26.立体图形的体积
知识要点梳理
一、体积和容积
1.体积:物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2.容积:容器所能容纳物体的体积叫做容积。容积单位一般用体积单位。当容器所容纳的物体是液体时,常用升、毫升作单位。(注:容积的计算方法跟体积的计算方法相同,但要从容器的里面量。)
二、立体图形的体积计算公式
名称
图形
字母意义
体积计算公式
长方体
:长
b:宽
h:高
正方体
:棱长
:底面积
V;体积
圆柱
r:底面半径
h:高
C:底面周长
圆锥
r:底面半径
h:高
考点精讲分析
典例精讲
考点1方体和正方体的体积
【例1】 在一个长、宽、高分别是30厘米、25厘米、60厘米的长方体的箱子里,最多能装进棱长为1分米的立方体(  )个。
  A.45   B.30   C.36   D.72
精析】 把这个长方体箱子的长、宽、高分别换算成分米是3分米、2.5分米、6分米,这个箱子一层长可以装进3个,宽只能装进2个棱长1分米的立方体,高可以装进6个,因此只能装进(3×2×6)=36个。
答案】 C 
归纳总结】 注意,此题容易出现的错误是不考虑实际,用这个箱子的容积除以每个立方体的体积。 
考点2圆柱的体积
【例2】 下图是一根空心钢管,求它所用钢材的体积。
精析】 此题考查空心圆柱体积的求法。根据空心圆柱的体积=大圆柱的体积-小圆柱的体积计算即可。
【答案】 3.14×[(1.22)2-(0.62)2]×2.5=2.1195(立方米)
    答:它所用钢材的体积是2.1195立方米。
例3】 有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈),容积是20升。瓶中装有一些饮料,正放时饮料高度为20cm,倒放时空余部分高度为5cm,问瓶中现有饮料(   )升。
【精析】 正放和倒放时,瓶中液体的体积不变,即空余部分体积相等。
【答案】 20×[20÷(20+5)]=16(升)答:瓶中现有饮料16升。 
归纳总结】 无论是正放还是倒放瓶子的饮料和瓶子的体积不变,所以它们的空余部分总是不变的。 
考点2  圆锥的体积
【例4】 一个圆锥形沙堆,底面积是8平方米,高是1.5米。用这堆沙在5米宽的路上铺2厘米厚,能铺多少米?
【精析】 沙子都铺在路面上后的形状,是一个宽5米、厚2厘米的近似长方体。
【答案】13×8×1.5÷(2÷100)÷5=40(米)
    答:能铺40米。 
归纳总结】 这个长方体的体积和圆锥形沙堆的体积相等。
名题精析
【例】(西安某工大附中入学)某茶厂要将长、宽、高分别为20cm、20cm、10cm的茶叶盒装入棱长为50cm的正方体纸箱中,如图所示。再用一辆厢式小货车将装有茶叶盒的正方体纸箱运往外地销售。已知货车车厢内壁长、宽、高分别为5.7m、2m、2m,请问这辆货车最多能运多少个茶叶盒?
【精析】 先考虑沿“高”放,50÷10=5;再考虑沿“长”放,纸箱棱长50cm,放2个20cm后
还剩10cm,以茶叶盒“10cm、20cm”的侧面为底,还可以放1个,侧放共4个;最后考虑沿“宽”放的情况,同样放两个20cm后还剩10cm,以“10cm、20cm”为底,还可以放1个,侧放共4个,所以每个纸箱一共可放5×2×2+4+4=28(个),因为货车车厢内壁长5.5米,即550厘米,所以横着放550÷50=11(箱),车厢宽2米,即200厘米,所以能放200÷50=4(箱),因此总共放4×4×11=176(箱);总共放176×28=4928(盒)。
答案】 竖着可以放50÷10=5(层)每个纸箱装5×2×2+4+4=28(个)5.5米=550厘米,2米=200厘米550÷50=11(箱)200÷50=4(箱)4×4×11=176(箱)共装茶叶盒176×28=4928(个)答:这辆货车最多能运4928个茶叶盒。 
【归纳总结】 此题较复杂,关键在于求出每箱装入几盒,以及装入车厢每层的箱数和层数
毕业升学训练
一、填空题
1.一个长方体木盒长5厘米,宽3厘米,高4厘米,它的体积是( )立方厘米,容积是( )
立方厘米(忽略木板厚度)。
2.一个正方体的棱长总和是84分米,则它的体积是(  )立方分米,将它铸成一个底面积是49平方分米的圆锥,这个圆锥的高是( )分米。
3.表面积是54平方厘米的正方体,它的体积是(  )立方厘米。
4.一个圆锥的底面周长是18.84分米,高是4分米,它的体积是(  )立方分米。
5.一个等腰直角三角形的直角边长为9厘米,以它的一条直角边为轴旋转一周,得到的立体图形的体积是(    )立方厘米。
6.一个圆柱的底面周长是18.84厘米,高8厘米。把它削成一个最大的圆锥体,圆锥的体积是(    )立方厘米。
7.将一根长4米的圆柱体木料锯成2段,表面积增加60平方分米。这根木料的体积是(    )立方分米。
8.等底等高的圆柱和圆锥的体积之和是180立方米,则圆柱的体积是(    )立方米,圆锥的
体积是(  )立方米。
9.用一张边长是18.84厘米的正方形铁皮,围成一个圆柱体,这个圆柱的体积是(  )立方厘米。
10.一个圆锥的体积是62.4立方厘米,它的体积是另一个圆锥的4倍,如果另一个圆锥的高是2.5厘米,另一个圆锥的底面积是(    )平方厘米。
11.一个圆柱体,把它的高截短3厘米,它的表面积就减少94.2平方厘米,它的体积会减少(    )立方厘米。
12.自来水管的内直径是2厘米,水管内水的流速是每秒8厘米。一位同学去水池洗手,走时忘记关掉水龙头,4分钟浪费(      )升水。
13.一个圆柱和一个圆锥,圆柱与圆锥底面直径的比是2∶3,体积的比是3∶2,圆柱与圆锥高的比是( )。
14.如图,酒瓶中装有一些酒,倒进一只酒杯中,酒杯口的直径是酒瓶的一半,共能倒满( )杯。
二、选择题
1.一个圆锥的体积是12立方厘米,底面积是4平方厘米,高是( )厘米。

更多推荐

体积,圆柱,圆锥,容积,正方体