正态分布的应用
1、用Z的公式将原始分数转换成标准分数
条件是原始分数的分布是正态的。
例如：已知某班期末考试中语文的平均分为76，标准差为10，数学的平均分为83，标准差为15。某学生在这次期末考试的语文成绩为79，数学成绩为87，问该生这两科成绩哪一个更好一些？
答：该考生的语文成绩更好一些。
2、确定录用分数线
在选拔兴或竞赛性的考试中，录取或授奖的人数（或比赛）往往是事先确定的。这就是用标准分数的作用发挥。假定为正态分布，可将录取或授奖的人数比率作为正态分布中分线右侧，即上端的面积，由此找出相应标准分数Z值，然后根据Z公式计算出原始分数X.
例如：在某年的高考中某省的平均分为420，标准差为100，分数呈正态分布，某考生得了45
6分。设当年的该省的录取率为40%，问该生的成绩是否上线？
解：根据Z分数的计算公式，得
当P=0.40时，0.5-0.40=0.10               
然后查附表，找到对应的Z=0.25    因为0.36>0.25,                    所以该考生上线了。
又如：某年某市参加数学竞赛的学生有850人，考试的平均分为68，标准差为9。而这次计划只给最优秀的5%颁奖，问授奖分数线为多少？某个考生在这次考试中得了76分，问这位考生是否获奖？
解：根据0.05的P值计算差表，得Z=1.65
因为82.85>76,    所以该考生不可能获奖。
例.某区拟对参加数学竞赛的2000人中的前500人予以奖励，考试的平均分数为75分，标准差为9分，问授奖的分数线是多少？（授奖分数线为81.03分。）
   
例：某考试2500人参加，成绩服从正态分布，μ＝80　σ2＝25，求分数在88分以上的人数。
解:
n＝N·P＝2500×0.0548＝137（人）
例：某招生考试，选拔２０％，考生成绩服从正态分布，μ＝70　σ＝10，录取标准应划在哪里？
解
Z＝0.84  　X＝10×0.84+70＝78.4
分数线为78.4
例：某地13岁女孩118人的身高(cm)资料，估计该地13岁正常女孩身高在135厘米以下及155厘米以上者各占正常女孩总人数的百分比。
身高（X）～N(μ，σ2)，但μ和σ未知，只知来自该总体的样本的身高均数=144.29(cm)和标准差s=5.41(cm)，由于样本含量n=118很大，所以可以用和s估计μ和σ来计算u值。
身高（X）小于135(cm)的概率为:
身高（X）大于155(cm)的概率为：
该地13岁正常女孩身高在135厘米以下者占正常女孩总人数的4.272%，身高在155厘米以上者占正常女孩总人数的2.385%。
3、确定等级评定的人数                   
因为人的许多属性为正态分布，因此在教育生活中，许多情况下，用正态分布来计算各等级的人数。
例如：假定某年级有250人，我们要对这些人某种能力作一等级评定，假定这种能力为正态分布，且准备划分为五个等级：甲乙丙丁戊，问各个等级各有多少人？
解：首先要把正态分布基线平均分一下。因为这里要分为5个等级，因此各等级所包含区间为6除以5，等于1.2个标准差。然后确定每一等级的取值范围。通常我们从最高开始，最高等级为甲，应该从Z=3开始往下，则3减去1.2等于1.8，甲等就分布在这个区间1.8~3；往下顺延，得乙所在区间为0.6~1.8；丙再往下顺延1.2个标准差，得到丙的所在区间为-0.6~0.6；根据对称性，得丁的区间为-1.8~-0.6，戊的区间为-3~-1.8。
再次，要查正态表。计算各个区间的面积，即人数比率。
要查两个定点之间的面积为多少。
（1）查Z=0到Z=1.8的面积，为0.46407，用0.5减去0.46407得到0.03593，即为甲的区间面积。
（2）查Z=0到Z=0.6的面积，为0.22575，这时用0.46407减去0.22575得0.22832，即为乙的区间面积。
（3）0.22575乘以2得0.45150，即为丙的区间面积。
（4）根据对称性得到丁的区间面积为0.22832，戊的区间面积为0.03593。
最后，将各个等级的比率乘以总人数，即得到各个等级的人数。
计算得甲等为9人，乙等为60人，丙等为112人，丁等为60人，戊等为9人。
答：甲乙丙丁戊五个等级依次有9、60、112、60、9人。
4、品质评定数量化   
一般在教育中可以综合各个老师对某一个学生的评定。
   
5、独立样本平均数差异的显著性检验  综合应用
例1：某省在高考后，为了分析男、女考生对语文学习上的差异，随机抽取了各20名男、女考生的语文成绩，并且计算得到男生平均成绩=54.6，标准差=16.9，女生的平均成绩=59.7，标准差=10.4，试分析男、女考生语文高考成绩是否有显著差异？
解：先进行方差齐性检验：               
1．提出假设
2．计算检验的统计量
3．统计决断查附表3，得F(19,19)0.05=2.16  F=2.64>F(19,19)0.05=2.16，p<0.05，即方差不齐性。
然后，进行平均数差异的显著性检验：
1．提出假设
2．计算检验的统计量
3．确定检验形式  双侧检验
4．统计决断  1.12<2.093，P>0.05
所以，要保留零假设，即男、女考生语文高考成绩无显著差异。
例2：为了对某门课的教学方法进行改革，某大学对各方面情况相似的两个班进行教改实验，甲班32人，采用教师面授的教学方法，乙班25人，采用教师讲授要点，学生讨论的方法。一学期后，用统一试卷对两个班学生进行测验，得到以下结果：甲班平均成绩=80.3，标准差=11.9，乙班平均成绩=86.7，标准差=10.2，试问两种教学方法的效果是否有显著性差异？
解：先进行方差齐性检验：
1．提出假设
2．计算检验的统计量
3．统计决断查附表3，得F(31,24)0.05=1.94    F=1.35<F(31,24)0.05=1.94，p>0.05，即方差齐性。
然后，进行平均数差异的显著性检验：
1．提出假设2．计算检验的统计量3．确定检验形式  双侧检验
4．统计决断  当df=55时，t=2.105>2.009，P<0.05
所以，要在0.05的显著性水平上零假设，即两种教学方法的效果有显著性差异。
例3为了研究一种新语文教学方法是否能提高学生语文学习成绩，采用了实验方法进行研究，选择了学习情况基本相同的两个班分别作为实验班与对照班，实验结果如下：
班别 人数 平均分 标准差 教学方法
实验班 42   80  10   新教学方法
对照班 44   75    11   传统教学方法
试分析新语文教学方法是否比传统教学方法在提高学生学习成绩更有效？（双总体Z体验）
原假设H0:μ1≤μ2，备择假设：μ1>μ2.    n1=42,x1ˉ=80,ο1=10,    n2=44,x2ˉ=75,ο2=11,
取显著性水平为0.05，得拒绝域为z≥z0.05=1.645,    Z=(80-75)/√(10^2/42+11^2/44)=2.207>1.645,
拒绝原假设H0,即可以认为新方法显著有效。
例9.某市全体7岁男童体重平均数为21.61kg，标准差为2.21kg，某小学70个7岁男童体重的平均数为22.9kg。问该校7岁男童体重与全市是否一样？
（ |Z|=4.88**＞2.58=Z0.01P＜0.01，在0.01显著性水平上拒绝H0，接受H1，即该校7岁男童体重与全市有极其显著的差异。
一．总体平均数的显著性检验
例１：某小学历届毕业生汉语拼音测验平均分数为66分，标准差为11.7。现以同样的试题测验应届毕业生（假定应届与历届毕业生条件基本相同），并从中随机抽18份试卷，算得平均分为69分，问该校应届与历届毕业生汉语拼音测验成绩是否一样？
♦ ⑴. 提出假设
  H0：μ＝μ0，  H1：μ≠μ0
或 H0：μ＝66，    H1：μ≠66
♦ ⑵.选择检验统计量并计算统计量的值
♦ 学生汉语拼音成绩可以假定是从正态总体中抽出的随机样本。总体标准差已知，样本统计量的抽样分布服从正态，以Z为检验统计量计算
                                         
♦ ⑶.确定显著性水平和检验形式
显著性水平为α=0.05，双侧检验
♦ ⑷.做出统计结论
♦ 查表得Zα=1.96，而计算得到的Z=1.09
♦ |Z|＜Ｚα，则概率P＞0.05
♦ 差异不显著,应在0.05显著性水平接受零假设
♦ 结论:该校应届毕业生与历届毕业生汉语拼音测验成绩一致，没有显著差异。
例.某次数学竞赛，甲校6名男同学的成绩为69，73，84，91，86和76；13个女同学的得分为90，62，58，74，69，85，87，92，60，76，81，84，77。问男女同学数学竞赛成绩是否有显著性差异？
（查表知:F(12,5)0.05=4.68＞1.297=F ∴保留H0,拒绝H1,方差齐性.）
      例.某区某年高考化学平均分数为72.4，标准差为12.6，该区某校28名学生此次考试的平均分数为74.7。问该校此次考试成绩是否高于全区平均水平？
(Z|=0.97＜1.65=Z0.05，P＞0.05，保留H0，拒绝H1，即该校成绩并不高于全区平均水平。
例2：某市高中入学考试数学平均分数为68分，标准差为8.6。其中某所中学参加此次考试的46名学生的平均分数为63。过去的资料表明，该校数学成绩低于全市平均水平，问此次考试该校数学平均分数是否仍显著低于全市的平均分数？Ｚ＝-3.94
例３：某区初三英语统一测验平均分数为65，该区某校20份试卷的平均分数为69.8，标准差为9.234。问该校初三年级英语平均分数与全区是否一样？
t＝2.266
例４：某校上一届初一学生自学能力平均分数为38，这一届初一24个学生自学能力平均分数为42，标准差为5.7，假定这一届初一学生的学习条件与上一届相同，试问这一届初一学生的自学能力是否高于上一届？t＝3.365
例5：某年高考某市数学平均分数为60，现从参加此次考试的文科学生中，随机抽取94份试卷，算得平均分数为58，标准差为9.2，问文科学生的数学成绩与全市考生是否相同？Ｚ
＝-2.11

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