△ABC面积的 1 × 1 = 1 。2 5 2 10
22．关键在于观察
你在数学课上学了不少几何图形的知识，掌握了不少平面图形的求面积 公式。
但是有许多组合面积的计算，单靠这些知识是远远不够的，它更需要 对组合图
形的观察能力。下面就是一道考查你的观察能力的题目。试试看， 你能很快做
出来吗？
已知图内各圆相切，小圆半径为 1，求阴影部分的面积。
图 27
分析与解 按一般的解题规律，要求面积，首先得确定所求的是什么图 形，或是
由什么图形组合而成。而本题构成阴影部分的图形，却是个不规则 的图形。但
仔细观察，就能发现阴影部分是由两部分组成的：下面是一个小
的半圆，上面是大的半圆减去2个小圆和3个小半圆的剩余部分的 1 。由此3
可得到以下解法：
π
阴影部分面积 21 π 32
×(3 2
π2π 3× )2
π π 2 35 π6
23．一筐苹果
入冬前，妈妈买来了一筐苹果，清理时，发现这筐苹果 2 个、2 个地数， 余 1
个；3 个、3 个地数，余 2 个；4 个、4 个地数，余 3 个；5 个、5 个地数，
余 4 个；6 个、6 个地数，余 5 个。你知道这筐苹果至少有多少个吗？
分析与解 根据题目条件，可以知道，这筐苹果的个数加 1，就恰好是
2、3、4、5、6 的公倍数。而题目要求“至少有多少个”，所以，苹果的个 数
应该是 2、3、4、5、6 的最小公倍数减去 1。
[2，3，4，5，6]=60
60-1=59 即这筐苹果至少有 59 个。
24．怎样分？
有 44 枚棋子，要分装在 1O 个小盒中，要求每个小盒中的棋子数互不相
同，应该怎样分？
分析与解 无法分。
因为要想使这 10 个小盒中的棋子数互不相同，至少可使这 10 个盒子中 的棋
子数分别为 0、 1、2、3、4、5、6、7、8、9；这样共需要 45 枚棋子。 而实
际只有 44 枚棋子，因此，必有两盒或两盒以上的棋子数相同。
图 28
25.不要急于动手
左图是一个正方形，被分成 6 横行，6 纵列。在每个方格中，可任意填 入 1、
2、3 中的一个数字，但要使每行、每列及两条对角线上的数字之和各 不相同，
这可能吗？为什么？
分析与解 不可能。
这是因为每行、每列和两条对角线都是由 6 个方格组成的，那么数字之 和最小
是 1×6=6，数字之和最大是 3×6=18。要想使各行、各列及对角线上 的数字之
和各不相同，只能出现 6、7、8、9、 、17、18 这 13 种数字和， 但实际却需
要 6(行)＋6(列)＋2(对角线)=14 种不同的数字和。
由此可知，要达到每行、每列及两条对角线上的数字和各不相同是不可
能的。
26．数字小魔术
新年联欢会上，同学们一致要求教数学的王老师出一个节目。王老师微 笑着走
到讲台前说：“我给你们表演一个数字魔术吧！”说完，王老师拿出 一叠纸条，
发给每人一张，并神秘地说：“由于我教你们数学，所以你们脑 子里的数也听
我的话。不信，你们每人独立地在纸条上写上任意 4 个自然数
(不重复写)，我保证能从你们写的 4 个数中，找出两个数，它们的差能被
3 整除。” 王老师的话音一落，同学们就活跃起来。有的同学还说：“我写的
数最
调皮，就不听王老师的话。”不一会儿，同学们都把数写好了，但是当同学 们
一个个念起自己写的 4 个数时，奇怪的事果真发生了。同学们写的数还真 听王
老师的话，竟没有一个同学写的数例外，都让王老师找出了差能被 3 整 除的两
个数。
同学们，你们知道王老师数字小魔术的秘密吗？
分析与解 其实，同学们写在纸条上的数字并不是听王老师的话，而是 听数学规
律的话。
因为任意一个自然数被 3 除，余数只能有 3 种可能，即余 0、余 1、余 2。 如
果把自然数按被 3 除后的余数分类，只能分为 3 类，而王老师让同学们在
纸条上写的却是 4 个数，那么必有两个数的余数相同。余数相同的两个数相 减
(以大减小)所得的差，当然能被 3 整除。
王老师是根据数学基本性质设计小魔术的。所以，只要我们刻苦学习数 学，掌
握规律，也会在数学王国中创造出魔术般的奇迹。
27．应该怎样称？
有 9 个外观完全相同的小球，其中只有一个重量轻一点儿。现在要求你 用一架
天平去称，问你至少称几次，才能找出较轻的球？
如果是 27 个球、81 个球中只有一个较轻的球，你知道至少称几次才能 找出那
个较轻的球吗？这里有规律吗？
分析与解 9 个球，至少称两次就可以找到那个较轻的球。 第一次：天平两侧各
放 3 个球。
如果天平平衡，说明较轻的球在下面；如果不平衡，那么抬起 一侧的 3 个球中
必有轻球。
第二次：从含有轻球的 3 个球中任选两个，分别放在天平两侧。如果平 衡，下
面的球是轻的；如果不平衡，抬起一侧的球是轻的。
如果是 27 个球，至少需要称 3 次。
第一次：天平两侧各放 9 个球。
如果平衡，说明轻球在下面 9 个中；如果不平衡，抬起一侧的
9 个球中含有轻球。 第二次、第三次与前面所说 9 个球的称法相同。 在这种
用天平确定轻球(或重球)的智力题中，球的总个数与至少称的
次数之间的关系是：若 3n＜球的总个数≤3n+1，则(n+1)即为至少称的次数。 例
如，设有 25 个球，因为 32＜25＜33，所以至少称 3 次；
设有 81 个球，因为 33＜81=34，所以至少称 4 次。
28．最少拿几次？
晚饭后，爸爸、妈妈和小红三个人决定下一盘跳棋。打开装棋子的盒子 前，爸
爸忽然用大手捂着盒子对小红说：“小红，爸爸给你出一道跳棋子的 题，看你
会不会做？”小红毫不犹豫地说：“行，您出吧？”“好，你听着： 这盒跳棋
有红、绿、蓝色棋子各 15 个，你闭着眼睛往外拿，每次只能拿 1 个棋子，问
你至少拿几次才能保证拿出的棋子中有 3 个是同一颜色的？”
听完题后，小红陷入了沉思。同学们，你们会做这道题吗？ 分析与解 至少拿 7
次，才能保证其中有 3 个棋子同一颜色。 我们可以这样想：按最坏的情况，小
红每次拿出的棋子颜色都不一样，
但从第 4 次开始，将有 2 个棋子是同一颜色。到第 6 次，三种颜色的棋子各 有
2 个。当第 7 次取出棋子时，不管是什么颜色，先取出的 6 个棋子中必有
2 个与它同色，即出现 3 个棋子同一颜色的现象。 同学们，你们能从这道题中
发现这类问题的规律吗？如果要求有 4 个棋
子同一颜色，至少要拿几次？如果要求 5 个棋子的颜色相同呢？
29．巧手摆花坛
学校门口修了一个正方形花坛，花坛竣工时，大队部在花坛旁挂出一块 小黑板，
上面写着：
“各中队少先队员： 花坛修好了，同学们都希望管理这个花坛。哪个中队的少
先队员能做出
下面两道题，就请那个中队的少先队员负责管理这个花坛。
① 要在这个花坛的四周摆上 16 盆麦冬，要求每边都是 7 盆，应该怎样 摆？
② 还要在这个花坛四周摆上 24 盆串红，要求每边也是 7 盆，应该怎样 摆？”
同学们，你会摆吗？请你试试看。 分析与解 答案如下图：
图 29
30．填数(一)
请你把 1～8 这八个数分别填入下图所示正方体顶点的圆圈里，使每个面 的 4
个角上的数之和都相等。
图 30
分析与解 做这种填数游戏，有两种方法，一种是“笨”方法，即凑数 的方法。
分别用这 8 个数去试，这种方法可行，但很费事。另一种方法是用 分析、计算
的方法。这道题可以分析、计算如下：
在计算各个面上 4 个数的和时，顶点上的数总是分属 3 个不同的面，这 样，
每个顶点上的数都被重复计算了 3 次。因此，各个面上 4 个数的和为 1～
8 这 8 个数的和的 3 倍，即(1＋2+3+ +8)×3=108。又因为正方体有 6 个 面，
也就是每个面上的四个数的和应是 108÷6=18。18 应是我们填数的标准。
如果在前面上填入 1、7、2、8(如图 31)，那么右侧面上已有 2、8， 其余两顶
点只能填 3、5。以此类推，答案如图 31 所示。
31．算算这笔账
小明哥哥的个体商店里，同时放着甲、乙两种收录机，售价都是 990 元。 但是
甲种收录机是紧俏商品，赚了 10％；乙种收录机是滞销品，赔了 10％。 假如
今天两种收录机各售出一台，小明哥哥的商店是赚钱了还是赔钱了？若 赚了，
则赚了多少？若赔了，则赔了多少？你会算这笔账吗？
分析与解 赚了 10％后是 990 元，原价是：
990÷(1＋10％)=900(元) 赔了 10%后是 990 元，原价是：
990÷(1-10%)=1100(元)
那么两台收录机，原来进价为 900＋1100=2000 元，现在卖了990×2=1980 元。
因此，这个商店卖出甲、乙两种收录机各一台，赔了 2000-1980=20 元。
32．“达标”的人数3
有一所学校，男生有5% 的人体育“达标”，得了优秀。这所学校的5
是男生；在全校“达标”获优秀的学生中， 3 是男生。问女生“达标”获4
优秀的学生占全校学生总数的百分之几？
分析与解3
根据已知条件，获体育“达标”优秀的男生占全校人数的 ×5%53。1003 1
根据获优秀的学生中， 是男生，则女生占 。即男生占3份，女生4
占1份。所以，女生获优秀的占全校人数的31004
÷3 = 1100
33．谁得优秀？
六年级同学毕业前，凡报考重点中学的同学，都要参加体育加试。加试 后，甲、
乙、丙、丁四名同学谈论他们的成绩：
甲说：“如果我得优，那么乙也得优。” 乙说：“如果我得优，那么丙也得优。”
丙说：“如果我得优，那么丁也得优。”
以上三名同学说的都是真话，但这四人中得优的却只有两名。问这四人 中谁得
优秀？
分析与解 我们可以这样想：如果甲得优秀，那么乙、丙、丁都得优秀， 这与实
际不符；如果乙得优秀，则丙、丁也得优秀，也与实际不符。因此， 只能丙、
丁得优秀，才符合实际情况。
判断结果是：丙、丁得优秀。
34．排名次
学校举办排球比赛，进入决赛的是五(1)班、五(2)班、六(1)班、 六(2)班的代
表队，到底谁得第一，谁得第二，谁得第三，谁得第四呢？
甲、乙、丙三人做如下的猜测： 甲说：“五(1)班第一，五(2)班第二。” 乙说：
“六(1)班第二，六(2)班第四。” 丙说：“六(2)班第三，五(1)班第二。” 比
赛结束后，发现甲、乙、丙三人谁也没有完全猜对，但他们都猜对了
一半。你能根据上面情况排出 1～4 名的名次吗？
分析与解 这类题用列表法进行推理比较简捷。甲说×√乙说×√丙说√×
上表第一行，是假设甲说的“五(1)班第一”是错的，“五(2)班第 二”是对的；
由此推向乙、丙，因为“五(2)班第二”是对的，则乙说的“六
(1)班第二”就是错的，丙说的“五(1)班第二”也是错的，那么乙说的
“六(2)班第四”与丙说的“六(2)班第三都是对的，这显然矛盾。因此 可以断
定，甲说的“五(2)班第二”是错的，而甲说“五(1)班第一”是 对的。进而我
们用下表可推出正确结论来：甲说√×乙说√×丙说√×
推理过程是：甲说“五(1)班第一”是对的，丙说“五(1)班第二” 是错的；那
么，丙说“六(2)班第三”是对的。由此又推出，乙说“六(2) 班第四”是错的，
当然乙说“六(1)班第二”是对的。前三名已有了，第四 名只能是五(2)班了。
35． 要赛多少盘？
六年级举行中国象棋比赛，共有 12 人报名参加比赛。根据比赛规则，每 个人
都要与其他人各赛一盘，那么这次象棋比赛一共要赛多少盘？
分析与解 一共要赛 66 盘。 要想得出正确答案，我们可以从简单的想起，看看
有什么规律。
假如 2 个人(A、B)参赛，那只赛 1 盘就可以了；假如 3 个人(A、B、C) 参赛，
那么 A—B、A—C、B—C 要赛 3 盘；假如 4 个人参赛，要赛 6 盘，
于是我们可以发现：
2 人参赛，要赛 1 盘，即 1；
3 人参赛，要赛 3 盘，即 1+2；
4 个参赛，要赛 6 盘，即 1+2+3；
5 人参赛，要赛 10 盘，即 1+2+3+4；
那么，12 人参赛就要赛 1+2+3+ +11=66 盘。 我们还可以这样想：
这 12 个人，每个人都要与另外 11 个人各赛 1 盘，共 11×12=132(盘)， 但
计算这总盘数时把每人的参赛盘数都重复算了一次，(如 A—B 赛一盘，B
—A 又算了一盘),所以实际一共要赛 132÷2=66(盘)。
36．获第三名的得几分？
A、B、C、D、E 五名学生参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一盘，并且 只赛一
盘。规定胜者得 2 分，负者得 0 分。现在知道比赛结果是：A 和 B 并 列第一
名，C 是第三名，D 和 E 并列第四名。那么 C 得几分？
分析与解 获第三名的学生 C 得 4 分。
因为每盘得分不是 2 分就是 0 分，所以每个人的得分一定是偶数，根据 比赛
规则，五个学生一共要赛 10 盘，每盘胜者得 2 分，共得了 20 分。每名 学生
只赛 4 盘，最多得 8 分。
我们知道，并列第一名的两个学生不能都得 8 分，因为他们两人之间比
赛的负者最多只能得 6 分，由此可知，并列第一的两个学生每人最多各得 6 分。
同样道理，并列第四的两个学生也不可能都得 0 分，因此他们两人最少
各得 2 分。
这样，我们可得出获第三名的学生 C 不可能得 6 分或 2 分，只能得 4 分。
37．五个好朋友
A、B、C、D、E 五个学生是同班的好朋友，其中有四人做课代表工作， 这四科
是语文、数学、地理、历史。另一个人是中队长。
请你根据下列条件，判断出这五位同学各做什么工作。
(1)语文课代表不是 C，也不是 D；
(2)历史课代表不是 D，也不是 A；
(3)C 和 E 住在同一楼里，中队长和他们是邻居；
(4)C 问数学课代表问题时，B 也在一旁听着；
(5)A、C、地理课代表、语文课代表常在一起讨论问题；
(6)D、E 常到数学课代表家去玩，而中队长去的次数不多。
分析与解 A 是数学课代表，B 是中队长，C 是历史课代表，D 是地理课 代表，
E 是语文课代表。
题中(1)、(2)是直接条件，而(3)～(6)就不像(1)、(2)那
样将条件直接写明。只要我们把(3)～(6)转换成直接条件，再把这些条 件填入
下表，就会得到正确的判断。
条件(3)中，“C 和 E 住在同一楼里，中队长和他们是邻居”，这就是 说，中
队长不是 C，也不是 E。条件(4)就是说，数学课代表不是 C 也不是 B。条件(5)
就是说，地理课代表、语文课代表不是 A，也不是 C。条件(6) 就是说，数学课
代表、中队长不是 D 或 E。
将以上(1)～(6)条件填入下表。语文课代 表数学课代 表地理课代 表历史课代
表中队长
A×(5)√×(5)×(2)×B××(4)√C×(1)(5)×(4)×(5)×(3)D×(1)×(6)×(2
)×(6)E×(6)×(3)(6)
由上表纵着看到数学课代表是 A，画上“√”； A 就不可能是中队长了， 在相
应位置上画上“×”；那么中队长一定是 B，画上“√”。既然 B 是中 队长，
他就不是语文课代表了，在相应位置上画上“×”。再挨着看，C 是 历史课代
表，D 是地理课代表。最后得出 E 是语文课代表。
38．过队日
六(1)中队共 43 名队员，他们到龙潭游乐园过中队日。中队长宣布， 大家只能
参加“激流勇进”、“观览车”和“单轨火车”三种游乐活动。活 动结束时，
中队长说：“根据今天参加游乐活动的情况我编了一道数学题： “全中队至少
有多少人参加的活动完全相同？”
你能替六(1)中队的同学找到正确答案吗？
分析与解 全中队至少有 7 人参加的活动相同。 这是一道根据实际活动编得很
有趣的数学题。解答这道题首先要弄明白
同学们参加游乐活动共有几种可能情况。我们把各种情况分别列出如下：
(1)只参加“激流勇进”；
(2)只参加“观览车”；
(3)只参加“单轨火车”；
(4)既参加“激流勇进”，又参加“观览车”；
(5)既参加“激流勇进”，又参加“单轨火车”；
(6)既参加“观览车”，又参加“单轨火车”；
(7)三种活动都参加。
由于可能的情况共有 7 种，去游乐场的有 43 名少先队员， 43÷7=6
1(人)，即如果每种可能的情况有 6 名队员参加的话，那么还余 1 名队员， 不
管这 1 名队员参加活动属于哪种“情况”，则至少有 7 人参加的活动相同。
39.放硬币游戏
参加人：2 人，也可以有裁判 1 人。 用具：一张纸(方形、圆形都可以)，1 分
硬币若干枚。 游戏规则：①2 人轮流把硬币放在纸上，每人每次只放一枚；②
放在桌
上的硬币不能重叠；③最后在纸上无处可放者为负。 同学们，要想在这个小游
戏中取胜，只需应用几何中一个很简单的原理。
你知道怎样放才能保证在游戏中稳操胜券吗?
分析与解 这个游戏对参加的两个人来说是不平等的，如果知道了游戏 的奥妙，
那么先放硬币的一方会稳操胜券。
游戏的奥妙是利用平面几何中的中心对称原理。先放者，首先抢占“对 称中
心”，即纸的中心。然后，不论对方把硬币放在什么位置，你每次都根 据中心
对称原理，把硬币放到对方硬币的对称位置上。这样，只要对方有地 方放，你
就必定有放的地方，直到你占满最后一处空白，逼得对方无处可放， 你就获胜
了。
40．一本书的页数
我们知道印刷厂的排版工人在排版时，一个数字要用一个铅字。例如
15，就要用 2 个铅字；158，就要用 3 个铅字。现在知道有一本书在排版时， 光
是排出所有的页数就用了 6869 个铅字，你知道这本书共有多少页吗？(封 面、
封底、扉页不算在内)
分析与解 仔细分析一下，页数可分为一位数、两位数、三位数、 。
一位数有 9 个，使用 1×9=9 个铅字； 两位数有(99-9)个，使用 2×90=180 个
铅字； 三位数有(999-90-9)个，使用 3×900=2700 个铅字； 依此类推。
我们再判断一下这本书的页数用到了几位数。因为从 1 到 999 共需用 9
＋2×90+3×900=2889 个铅字，从 1 到 9999 共需用 9＋2×90＋3×900＋4×
9000=38889 个铅字，而 2889＜6869＜38889，所以这本书的页数用到四位数。 排
满三位数的页数共用了 2889 个铅字，排四位数使用的铅字应有
6869-2889=3980(个)，那么四位数的页数共有 3980÷4=995(页)。因此
这本书共有 999+995=1994(页)。
41．重要的是能发现规律
学习数学，重要的不是会做几道题，而是通过学习，学会总结规律、使 用规律，
最终培养出一种能独立发现和总结规律并应用规律去解决实际问题 的能力。
下面有一道题，就是检查你是否具备这方面能力的。不过，在正式做题 前，先
复习一下有关的知识。
一个三位数，例如 256，可以表示成：
100×2+10×5+6。
一个任意三位数abc(通常表示几位数时就在这几个字母上面画一条
横线)也可以表示成:
100a＋10b+c
一个任意四位数abcd也可以表示成：
1000a＋100b＋10c＋d
好了，现在请做下面的题。
有一个四位数，减掉它各位数字的和得到 19※2，你能准确地判断出※ 表示的
数字是几吗？
解答这道题，当然可以用分析、推理等方法，但希望你能发现规律，并 利用规
律来巧解这道题。
分析与解 ※表示 6。 在解答这道题的过程中，不知你是否发现这样一个规律：
不管是一个两
位数、三位数或四位数 ，减去它的各个数位上数字之和所得的差，必定 是 9 个
的倍数。这个规律的证明，简述如下：
一个四位数abcd，可以表示成：1000a＋100b + 1Oc＋d。它
与它的数字之和的差为
1000a+100b+10c+d-(a+b+c+d)
=(1000a-a)+(100-b)+(10c- c)+(d-d)
=999a+99b+9c
=9(111a+11b+c) 因为这个差是“9”与一个算式(其计算结果是整数)的乘积，所
以这个
差必定能被 9 整除。(其他位数的数的证明与此相同，从略)。
解答上面这道题，我们可以根据条件这样想：1+9+2=12，12 比 9 的 2 倍 少 6，
比 9 的 3 倍少 15，因为※表示的是一个数字，所以※表示的只能是 6。
42．填数(二)
右图中的大三角形被分成 9 个小三角形。试将 1、2、3、4、5、6、7、8、
9 分别填入 9 个小三角形中，每个小三角形内只填一个数。要求靠近大三角 形
每条边的 5 个小三角形内的数相加的和相等，并且使五个数的和尽可能 大，请
问该怎样填？如果使五个数的和尽可能小，又该怎样填？
图 32
分析与解 靠近大三角形三条边的 5 个数的和尽可能大的填法如图 33 中 的左
图；使 5 个数的和尽量小的填法如图 33 中的右图。
把靠近大三角形三条边的 5 个数都加起来，就会发现，除每边靠中间的 那 三
个 数 外 ， 其 余 的 数 都 重 复 相 加 了 两 次 。 要 想
图 33
使靠近大三角形每条边的 5 个数的和相等，并且使和尽可能大，那么靠近各 边
中间的这三个数就应该尽量小，当然应该填 1、2、3。这时每条边的 5 个 数之
和为
［2×(1+2+3+ +9)-1-2-3]÷3=28
同理，要使靠近大三角形三条边的 5 个数的和相等，并且使和尽可能小， 则靠
近各边中间的这三个数就应该尽量大，即这三个数应是 7、8、9。这时 每条边
的 5 个数之和为
［2×(1+2+3+ + 9)-7-8-9]÷3=22
43．换个角度想
在所有的三位数中，有很多数能同时被 2、5、3 整除，那么不能同时被
2、5、3 整除的三位数的和是多少？ 要解答这个问题，最好换个角度想。
分析与解 解答这道题时，要是把不能同时被 2、5、3 整除的三位数都 挑出来，
再进行计算，那就太费时间了。
因为在三位数中，能同时被 2、5、3 整除的数的个数是不多的，这样我 们只要
从所有的三位数的总和中减去能同时被 2、5、3 整除的数的和，得到 的就是不
能同时被 2、5、3 整除的数的总和。
能同时被 2、5、3 整除的三位数是：120、150、180、210、 、960、
990。
以上是一个公差为30的等差数列，共有(120 990)×30990 12030+ 1 = 30(项)，
这些
数的总和是2。
所有的三位数共有999 - 100 + 1 = 900(个)，它们的总和是 (100 999)2。
因此，不能同时被 2、5、3 整除的三位数的总和是 494550-16650=477900。
44．从后往前想
明明和华华各有铅笔若干支，两个人的铅笔合起来共 72 支。现在华华从 自己
所有的铅笔中，取出明明所有的支数送给明明，然后明明又从自己现在 所有的
铅笔中，取出华华现有的支数送给华华，接着华华又从自己现在所有 的铅笔中，
取出明明现在所有的支数送给明明。这时，明明手中的铅笔支数 正好是华华手
中铅笔支数的 8 倍，那么明明和华华最初各有铅笔多少支？
分析与解 有些数学题，如果顺着思考不易找到答案，往往从后往前想 比较方便，
即从已知条件倒推回去，找出答案来。
根据这道题的已知条件可知，无论明明取多少支铅笔给华华，还是华华 取多少
支铅笔给明明，两人所有的铅笔总支数(72 支)是不变的；又知道最 后明明手中
铅笔的支数是华华手中铅笔支数的 8 倍。这样我们可以求出最后 两人手中铅笔
的支数。
华华最后手中铅笔的支数是：
72÷(8＋1)=8(支) 明明最后手中铅笔的支数是：
8×8=64(支) 接着倒推回去，就可以求出两人最初各有铅笔多少支了。
答案是：明明最初有铅笔 26 支，华华最初有铅笔 46 支。
45．缺少条件吗？
红光小学六年级共有学生 210 多人。期末考试成绩得优的占全年级人数
的 1 ，得良的占全年级人数的 2 ，得中的占全年级人数的7 ，其余的不及2 9
27
格。问不及格的有几人？
分析与解 题中没有给出六年级学生到底有多少人，缺少这一条件，还 能解答这
道题吗？
我们知道，由于各档次成绩的人数一定是整数，所以全年级的人数一定
是 1 、 2 、7 这几个分数分母的公倍数。2、9 、27的公倍数有54、108 、2 9
27
162、216、270、 ，题中告诉我们六年级共有学生 210 多人，在上面这些 公倍
数中，靠近 210 的是 216，显然全年级共有 216 人。于是不及格的人数 是：
216×(1 - 1 - 22 9- 7 ) (人)27
46．丢番图的墓志铭
古希腊的大数学家丢番图，大约生活于公元前 246 年到公元 330 年之间， 距
现在有二千年左右了。他对代数学的发展做出过巨大贡献。
丢番图著有《算术》一书，共十三卷。这些书收集了许多有趣的问题，
每道题都有出人意料的巧妙解法，这些解法开动人的脑筋，启迪人的智慧， 以
致后人把这类题目叫做丢番图问题。
但是，对于丢番图的生平知道得非常少。他唯一的简历是从《希腊诗文
集》中找到的。这是由麦特罗尔写的丢番图的“墓志铭”。“墓志铭”是用 诗
歌形式写成的：
“过路的人！
这儿埋葬着丢番图。 请计算下列数目， 便可知他一生经过了多少寒暑。 他一
生的六分之一是幸福的童年， 十二分之一是无忧无虑的少年。 再过去七分之一
的年程， 他建立了幸福的家庭。 五年后儿子出生， 不料儿子竟先其父四年而
终， 只活到父亲岁数的一半。 晚年丧子老人真可怜， 悲痛之中度过了风烛残
年。 请你算一算，丢番图活到多大，
才和死神见面？” 请你算一算，丢番图到底活到多少岁？ 分析与解
丢番图的墓志铭中出现的分数 1 、1 、 1 、 1 都是以丢番图的年龄6 12 7 2
作为单位“1”的，因此，他的年龄一定是这几个分数分母的公倍数。6、12、
7、2 的公倍数有 84、168、252、 。丢番图不可能活到 168 岁或更大的年 龄，
因此得出丢番图活到 84 岁。
47．丢番图的趣题
下面是丢番图出的一道题： 今有四数，取其每三个而相加，则其和分别为 22、
24、27 和 20。求这
四个数各是多少？
分析与解 如果设其中某个数为 x，则其他三个数很难用 x 的式子表示出 来。
丢番图的作法十分巧妙，他设四个数之和为 x，则这四个数分别为 x-22， x-24，
x-27，x-20。列方程
(x-22)+(x-24)+(x-27)+(x-20)=x
解得 x=31
31-22=9，31-24=7，
31-27=4，31-20=11， 即这四个数分别为 9、7、4、11。
48．真是没想到！
出题前，先讲个小故事。 传说在很久以前，印度有个叫塞萨的人，为了能使国
王忘掉战争，精心
设计了一种游戏(国际象棋)献给国王。国王对这种游戏非常满意，决定赏
赐塞萨。国王问塞萨需要什么，塞萨指着象棋盘上的小格子说：“就按照棋 盘
上的格子数，在第一个小格内赏我 1 粒麦子，在第二个小格内赏我 2 粒麦 子，
第三个小格内赏 4 粒，照此下去，每一个小格内的麦子都比前一个小格 内的麦
子加一倍。陛下，把这样摆满棋盘所有 64 格的麦粒，都赏给我吧。” 国王听
后不加思索就满口答应了塞萨的要求。但是经过大臣们计算发现，就 是把全国
一年收获的小麦都给塞萨，也远远不够。国王这才明白，塞萨要的， 是国王放
弃战争，发展生产，改善人民生活。
我们来计算一下，塞萨要的小麦到底是多少？原来聪明的塞萨巧妙地利
用了数学中的乘方。棋盘上共有 64 格，按塞萨的要求，应付给他 264-
1=18446744 粒小麦，约合 5 千多亿吨。这个数字大得惊人，古 代
印度那个国王，怎么能付得出来？
下面有一道类似的题：
“把一张厚度仅有 0.05 毫米的纸，对折 30 次后，它的厚度是多少？” 请你
算算，看你想到了没有？
分析与解 把一张厚度为 0．05 毫米的纸对折 30 次，厚度为 0．05×230
≈53．69 千米。
49．黑蛇钻洞(印度古题一)
古代印度的许多算术题是很有趣的，比如：
一条长 80 安古拉(古印度长度单位)的强有力的、不可征服的、极好的
黑蛇，以 5
天爬7 1 安古拉的速度爬进一个洞；而蛇尾每 1 天长 11 安古拉14 2 4 4
。请你算一算，这条大蛇多少天全部进洞？
分析与解 黑蛇不断往洞里爬，蛇尾也不停地向后长，要求出黑蛇全部 爬进洞的
时间，可先分别求出黑蛇向洞里爬行的速度和蛇尾生长的速度：
黑蛇爬行的速度71 5
÷2 14
蛇尾生长的速度11 ÷ 1 = 114 4
二者的速度差=21-11=10 全部进洞的时间=80÷10=8(天)
50．芒果总数(印度古题二)1 1
有一堆芒果，国王取 ，王后取余下的 ，三个王子分别取逐次余下6 5
的 1 、 1 和 1 ，最年幼的小孩取剩下的三个芒果。请你求出芒果的总4 3 2
数是多少个。
分析与解1 1 1 1
设芒果总数为1，那么国王取 ；王后取余下的 ，即(1- ) × 61 1 1 15 6 52 1
1
；三个王子分别取逐次余下的 、 和 ，即(1- )×，(1 -6 4 3 23 )× 1 = 1 ，
(1 - 4) × 1 = 1 。6 4 66 3 66 2 61 5
国王、王后和三个王子都取得了总数的 ，合在一起为 。这样小孩6 61
得到的也是总数的 。因此，芒果总数为63÷ 1 = 18(个)6
51．托尔斯泰的算题(一)
托尔斯泰是 19 世纪末俄国的伟大作家。他对算术也很有兴趣，还写过算 术课
本。他特别喜欢表面复杂，但却有简便方法解答的算题。
下面就是托尔斯泰非常喜欢的“割草人”算题： “一队割草人要收割两块草地，
其中一块比另一块大 1 倍。全队在大块
草地上收割半天之后，分为两半，一半人继续留在大块草地上，到傍晚时把 草
割完；另一半人到小块草地上割草，到傍晚还剩下一小块没割。剩下的一 小块
要第二天 1 个人用 1 整天才能割完。
问割草队共有几人？”
分析与解 托尔斯泰本人是怎样解算这道题的呢？他认为，既然大块草 地上割草
队全体割了半天，接着全队的一半人又割了
半天。很明显，这一半人在半天内收割了大块草地的 1 。另一方面，小块31
草地相当于大块草地的 。以大块草地为1，那么在小块草地上，半队人2
割了半天后剩下的草地为 1 - 1 = 1 。而这剩下的 1 ，一个人一天割完了2 3
6 61
，这说明一个人割草的效率为一天割大草地的 。61
大、小草地合起来是1＋23 3 1 8，割草队割了一天总共割了 - =2 2 6 61×8，
说明割草队共有8人。6
托尔斯泰的解算十分巧妙，说明他算术功底很深。托尔斯泰还很注重算 术题的
直观解法。如下图，左边代表大块草地，右边代表小块草地，小块草
地是大块草地的一半。一个人一天割了 1 ，因此，每个正方形都代表两个6
人一天所割的草。第一天一共割了四个正方形，说明割草队共有 8 个人。
图 34
52．托尔斯泰的算题(二)
托尔斯泰喜欢的另一道算题是： 木桶上方有两个水管。若单独打开其中一个，
则 24 分钟可以注满水桶；
若单独打开另一个，则 15 分钟可以注满。木桶底上还有一个小孔，水可以从 孔
中往外流，一满桶水用 2 小时流完。如果同时打开两个水管，水从小孔中 也同
时流出，那么经过多少时间水桶才能注满？
分析与解 当两个水管打开时，从一个水管 1 分钟注入的水占木桶容积1 1
的 ，从另一个水管1分钟注入的水占木桶容积的 ；而1分钟从小孔流24 151
出的水为木桶容积的 。因此，1201 1 1 124 15120 101
即1分钟木桶中积有的水为木桶容积的 。101÷ 1 = 10(分)10
所以，经过 10 分钟水桶才能注满。
53．爱因斯坦编的问题
很多科学家都喜欢用一些有趣的数学问题来考察别人的机敏和逻辑推理 能力。
这里有一道著名物理学家爱因斯坦编的问题：在你面前有一条长长的 阶梯。如
果你每步跨 2 阶，那么最后剩下 1 阶；如果你每步跨 3 阶，那么最 后剩 2 阶；
如果你每步跨 5 阶，那么最后剩 4 阶；如果你每步跨 6 阶，那么 最后剩 5 阶；
只有当你每步跨 7 阶时，最后才正好走完，一阶也不剩。
请你算一算，这条阶梯到底有多少阶？
分析与解 分析能力较强的同学可以看出，所求的阶梯数应比 2、3、5、
6 的公倍数(即 30 的倍数)小 1，并且是 7 的倍数。因此只需从 29、59、89、
119、 中找 7 的倍数就可以了。很快可以得到答案为 119 阶。
54. 苏步青教授解过的题
我国著名数学家苏步青教授，有一次到德国去，遇到一位有名的数学家， 在电
车上出了一道题目让苏教授做。这道题目是：
甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是 50 千米。甲每小时走 3
米，乙每小时走 2 千米，甲带着一只狗，狗每小时跑 5 千米，这只狗同甲一 起
出发，碰到乙的时候它就掉头往甲这边跑，碰到甲时又往乙这边跑，碰到 乙时
再往甲这边跑 ，直到甲、乙二人相遇为止。问这只狗一共跑了多少 路？
苏步青教授略加思索，未等下电车，就把正确答案告诉了这位德国数学 家。
请你也来解答这道数学题，题目虽不太难，但要认真思考，才能找到解 题的“窍
门”。
分析与解 这个问题看起来很复杂，其实却是出人意料的简便。因为每 小时甲走
3 千米，乙走 2 千米，所以甲乙二人相遇共走了 10 小时，这表明狗 也跑了 10
小时，因此狗一共跑了 50 千米。
55．农妇卖鸡蛋
从前，有一个农妇提了一篮鸡蛋去卖。甲买了全部鸡蛋的一半多半个；
乙买了剩下鸡蛋的一半多半个；丙又买了剩下的一半多半个；丁买了最后剩 下
的鸡蛋的一半多半个。这样，鸡蛋刚好卖完。
你知道农妇的一篮鸡蛋共有几个吗？
分析与解 由于丁买了最后剩下的一半多“半个”，鸡蛋刚好卖完，这 说明最后
剩下鸡蛋的另一半就是那“半个”鸡蛋。可见，
丙买了后，篮子里只剩 1 个鸡蛋1乙买后剩下：(1 +
甲买后剩下：(3 +
)×2 = 3(个)21
)×2 = 7(个)2
农妇的一篮鸡蛋总数为(7 + 1 )×2 = 15(个)2
56．各有多少钱？
兄弟俩到商店去买东西。妈妈问哥哥：“你带多少钱？”哥哥说：“我 和弟弟
一共带 240 元，如果弟弟给我 5 元，那么我的钱数就比弟弟的钱数多 一倍
了。”妈妈又问弟弟：“你带了多少钱呢？”弟弟回答说：“如果哥哥 给我 35
元钱，那么我的钱数就和哥哥的一样多了。”妈妈听了以后，还弄不 清哥哥和
弟弟到底各带多少钱。你能弄明白吗？
分析与解 哥哥给弟弟 35 元后各有钱：240÷2=120(元)
哥哥带的钱数：120+35=155(元) 弟弟带的钱数：120-35=85(元)
57．河边洗碗
有一名妇女在河边洗刷一大摞碗，一个过路人问她：“怎么刷这么多 碗？”她
回答：“家里来客人了。”过路人又问：“家里来了多少客人？” 妇女笑着答
道：“2 个人给一碗饭，3 个人给一碗鸡蛋羹，4 个人给一碗肉， 一共要用 65
只碗，你算算我们家来了多少客人。”
分析与解 题目给出了碗的总数，以及客人和碗的关系。如果能求出每
人占用多少只碗，那么就可以求出客人的数目了。2个人给一碗饭，每人占 1 只
碗；213个人给一碗鸡蛋羹，每人占 只碗；34个人给一碗肉，每人占 1 只碗；
41
合起来，每人占(2
因此，客人数为1 1+ + )只碗；3 465÷( 12+ 1 + 1 ) 人))3 4
58．是谁错了？
小明看见哥哥的练习本上抄着一道加法题，越看越奇怪，题目是这样写 的：
小明认为这道题错了，到底是谁错了呢？
分析与解 这道加法题并没有错，原因是我们已经习惯于十进位制，也 就是逢十
进一。这里却是八进位制，也就是逢八进一。
从右数第一位，5+5 等于十(不是 10)，由于满八就进一位，只剩下 2， 所以第
一位是 2；第二位数字 0＋7=7，加上刚才进位的 1，又满八，于是进 到第三位，
而第二位的得数写 0；第三位等于 2+7+1，满八进一，所以向第四 位进一，第
三位得 2；第四位等于 3＋4+1，又向第五位进一，第四位得 0。 所以最后结果
是 10202。
59．各放多少发子弹？
小张是某部队武器库保管员，他将 1 千发子弹分放在 10 个盒子里，一旦 需要，
只需告诉他 1000 以内所需子弹数，他都可以拿出若干个盒子，凑出所 需的子
弹数，而不必打开盒子去数子弹。请问小张在 10 个盒子里各放了多少 发子弹？
分析与解 十进制数中的 1、2、4、8、16、32、64、128、256 分别是二
进制数 1、10、100、1000、10000、100000、1000000、10000000、100000000，
这九个二进制数码可以组成 1 到(111111111)2 的任何一个二进制数。于是
用 1、2、4、8、16、32、64、128、256 这九个十进制数中的数相加，可以得 到
1 到 511 中的任何一个十进制的数。所以保管员在九个盒子中分别装入 1、
2、4、8、 、256 发子弹共 511 发，剩下的 489 发装在第十个盒子里。如
果需要的子弹数小于或等于 511 发，那么就可以由前九个盒子中挑选出若干 盒
子来满足。如果需要的子弹数大于 511 发，那么可先取第十盒中的 489 发 子
弹，其余的由前九盒中的若干盒来满足。
60．逢四进一
通常我们用的数的进位制是十进制，即逢十进一。它有十个数字：0、1、
2、 、9。下面的算式用的不是十进制，而是四进制——即逢四进一。它 有四个
数字：0、1、2、3。在这个算式中，字母 A、B、C、D 分别代表 0、1、
2、3 中的某一个数字。
请问按此算式，字母 A、B、C、D 各代表什么数字？
分析与解 在四进制中，加法运算是这样进行的：
0+0=0 0+1=1 0+2=2 0+3=3
1+1=2 1＋2=3 1+3=10
2+2=10 2+3=11
3+3=12 现在我们可以根据上述运算结果来确定算式中的数字。
由于和的首位 B 是由进位而得的，而 A＋C 最大只能是 11，因此不管下 一位 B
＋B 是否进位，A＋C 只能进位 1，从而得 B=1；将 B=1 填入后，立即可 得 D=0。
现在 A 和 C 只能在 2 和 3 中取，但不论 2＋3 还是 3＋2 都会进位 1， 所
以 C=B＋B＋1=1＋1＋1=3，于是 A=2。
原算式为
61．交叉公路
有两条公路成十字交叉，甲从十字路口南 1350 米处往北直行；乙从十字 路口
处向东直行。二人同时出发，10 分钟后，二人离十字路口的距离相等； 二人仍
保持原速继续直行，又过了 80 分钟，这时二人离十字路口的距离又相 等。求
甲、乙二人的速度。
分析与解 甲从十字路口南 1350 米处往北直行，乙从十字路口处向东直 行，同
时出发，10 分钟后二人离十字路口距离相等，说明甲、乙二人 10 分 钟共行了
1350 米，于是可以求出二人每分钟的速度和。又知道，二人继续行 走 80 分钟，
即从出发各行 90 分钟，二人离十字路口距离又相等，说明甲、 乙二人 90 分
钟行走的路程之差是 1350 米。于是又可以求出二人每分钟的速 度差，进而求
出甲、乙各自的速度。
1350÷10=135(米)
1350÷(10+80)=15(米) 甲的速度是：(135+15)÷2=75(米) 乙的速度是：
(135-15)÷2=60(米)
即甲的速度是每分钟 75 米，乙的速度是每分钟 60 米。
62．何时追上乙？
甲、乙二人步行速度比是 13∶11。如果甲、乙二人分别从 A、B 两地同 时出发，
相向而行，0．5 小时相遇，那么甲、乙二人分别从 A、B 两地同向 而行，几小
时后甲追上乙？
分析与解 我们先假设 A、B 两地间的路程为 1，那么甲、乙二人每小时 的速度
之和是：1÷0.5=213 112 × ＝13 11 121 112 - 1 -12 121 111÷(1 - )12 12÷
16(小时)
即 6 小时后甲追上乙。
63．流水行船
一只小船，第一次顺水航行 20 千米，又逆水航行 3 千米，共用了 4 小时； 第
二次顺水航行了 17．6 千米，又逆水航行了 3．6 千米，也用了 4 小时。求 船
在静水中的速度和水流速度。
分析与解 比较两次航行的航程可知：在相同的时间内，顺水可航行
20-17．6=2．4 千米，逆水可航行 3．6-3=0．6 千米。于是求出在相同时间 内
顺水航程是逆水航程的 2．4÷0．6=4 倍。那么顺水行的航速也就是逆水行 的
航速的 4 倍，进而求出顺水与逆水的航速。
顺水航速为每小时：(20+3×4)÷4=8(千米) 逆水航速为每小时：(20÷4＋
3)÷4=2(千米) 船在静水中的速度为每小时
(8+2)÷2=5(千米) 水流速度为每小时
(8-2)÷2=3(千米)
即船在静水中的速度为每小时 5 千米，水流速度为每小时 3 千米。
64．粗心的钟表匠
小王师傅是钟表店的新职工，由于工作不安心，时常出问题。有一次， 他给学
校修理一只大钟，竟然把长短针装配错了。这样一来，短针走的速度 变成了长
针的 12 倍。装配的时候是下午 6 点，他把短针指在“6”上，长针 指在“12”
上。小王装好后，就回家了。
学校值班老师看到这大钟一会儿 7 点，一会儿 8 点，十分奇怪，立刻派
人去找小王师傅。小王师傅在第二天上午 7 点多钟才来到，他掏出标准表一 看，
表和大钟的时间一样，说学校故意找他的麻烦，气乎乎地回家了。小王 走后，
老师发觉大钟还是不对头，又通知小王来。下午 8 点多，小王又来到 学校，与
标准表一对，仍旧准确无误。
请你想一想，小王第一次来校对表的时刻是上午 7 点几分？第二次对表
的时刻又是下午 8 点几分？
分析与解 这个问题的关键是只有两针成为一条直线时，大钟所指的时 间才是准
确的。在 6 点，两针成一直线，这是小王装配指针的时间。以后每
增加1小时5 511
分，两针再成一直线。我们知道，两指针走动的相对关系
，每隔 12 小时一循环，所以在第二天上午 6 点和下午 6 点，短针和长针也是
分别指在“6”上和“12”上，因此，在第二天上午 7 点以后，两针成一直
线的时间是7 点5 5 分；而在下午8点后，两针成一直线的时间是8点10 10 分
11 11
。这也就是小王两次来校对表的时刻。
65.分针、时针追跑
你注意过钟面上的时、分、秒 3 根针的运动特点吗？这 3 根针，每时每 刻都
处在你追我赶之中。秒针追分针、分针追时针 ，永不停息。请问从 早晨 8 点
开始，当分针第一次与时针重合时，是几点几分？
分析与解 这道题是典型的钟面问题。解答这类题有以下几个关键问题：1
(1)分针的速度：每分钟走 钟面周长(1格)；60
(2)时针的速度：每分钟走160 12
钟面周长( 112
格)；
(3)分针与时针由不重合到重合，表示分针追及时针，它们之间的速
度差为 1601720
或1 11211 (格)；12
(4)计算开始时的距离即两针相差多少格，本题的距离为 40 格(按分 针顺时针
方向到时针的距离)。
弄清以上问题，根据追及问题的数量关系：
距离 40 7
追及时间 43( 分)
速度差 11 1112
所以，从早晨8点开始，分针与时针第一次重合的时刻是8 点43 7 分。11
66．弄通情境
骑车人以每分钟 300 米的速度，从 102 路电车始发站出发，沿 102 路电 车线
前进。骑车人离开出发地 2100 米时，一辆 102 路电车开出了始发站。这 辆电
车每分钟行 500 米，行 5 分钟到达一站并停 1 分钟，那么要用多少分钟， 电
车追上骑车人？
分析与解 电车行驶 5 分钟到达一站，停车 1 分钟，电车可行驶
500×5=2500(米)而骑车人可行
300×(5＋1)=1800(米)
根据题意，电车要追赶骑车人 2100 米，这时可不能误认为追赶 2100÷
(2500-1800)=3 个(5＋1)分钟即 18 分钟追上骑车人。因为求得的 18 分 钟，
恰是电车停车的那 1 分钟时间里，所以是不可能追上的。
电车开离第二个站时，已追赶了骑车人 [500×5-300×(5＋1)]×2=1400(米)
这时电车离骑车人还有：
2100-1400=700(米) 那么再行
700÷(500-300)=3．5(分钟) 即可追上骑车人。
这样电车前后共用了
(5＋1)×2＋3．5=15．5(分钟) 即要用 15．5 分钟电车追上骑车人。
说明：这是一道复杂的追及问题，题中要求追及时间，同学们计算时往
往认为是 18 分钟追上。这种思考方法错了，忽视了最后追及的“6 分钟”路 程
实际电车只行了 5 分钟，最后一分钟是停下来的；如果不停这一分钟，电 车又
可向前走 500 米，即电车超前骑车人 500 米，超前这 500 米要用 500÷
(500-300)=2．5(分钟)。这样从 18 分钟内减去 2．5 分钟，也能得出正 确答
案是 15．5 分钟。
67．预定时间
某人从甲地到乙地按预定的时间和速度行了甲、乙两地 2 1
路程的 ，在余下的路程上，他行走的速度增加 ，行走的时间每天减少3 91 ，
结果他从甲地到乙地共行了16天。那么原定从甲地到乙地要行多少天4
分析与解
某人行走余下的路程，速度增加 1 ，行走时间减少 1 ，那么他1天行9 41 1 5
走的路程相当于原定1天行走路程的(1＋ )×(1- ) 9 4
，于是进一6
步求出他行走余下路程(1 - 2 )相当于原定行走全程的(1- 2 )÷ 5 = 2 。3 3 6
52 2
已知他行走全程用了16天，恰好相当于行走原定路程的 与 之和，于是3 5
求出他原定从甲地到乙地所用的时间。1 1 5
(1＋ )×(1- ) 9 4 62 5 2
(1 - )÷ 3 6 516÷( 2 ＋ 2 ) (天)3 5
即原定从甲地到乙地要行 15 天。
68．文艺书与科技书
六(1)班的图书箱里共有文艺书和科技书 91 本，文艺书本数的 25％与科技书本
数的 2 正好相等。两种书各有多少本？5
分析与解 解答这道题的关键是确定比较的标准。根据文艺书本数的 25
％与科技书的 2 正好相等这个条件，可得如下关系式：5
文艺书本数×25％ 科技书本数× 2 ，5
再利用比例的基本性质把上式转化为：
文艺书本数∶科技书本数 ∶25％ ∶55
再利用比例分配的方法，分别求出每种书各有多少本。2 ∶25％ ∶55
文艺书：91×
科技书：91×88 558 5(本)(本)
即文艺书有 56 本，科技书有 35 本。
69．几天完工？
一项工程，甲、乙两队合做需要 8 天完成，甲队单独做了 4 天，乙队又
单独做了2 天，还有全工程的 2 没有完成，那么每队单独完成这项工程各3
需要几天？
分析与解2
题中告诉我们：还有全工程的 没有完成，也就是已经完成了全工程的132 1 1
- = ；又知这 是先由甲队独做了4天，又由乙队独做了2天完成的。换一3 3 31
种说法，即两队合做了2天，甲又单独做了2天，完成了全工程的 。甲、乙31
两队合做2天，完成全工程的 ×2 81 1 1
，甲队每天完成全工程的( )÷4 3 4(4 2) 1 ，乙队每天完成全工程的 1 124 8
241 。由此可以分别求出甲、12
乙两队单独完成这项工程所需天数。1 11÷[( -3 81 1÷[ ( -3 4
×2)÷(4 - 2)]
)÷2]÷ 124(天)1 11÷( -8 24
) (天)
即甲队单独完成这项工程需要 24 天，乙队单独完成这项工程需要 12 天。
70．干活的人数
一项工程，8 个人干需 15 天完成。今先由 18 人干了 3 天，余下的又由
另一部分人干了3天，共完成了这项工程的 3 ，问后3天有多少人参加？4
分析与解 解答这题的关键是求后 3 天的工作量以及每人每天的工作 量。
根据8人干15天完成，可以求出每人每天干全工程的1÷15÷8 =1120
，那么18人3天共干全工程的1120×3×18 =9 ，后3天每天干这项工程的( 3
-20 49)÷3 201 ，所以后3天参加的人数是： 1 ÷10 1031120
(人)[ -
(1÷15÷8)×3×18]÷3÷(1÷15÷8)43439 ]÷3÷2011120÷3÷10120(人)
即后 3 天共有 12 人参加。
71．甲先做了几天？
一件工程，甲独做 12 天可以完成，乙独做 4 天可以完成。现在甲先独做 了几
天，因事离去，乙接着做余下的工程，直至完工。完成这件工程前后共 用了 6 天，
那么甲先独做了几天？
分析与解 要求甲先独做了几天，我们可以假设完成这件工程前后所用
的6 天都由乙独做，那么乙就可以完成这件工程的 1 ×6 = 3 ，超过全工程4 2
的部分是因为乙代替甲去做的结果。乙每代替甲做1天即可多完成全工程的1 1
4 121 ，于是可以求出甲独做的天数。61 1 1( ×6 1)÷( )4 4 12 ( 3 1)÷ 12
61 1
÷2 6 3(天)
即甲先独做了 3 天。
说明：题中给出“完成这件工程前后共用了 6 天”，既不表示甲独做了
6 天，也不表示乙独做了 6 天，而这 6 天中既包括甲独做的天数，也包括乙 独
做的天数，因此，解答时应该用“假设法”去求解，正像分析中所说的那 样，
“假设完成全工程所用的 6 天都由乙独做”，然后求出甲独做的天数。 当然也
可以“假设完成全工程所用的 6 天都由甲独做”，然后求出乙独做的
天数，再从 6 天中减去乙独做的天数，就得出了甲独做的天数。
72．空池注水
一个水池有两个进水管甲、乙，一个排水管丙。如果单开甲、丙两管， 那么 10
小时可把空池注满；如果单开乙、丙两管，那么 15 小时可把空池注 满；如果
单开丙管，那么 30 小时可把满池水放光。现在同时打开甲、乙、丙 三管，几
小时可把空池注满？
分析与解 根据已知单开甲、丙两管 10 小时可把空池注满，就是说甲管11小时
注水量与丙管1小时的排水量之差是 ；单开乙、丙两管15小时可把151
空池注满，就是说乙管1小时的注水量与丙管1小时的排水量之差是 。因15
此，甲、乙、丙三管同时打开1小时，注水量是( 1101 1)。15 301÷( 1101 1+
+ )15 30÷ 15
即同时打开甲、乙、丙三管，5 小时可把空池注满。 说明：这是一道“工程问
题”，工作总量除以工效之和等于完成的时间。1 1
根据已知 ＋ 是甲、乙工效之和再减去2个丙的工效，因此甲、乙、丙10 15
工效之和应该是 1 1 1 。10 15 30
73．往返行驶
一辆汽车在甲、乙两站之间行驶，往返一次共用去 4 小时(停车时间不 计)。已
知汽车去时每小时行驶 45 千米，返回时每小时行驶 30 千米，问甲、 乙两站
相距多少千米？
分析与解 由于往返的路程是一样的，所以在路程一定的条件下，汽车 往返的速
度比与汽车往返的时间成反比。汽车的速度比是 45∶30，汽车往返 时间比是
30∶45，即 2∶3。已知往返一次共用 4 小时，那么这辆汽车
去时所用的时间是4 ×
。22 33(小时)。由此可求出甲、乙两站的距离524×2 333(小时)545×15(千米)
即甲、乙两站相距 72 千米。
74．分树苗
学校把 414 棵树苗按各班人数分给六年级三个班。一班和二班分得树苗 的棵数
比是 2∶3，二班和三班分得树苗的棵数比是 5∶7，求每个班各分得树 苗多少
棵？
分析与解 已知一班和二班分得树苗的棵数比是 2∶3，二班和三班分得 树苗的
棵数比是 5∶7，那么三个班分得树苗棵数的连比是 10∶15∶21。进而 求出三
个班各分得树苗的棵数。10
一班分得树苗：414×
二班分得树苗：414× 三班分得树苗：414×10 15 211510 15 212110 15
21(棵)(棵)(棵)
即一班分得树苗 90 棵，二班分得树苗 135 棵，三班分得树苗 189 棵。
75．生产巧安排
甲厂和乙厂是相邻的两个服装厂，并且都生产同规格的成衣，而且甲、 乙两厂
的人员和设备都能全力进行上衣和裤子的生产。但是两厂的特长不 同，3 2
甲厂每月用 的时间生产上衣，用 的时间生产裤子，这样每月可生产905 50套
成衣；乙厂每月用 4 的时间生产上衣，用 3 的时间生产裤子，这样每月7 7
可以生产 1200 套成衣。现在两厂联合，尽量各自发挥特长，那么怎样进行合 理
安排，在原有的条件下增加产量？每月能增产成衣多少套？
分析与解 要合理安排生产，关键在于根据各厂每月生产上衣和裤子所
需时间的比例关系来确定各厂的具体分工。3 2 21 14
甲厂用于生产上衣和裤子的时间之比为 ∶ ，即 ∶ ；乙厂用5 5 35 35
于生产上衣和裤子的时间之比为 4 ∶ 3 ，即 20 ∶ 15 。7 7 35 35
比较两厂生产上衣、裤子所用的时间多少，不难看出，甲厂比乙厂善于 生产裤
子，而乙厂生产上衣的能力更强些。4
现在让乙厂全力生产上衣。由于乙厂用 个月的时间可生产上衣12007
件，那么它一个月可生产上衣1200÷ 4 = 2100(件)。这些上衣由甲厂7
生产裤子来使它们配套。2
甲厂生产900条裤子要用 个月的时间，那么生产2100条裤子要用
52100÷(900÷ 2 ) (月)5 15
也就是说，甲厂用 14 个月的时间生产的2100 条裤子与乙厂生产的2100 件上
15
衣配套，这个数目正好是甲、乙两厂从前每月生产 900 套成衣与生产 1200
套成衣之和。因此，甲厂利用剩余的
联合后增产的成衣数。1 个月的时间生产的成衣数就是两厂151
甲厂每月生产900套成衣， 个月可生产：15900× 115(套)
因此，乙厂全力生产上衣，并由甲厂生产裤子与之配套，甲厂再利用剩 余时间
生产成衣，即在原有的条件下增加的产量，这样每月能增产成衣 60 套。
76．谁先掉进陷阱？
狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛。狐狸每次跳 4．5 米，黄鼠狼每次跳 2.75
米。它们每秒钟都只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔12 3 米设有一8
个陷阱。它们同时起跳，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？
分析与解3
当狐狸掉进陷阱时，它跳过的路程最短应是4．5米和128
倍数： 99 米。2
米的最小公3
当黄鼠狼掉进陷阱时，它跳过的路程最短应是2.75米和128
公倍数： 99 米。4
米的最小99 99
因为 ＜ ，所以黄鼠狼先掉进陷阱。这时黄鼠狼共跳了4 299 ÷2．75 = 9(次)，
4
这时狐狸也跳了 9 次，进而可以求出狐狸跳的路程。99 ÷2.75 = 9 (次)4
4．5×9=40．5(米)即黄鼠狼先掉入陷阱，这时狐狸跳了 40．5 米。
77．何时再相逢？
甲、乙、丙三辆公共汽车分别往返于 A、B，A、C，A、D 之间。A、B 间 的路程
是 4 千米，A、C 间的路程是 6 千米，A、D 间的路程是 8 千米。甲车每 小时
行 40 千米，乙车每小时行 50 千米，丙车每小时行 60 千米。现在三辆车 同
时从 A 站出发往返而行，(途中停车时间不计)那么经过多少小时后三辆 车又在
A 站相遇？
分析与解 甲车在 A、B 之间往返一次要用14 ×2÷40 =
(小时)5
乙车在 A、C 间往返一次要用66×2 ÷50 =
(小时)254
丙车在 A、D间往返一次要用8×2÷60 =
(小时)151 、 6
和 4 这三个分数的分母的最小公倍数为75，于是得出 1 15 ,5 25 156 18 4 20, 。
25 75 15 7515 18 205 75
、 和 的分子的最小公倍数是180。75 75 75
因此，180÷75 = 2 2 (小时)，即2 2 小时后三辆车又在A站相遇。4 ×2÷40
=5 51 (小时)56×2÷50 =8×2÷60 =6
(小时)254 (小时)15
[5，25，15]=75 [15，18，4] =1802180÷75 = 22
(小时)5
即2 小时后三辆车又在A站相遇。5
78．奇特的长跑训练
小明在 400 米长的环形跑道上练习长跑。上午 8 点 20 分开始，小明按逆 时
针方向出发，1 分钟后，小明掉头按顺时针方向跑，又过了 2 分钟，小明 又掉
头按逆时针方向跑。如此，按 1、2、3、4、 分钟掉头往回跑。当小 明按逆时
针方向跑到起点，又恰好该往回跑时，他的练习正好停止。如果小 明每分钟跑
120 米，那么他停止练习时是几点几分？他一共跑了多少米？
分析与解 根据题意，小明在跑 1、3、5、 分钟时，每次按逆时针方 向，比前
一次增加 120 米。他停止练习时，那次是按逆时针方向跑，并离开
起点的距离应是 120 和 400 的最小公倍数 1200 米。于是得出他沿逆时针方向
跑了 1200÷120=10(次)。他停止练习前那次跑了 10×2-1=19(分钟)，他 一共
跑了 1＋2＋3＋ ＋19=190(分钟)，即 3 小时 10 分，由此可求出停 止练习时
的时刻(11 时 30 分)和停止练习时他一共跑了的路程。
[120，400]=1200
1200÷120=10(次)
1+2+3+ +19=190(分钟)
120×190=22800(米)
即小明停止练习时是 11 时 30 分，他一共跑了 22800 米。
79．试着使用代数法
我们快要上中学了，在数学学习上，要完成从算术到代数的过渡。下面 这道题
希望你试着用代数法解答。
为了庆祝“六一”儿童节，班里决定做一幅贴纸画送给低年级同学。中 队长小
明拿 1 元钱买了彩色纸 100 张。其中，绿色纸 3 分 1 张，红色纸 4 分
1 张，白色纸 1 分 7 张。你知道小明买了 3 种颜色的纸各多少张吗？
分析与解 这道题要求的未知量有 3 个，而已知条件又很少，用小学学 过的应
用题解法去解答是很困难的，因此，我们不妨试着用代数法来解答这 道题。
设小明买了 x 张绿纸，y 张红纸，买的白纸是(100-x- y)张。
根据题中的等量关系，列方程13x + 4y +
(100 - x - y) 7
化简得 21x+28y+100-x-y=70027x = 30 -30
化简后的方程含有两个未知数，只要给出 x 一个定值，y 就必有一个定 值与它
相对应。我们应根据分析、推理来确定 x、y 的值。
根据题意，小明买的各色纸的张数都是整数。x是整数，那么 27 y也20
必定是整数。由此可知，y 必定是 20 的倍数。
当 y=20 时，得出 x=3，白纸有 100-20-3=77(张)；当 y=40 或 y 大于
40 时，x 是负数，不符合实际情况。因此，小明买了 3 张绿纸，20 张红纸，
77 张白纸。
80．发奖品
学校举办了数学竞赛。老师准备了 35 支铅笔作为奖品，发给一、二、三 等奖
获得者。原计划发给一等奖获得者每人 6 支，发给二等奖获得者每人 3 支，发
给三等奖获得者每人 2 支，正好发完。后来改为发给一等奖获得者每 人 13 支，
发给二等奖获得者每人 4 支，发给三等奖获得者每人 1 支，也正好 发完。那
么获得二等奖的有多少人？
分析与解 本题有三个未知数，可分别设获一等奖的有 x 人，获二等奖
的有 y 人，获三等奖的有 z 人。根据题意，可列出方程组 6x＋3y＋2z = 35(1)
13x＋4y＋z = 35(2)
(2)×2-(1)，得
20x＋5y=35
4x＋y=7
y＝7-4x(3)
因为 x 与 y 均为自然数，所以 0＜x＜2，故 x 只能取自然数 1，即 x=1。 把
x=1 代入(3)，得
y＝7-4×1＝3 即获二等奖的有 3 人。
81．姐姐、弟弟各几岁？
李老师问明明的姐姐今年几岁了。明明的姐姐说：“4 年前，我的年龄 正好是
弟弟年龄的 3 倍。”李老师又问明明：“你姐姐今年几岁？”明明说： “姐姐
今年的年龄是我今年年龄的 2 倍。”请问今年姐姐、弟弟各几岁？
分析与解 设弟弟今年 x 岁，姐姐今年 2x 岁。根据题意得，
3(x-4)=2x-4
3x-12=2x-4 x=8
2x=2×8=16
即姐姐今年 16 岁，弟弟今年 8 岁。
82．兄弟俩的年龄
今年兄弟俩的年龄加起来是 55 岁，曾经有一年，哥哥的岁数是弟弟今年 的岁
数，那时哥哥的年龄恰好是弟弟年龄的两倍。问哥哥和弟弟今年年龄各 是多少
岁？
分析与解 设哥哥今年 x 岁，则弟弟是(55-x)岁。过去某年哥哥岁数
是 55-x 岁，那是在 x-(55-x)即 2x-55 年前；当时弟弟的年龄是(55-x)-
(2x-55)即 110-3x。列方程为
55-x=2(110-3x) 解得 x=33
55-33=22
即哥哥今年 33 岁，弟弟今年 22 岁。
83．幼儿园的午餐
某幼儿园现有大人和幼儿共 100 人，今天午餐刚好吃了 100 个面包，其 中一
个大人一餐吃四个面包，四个幼儿一餐只吃一个面包。问这 100 个人中， 大人
和幼儿各有多少人？
分析与解
四个幼儿吃一个面包，则一个幼儿吃 1 个面包。4
设有 x 个幼儿，则有 100-x 个大人。列方程1x + 4 (100 - x) 4
解得 x=80
100-80=20
即大人有 20 人，幼儿有 80 人。
84．生产课桌椅
新星木器厂安排 56 名工人生产学生用的课桌椅。每个工人平均每天能生 产课
桌 6 张或椅子 8 把，问应分配多少人生产课桌，多少人生产椅子，才能 使每
天生产出的课桌和椅子刚好配套？
分析与解 如果分别用 x、y 表示生产课桌和生产椅子的人数，那么可列 方程组
x＋y = 56(1) 6x = 8y(2)
由(2)得x =4 y (3)3
把(3)代入(1)，得4y＋y = 563y＝24
把 y=24 代入(3)，得 x=32
∴x=32 y=24 x = 32
∴ y = 24
即应分配 32 人生产课桌，24 人生产椅子。
85．为新生做花
为了欢迎一年级新生入学，六(1)班同学承担了做花的任务。如果每人 平均做 5
朵，则缺少 20 朵，不能完成任务；如果每人平均做 6 朵，则又超过 任务 24 朵。
问参加做花的同学有多少人？做花的任务是多少朵？
分析与解 设参加做花的同学有 x 人，做花的任务是 y 朵。根据题意可
得 5x = y - 20 6x = y＋24 x = 44
解得 y = 240
即参加做花的同学是 44 人，做花的任务是 240 朵。
86．五个少年
五个少年，依次相差一岁，在 1994 年共同发奋学习，到公元 2018 年时， 他
们都在科学上做出了很大贡献。那时他们的年龄也增长了，他们五人在公 元
2018 年的年龄之和正好是 1994 年的年龄之和的 3 倍。问在 1994 年时他们
的年龄各是多少？
分析与解 设年龄为中间数的一个少年在 1994 年是 x 岁，则其余四人的 年龄
分别为 x-2 岁、x-1 岁、x＋1 岁、x＋2 岁。
在 1994 年五人年龄之和为
(x-2)＋(x-1)＋x＋(x＋1)＋(x＋2)=5x
2018 年五人年龄之和为
5x＋24×5=5(x＋24)
因为这五个少年 2018 年的年龄之和是 1994 年年龄之和的 3 倍，所以
5(x＋24)=3×5x
解得 x=12
因此，这五个少年的年龄分别为 10 岁、11 岁、12 岁、13 岁和 14 岁。
87．学雷锋
小丽和小刚两个小朋友向雷锋叔叔学习，准备把零用钱攒起来，以后寄 给希望
工程，帮助贫困地区的小朋友上学。小丽现有 5 元钱，她计划每年节 约 11 元；
小刚现有 3 元，他打算每年节约 12 元。问他们俩几年后钱数能一 样多吗？如
果他们俩准备一共凑足 100 元，问需要几年？
分析与解 设 x 年后，他们攒的钱数一样多，则有
5＋11x=3＋12x
解得 x=2
设要凑足 100 元，需要 y 年，则有
(5＋11y)＋(3＋12y)=100 解得 y=4
即 2 年后他们俩的钱数一样多，他们俩一共凑足 100 元，需要 4 年。
88．白鹅和山羊
小勇跟爷爷去赶集，看见集市的一角有 44 只白鹅和山羊，它们共有 100 条腿。
请问白鹅和山羊各有几只？
分析与解 设白鹅为 x 只，山羊则为(44-x)只。依题意可列方程
2x＋4(44-x)=100 解得 x=38
即有白鹅 38 只，山羊 44-38=6(只)。
89．两盘苹果
有大小两盘苹果。如果从大盘中拿出一个苹果放在小盘里，两盘苹果就 一样多；
如果从小盘中拿出一个苹果放在大盘里，大盘苹果就是小盘的 3 倍。 问大小两
盘苹果各有几个？
分析与解 设大盘原来有 x 个苹果，小盘原来有 y 个苹果。依题意得 x - 1 = y
＋1 x＋1 = 3(y - 1) x = 5
解得 y = 3
即大盘原来有 5 个苹果，小盘原来有 3 个苹果。
90．师徒加工零件
师徒两人加工一批零件，徒弟先加工 240 个，然后师傅和徒弟共同加工。
完成任务时，师傅加工的零件比这批零件的 3 少40个。已知师徒工作效率8
的比是 5∶3，问这批零件有多少个？
分析与解 设这批零件有 x 个。5 (x - 240 ) 8 85x - 150 =85 33x - 408
( - )x = 150 - 408 8x = 440
即这批零件有 440 个。
91．王医生出诊
王医生为一位山里人出诊，他下午 1 时离开诊所，先走了一段平路，然 后爬上
了半山腰，给那里的一位病人看病。半小时后，王医生沿原路下山回 诊所，下
午 3 时半回到诊所。已知他在平路步行的平均速度是每小时 4 千米， 上山每
小时 3 千米，下山每小时 6 千米。请问王医生出诊共走了多少路？
分析与解 设平路有 x 千米，山路有 y 千米，依题意得2x 2y y
＋ ＋ 4 3 66x 4y 2y12
解得 x＋y=4
4×2=8(千米) 即王医生出诊共走了 8 千米。
92．规定时间
一个通讯员骑自行车需要在规定时间内把信件送到某地，每小时走 15 千米可以
早到 24 分钟，每小时走 12 千米就要迟到 15 分钟。问原规定时间是 多少？
他去某地的路程有多远？
分析与解 设原规定时间为 x 分钟。可列出以下两种走法： 速度 时间 路程
(1)每分钟走 0.25 千米 (x-24)分钟 0.25(x-24)千米
(2)每分钟走 0.2 千米 (x＋15)分钟 0.2(x＋15)千米 由于两种走法的路程相
同，可列方程：
0.25(x-24)=0.2(x＋15) 解得 x=180
0.2(x＋15)=0.2×(180＋15)=39
因此，原规定时间为 180 分钟，即 3 小时，到某地路程为 39 千米。
93．至少有几个人做的数学题一样多？
9 月 1 日开学那天，数学课代表向李老师汇报说：“我们六年级 100 个 同学，
在暑假里一共做了 1600 道数学题。”李老师听了非常高兴，立刻表扬 了他们。
接着李老师问课代表：“你知道这 100 个同学中，至少有几个人做 的数学题一
样多吗？”课代表答不出来。同学们，你能帮助课代表解答这个 问题吗？
分析与解 把六年级的 100 人，按 3 人一组来分，可以分成 33 组还剩下
1 人。假设第一组 3 个人都没做题，也就是每个人都做了 0 道题；第二组每 人
都做 1 道题；第三组每人都做 2 道题； 这样第 33 组每人都做 32 道题。 剩
下的 1 个人要是和前面的 99 人做的题数不一样，那么至少也要做 33 道题。
这样 100 人共做了：
3×(0+1+2+3+ +31+32)+33=1617(题)
超过了 1600 题。要不超过 1600 题，必须有 1 个同学或更多的同学少做题， 合
起来一共要少做 17 道题。其实只要有 1 个同学少做题，那么这个同学就可 以
归到做题少的那组去。这样一来，那个组就会有 4 个人做的题数一样多。 这就
是说，这 100 个同学中，至少有 4 个人做的数学题一样多。
94．六(1)班有多少人？
六(1)班在期末考试中，数学得 100 分的有 10 人，英语得 100 分的有
12 人，这两门功课都得 100 分的有 3 人，两门功课都未得 100 分的有 26 个。
那么六(1)班有学生多少人？
分析与解 由于数学得 100 分的有 10 人，英语得 100 分的有 12 人，那 么数
学与英语两门功课中至少有一门得 100 分的人数应是 10+12-3=19(人)， 这是
因为在 10+12=22(人)中，有 3 人是两门都得 100 分的，我们重复算了， 应从
22 人中减去 3 人。
所以，六(1)班的人数是数学与英语两门功课中至少有一门得 100 分的 人数与
两门都没得 100 分的人数之和：19+26=45(人)。
95．至少有几个学生四项活动都会？
六(2)班有学生 50 人，其中 35 人会游泳，38 人会骑车，40 人会溜冰，
46 人会打乒乓球。那么这班至少有多少个学生，以上四项活动都会？
分析与解 这个班不会游泳的有 50-35=15(人)；不会骑车的有 50-38=12
(人)；不会溜冰的有 50-40=10(人)；不会打乒乓球的有 50-46=4(人)。 所以有
一个项目不会的人最多是 15＋12＋10＋4=41(人)，因此四项运动都 会的至少有
50-41=9(人)。
96．五种颜色的铅笔
有红、黄、蓝、绿、白五种颜色的铅笔，每两种颜色的铅笔为一组，最 多可以
搭配成不重复的几组？
分析与解 根据题意，红色铅笔分别与黄、蓝、绿、白四种颜色的铅笔 搭配，有
不重复的 4 组；黄色铅笔分别与蓝、绿、白三种颜色的铅笔搭配， 有不重复的
3 组；蓝色铅笔分别与绿、白二种颜色的铅笔搭配，有不重复的
2 组；绿色铅笔与白色铅笔搭配，有不重复的 1 组。所以最多可以搭配成不 重
复的 4＋3＋2＋1=10 组。
97．最少有几个座位？
有一条公共汽车的行车路线，除去起始站和终点站外，中途有 9 个车站。 一辆
公共汽车从起始站开始上乘客，除终点站外，每一站上车的乘客中，都 恰好各
有一位乘客从这一站到以后的每一站。为了使每位乘客都有座位，这 辆公共汽
车至少要有多少个座位？
分析与解中途有 9 个车站，加上终点站共 10 个车站。根据题意，在起始
站上车的有 10 个人，在这 10 人中以后每站都有 1 人下车；在第二站上车的
9 人，在这 9 人中，以后每站下去 1 人。在起始站上车的有 1 人在第二站下
车，于是在第二站至第三站之间汽车上实有 10＋9-1=18(人)。这样推算下 去，
列表如下：站号11上车人数1下车人数
车上实有人数1下车的人比上车的 人多，车上人数减 少
98．将军饮马
古希腊一位将军要从 A 地出发到河边(如下图 MN)去饮马，然后再回到 驻地 B。
问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？
图 35
分析与解 这是著名的“将军饮马问题”。在河边饮马的地点有许多处， 把这些
地点与 A、B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从 A 地到饮马地点， 再回
到 B 地的路程之和。现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短 的那个
点来。
图 36
在图上过 B 点作河边 MN 的垂线，垂足为 C，延长 BC 到 B′，B′是 B 地 对
于河边 MN 的对称点；连结 AB′，交河边 MN 于 D，那么 D 点就是题目所求 的
饮马地点。
为什么饮马的地点选择在 D 点能使路程最短呢？因为 BD=B′D，AD与 BD
的长度之和就是 AD 与 DB′的长度之和，即是 AB′的长度；而选择河边的任 何
其他点，如 E，路程 AE+EB=AE+EB′，由于 A 和 B′两点的连线中，线段 AB
′是最短的，所以选择 D 点时路程要短于选择 E 点时的路程。
99．牛顿与方程
阿基米德、牛顿和高斯被誉为历史上最伟大的三位数学家。牛顿是 17 世纪英国
著名科学家，他非常喜欢用方程解题，并常常出一些方程问题。下 面的一道题
就是选自牛顿的名著《一般算术》。为了便于理解，我们把长度 单位改为现行的
通用单位。
“邮递员 A 和 B 相距 59 千米，相向而行。A 两小时走了 7 千米，B 三小
时走了 8 千米，而 B 比 A 晚出发一小时。求 A 在遇到 B 时走了多少千米？”
分析与解
设A在遇到B时走了x＋ 7 千米，其中 7 是A比B早出发1小时所走的路2 2
程。
此时，B走了59 - (x＋ 7 ) 千米。2 2
两人相向而行，相遇时所用的时间一样，可列出方程：x÷ 7 = (55 12 2- x)÷
83
整理，得37 333 x =56 16x = 31.57x＋ 2
即 A 在遇到 B 时走了 35 千米。
100．有名的牛吃草的问题
牛顿的名著《一般算术》中，还编有一道很有名的题目，即牛在牧场上 吃草的
题目，以后人们就把这种应用题叫做牛顿问题。
“有一片牧场的草，如果放牧 27 头牛，则 6 个星期可以把草吃光；如果 放牧
23 头牛，则 9 个星期可以把草吃光；如果放牧 21 头牛，问几个星期可 以把
草吃光？”
解答这道题时，我们假定牧草上的草各处都一样密，草长得一样快，并 且每头
牛每星期的吃草量也相同。
你会解这道题吗？
分析与解 在牧场上放牛，牛不仅要吃掉牧场上原有的草，还要吃掉牧 场上新长
出的草。因此解答这道题的关键是要知道牧场上原有的牧草量和每 星期草的生
长量。
设每头牛每星期的吃草量为 1。
27 头牛 6 个星期的吃草量为 27×6=162，这既包括牧场上原有的草，也 包括 6
个星期长的草。
23 头牛 9 个星期的吃草量为 23×9= 207，这既包括牧场上原有的草，
也包括 9 个星期长的草。
因为牧场上原有的草量一定，所以上面两式的差 207-162=45 正好是 9 个星期
生长的草量与 6 个星期生长的草量的差。由此可以求出每星期草的生 长量是
45÷(9-6)=15。
牧场上原有的草量是 162-15×6=72，或 207-15×9= 72。
前面已假定每头牛每星期的吃草量为 1，而每星期新长的草量为 15，因 此新长
出的草可供 15 头牛吃。今要放牧 21 头牛，还余下 21-5=6 头牛要吃牧 场上
原有的草，这牧场上原有的草量够 6 头牛吃几个星期，就是 21 头牛吃完 牧场
上草的时间。72÷6=12(星期)。
也就是说，放牧 21 头牛，12 个星期可以把牧场上的草吃光。
苇茎的英文译语怎么说-能在家里做的工作
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