数学广角——数与形
一、教学内容：人教版六年级上册第八单元P107例1。
二、教学目标：
1.使学生通过自主探究发现图形中隐藏着的数的规律，并会应用所发现的规律。
2.让学生体会和掌握数形结合、归纳推理等基本的数学思想，积累数学活动经验。
3.介绍华罗庚、毕达哥拉斯等数学史实资料，让学生体会数学的魅力和研究的乐趣。
三、教学重难点：
探究发现图形中隐藏着的数的规律，并会应用所发现的规律。
四、教学准备：课件、各种颜色的小正方形。
五、教学过程：
一、唤起与生成
师：提到“数学”，你会想到什么？
生答
师：如果把刚才同学们说的内容分类，一类可称为“数”，另一类可称为“形”，“数”和“形”是数学中两类最主要的研究对象。那么，数与形之间有没有关系呢？
师：有的同学凭着感觉认为有，有的同学从来没有思考过这个问题，看看通过今天这节课的学习，你们有没有新的认识。下面就让我们一起研究“数与形”。（板书课题）
师：我们的研究先从数开始，1、3、5......接下来是几？再往下是几？有什么规律？
生答
师：对，这组数的规律是每次增加2，也可以说他们都是连续的奇数。师：有同学也许会想这样的规律对于我们六年级的同学来说太简单了。那下面咱就来点有挑战性的
课件出示：从1开始的n个连续奇数相加的和是多少？
二、探究与解决
从1开始的n个连续奇数相加的和是多少？
师：n个是几个？
生：无数个。
师：这个n代表多少？可以代表300吗？
生：可以。
师：有可能是300个，有没有可能是30个？有没有可能是3个？也就是说，它的个数是不固定的。那它的个数不固定，它的和呢？
生：也不固定。
师：可见这个和必定和这个n有关系。那它到底有什么联系呢？怎么才能知道它有什么联系？
师：你有方法吗？想一想你有没有好的思路？
生：可以自己先算一算。
师：怎么算？
生：先算出10个，然后再进行推算。
师：真好。他的意思是把n先假定在10个以内，对吗？很好的策略。复杂的问题往往要从简单的开始。那我们就听你的，把n的个数假定在10个以内，举一些例子来看一看他们有什么联系。几个最简单？生：1个。
师：1个最简单，那我们来看。如果有1个这样的奇数那算式也只能是1，和也是1。
师：如果有两个这样的奇数相加，那算式应该是什么样子的？
生：1+3
师：对吗？和呢？
生：4
师：它们是不是有联系？继续。3个。
生：1+3+5
师：同意吗？和呢？
生：9
师：再来一个。
生：1+3+5+7
师：同意吗？和是？
生：16
师：哎！1个和是1,2个和是4,3个和是9,4个和是16。你有什么发现？
师：先在小组内说说你的发现。
小组交流汇报
师：那下面的这些算式是不是都有这个规律？请同学们任选一个验证一下。
学生验证后，汇报交流。
师：这些算式是不是都有这个规律？为了便于观察，我们可以将算式先隐藏起来，大家看一看，确认一下，有这个规律吗？
师：按照刚才这个同学的说法，当有1个这样的奇数相加的时候，它的和就是1×1；也就是1的平方；当有2个这样的奇数相加，它的和4就是2的平方；9呢？3的平方；16呢？4的平方；25呢？5的平方。依次这样下去，看来真的有这样的规律。以此类推，如果有20个这样的连续奇数相加，你觉得它的和应该是多少？
生：400
师：怎么算的？
生：20×20=400
师：那如果有100个这样的连续奇数的和应该是多少？
生：100×100=10000.
师：以此类推，如果有n个这样连续奇数相加的和应该是多少？生：n的平方。
师：齐读。
生：从1开始的n个连续奇数相加的和是n的平方。
师：这个规律有意思吗？从1开始的几个连续奇数相加，它的和竟然可以用它的个数的平方来算。你觉得奇怪吗？你不奇怪能不能来解释一下？为什么这样连续奇数相加的和可以用个数的平方来算？
师：的确不太好解释，对吗？那该怎么办？我国伟大的数学家华罗庚先生说过：“不懂就画图”。
师：我先给大家做个示范，哪个最简单？
生：1
师：我用1个红色的正方形来代表1，1行而且1个，1乘1还是1，那么1+3应该怎么表示？
小组长拿出小组内的正方形，拼一拼。
小组活动
全班交流（选择拼成其他图形和正方形的）
师：我们先来看这两幅图，能表示1+3吗？1在哪？3呢？这两幅图都能表示1+3，关键是我们不仅要表示出1+3，还要解释为什么能用2×2来表示，哪幅图更合适？
师：2×2在哪里？
师：看来拼成正方形就可以表示1+3和2×2，那1+3+5又该怎么拼？你来试试看。
小组活动（同时找一生到黑板排列）
师：大家都拼成正方形了吗？我看到大家拼的正方形的样子都不大一样，颜色排列不同，这位同学排的好不好？好在哪里？
师：对，虽然都拼成了正方形，但我们数学要讲究顺序、规律、条理。这样，你能解释为什么1+3+5能用3²来算吗？
生答
师：1+3+5+7，你会拼吗？可是方块已经没有了，想一想，如果在这

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