植树问题及间隔的应用
【知识点与方法】
间隔，我们肯定不陌生，在我们生活中很常见。在数学里同样有很多关于间隔的问题，奥数里最常见的就是——植树、锯木头和时钟等间隔问题。我们先从生活中最常见的间隔——植树问题讨论。
植树问题分为两大类：封闭线路植树与不封闭线路的植树。我们可以通过画图来总结一下：（同学们可以举一反三，其实像很多关于插旗的问题和植树是相同的道理）
总长＝间距×间隔数；
间隔数=总长÷间距；
1.封闭线路（圆形、椭圆形）植树：棵树=间隔数
2.不封闭线路植树：
①路的两端都植树：棵树=间隔数+1；
②路的一端植树，另一端不植树：棵树=间隔数；
③路的两端都不植树：棵数=间隔数-1
锯木问题： 
段数＝次数＋1；
次数＝段数－1
总时间＝每次时间×次数
方阵问题：
方阵的基本特点是：
① 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少2。
② 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：
四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]×4；
每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4＋1。
整个方阵的总数目是：边长×边长
锯木头、敲时钟、爬楼梯问题：锯木头的问题一定要注意，所用的时间与几段木头是没有关系的，而是与锯几次有关系；同样关于时钟上的间隔问题，也是与敲几次钟没有关系，而是几次敲钟之间的间隔有关系。
【例题精选】
例1.从公园通往湖心的小岛有一条长900米的小路，在小路的两侧，从头到尾每隔15米栽1棵树，需要多少棵数？
分析:典型的植树问题,而且是不封闭线路,总长为900米,间隔是15米,所以段数=900÷15=60,这个时候注意,题目说的是从头到尾都栽树,所以小路一侧的树为60+1=61,两侧就是61×2=122棵
解：间隔数:900÷15=60 
一侧栽的棵树：60+1=61（棵）
两侧栽的棵树：61×2=122（棵）
课堂练习题：
有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？
例2.有12名小学生站成一排，要求在每两名小学生中间放2盆花，需要摆放几盆？
分析:如果把每2名小学生开成1段的话,那么12名小学生一共有11个间隔,也就是说可以看成11段,每一段放2盆花,就应该放2×11=22盆花。
解：（12-1）×2=22（盆）
课堂练习题：
1.一段长200厘米的木条，要锯成10厘米长的小段，需要锯几次？
2.蚂蚁爬树枝，每上一节需要10秒钟，问从第1节爬到第13节需要多少分钟？
例3-1.某城市举行马拉松长跑比赛，从体育馆出发，最后再回到体育馆，全长42千米，沿途等距离设茶水站7个，求每两个相邻的茶水站的距离？
分析 求两个相邻的茶水站的距离，实际上是植树问题中的间距，间距=总长÷间隔数，而从体育馆出发，最后再回到体育馆，这属于植树中的封闭类，间隔数=茶水站的个数。
解：42÷7=6（千米）
例3-2. 马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？
  分析 张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了；只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度.
  解：5分钟汽车共走了：
  9×（501-1）=4500（米），
  汽车每分钟走：4500÷5=900（米），
  汽车每小时走：
  900×60=54000（米）=54（千米）
  列综合式：
  9×（501-1）÷5×60÷1000=54（千米）
  答：汽车每小时行54千米。
课堂练习题：
1．一个圆形池塘，它的周长是150米，每隔3米栽种一棵树。问：共需树苗多少株？
2. 有一正方形操场，每边都栽种17棵树，四个角各种1棵，共种树多少棵？
3.有一块三角形地，每边都栽种3棵树，共种树多少棵？
例4.马路的一边，每隔8米一棵树，小明乘汽车从学校回家，从看到第1棵树起到第153棵树止共花了4分钟，而且小明从学校到家共坐了半小时的汽车。问小明的家距离学校有多远？
分析:题目综合了"植树(间隔)问题"和"行程问题",要求出路程,必须知道速度和时间,时间是半小时也就是30分钟,关键就是要知道速度了,根据题目的描述,本题属于非封闭线路上的间隔(植树)问题.段数=树数-1，即153-1=152,汽车4分钟走的路程就是152×8=1216米,每分钟走的路程也就是速度为：1216÷4=304米/分.小明家到学校的距离为304×30=9120米。
解：（153-1）×8=1216（米） 1216÷4=304米/分  304×30=9120米。
综合算式：（153-1）×8÷4×30=9120（米）
课堂练习题：
在一条路上按相等的距离植树。甲乙二人同时从路的一端的某一棵树出发。当甲走到从自己这边数的第二十二棵树时，乙刚走到从乙那边数的第十棵树。已知乙每分钟走36米。问：
甲每分钟走多少米？
例5-1.村庄周围栽树，要求每隔15米栽1棵杨树，而且每2棵杨树中间等距离栽2棵柳树。已知村庄周长为4500米。问需要多少棵杨树？多少棵柳树？相邻2棵柳树之间的间距是多少米？
分析:在村庄周围栽树属于封闭线路,所以杨树棵树=段数，即4500÷15=300,又因为每2棵杨树中间等距离栽2棵柳树,所以柳树数为300×2=600棵.再求2棵柳树之间的间距.因为2棵杨树间等距离栽2棵柳树,所以这2棵柳树的间距为15÷(2+1)=5米;而在1棵杨树两边的柳树间距为5×2=10米
解 杨树：4500÷15=300(棵)
柳树：300×2=600 (棵)
2棵柳树的间距：15÷(2+1)=5(米)
例5-2. 一个圆形花坛，周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀
地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？
分析 ①在圆形花坛上栽花，是封闭路线问题，其株数=段数.② 由于相邻的两棵芍药花之间等距的栽有两棵月季，则每6米之中共有3棵花，且月季花棵数是芍药的2倍。
解：共可栽芍药花：180÷6＝30（棵）
共种月季花：2×30＝60（棵）
两种花共：30+60=90（棵）
两棵花之间距离：180÷90=2（米）
相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药花，所以月季花的株距是2米或4米。
答：种芍药花30棵，月季花60棵，两棵月季花之间距离为2米或4米。
课堂练习题：
1.一个圆形花圃周长30米。在周围每隔3米插1面红旗，每2面红旗中间插1面蓝旗。花圃周围各插了多少面红旗与蓝旗？
例6.大人上楼的速度是小孩的2倍，小孩从一楼到四楼要6分钟，问大人从一楼到六楼需要几分钟？
分析 一楼到四楼其实就走了三层，孩子耗时6分钟，大人快2倍，就是3分钟，也就是说大人上一层楼需要1分钟。从一楼到六楼其实走了5层，大人耗时5分钟。
解：小孩上每层楼所耗时：6÷（4-1）=2（分钟）
大人上每层楼的所耗时：2÷2=1（分钟）
大人上六层楼的所耗时：1*（6-1）=5分钟
课堂练习题：
1.小明从一楼到五楼需要4分钟。小芳的速度是小明的一半，问小芳从一楼到四楼需要多少时间？
2.每层楼有12级台阶，小华从底楼爬到七楼，一共爬了多少级台阶？
例7-1. 某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？
　　分析 根据四周人数和每边人数的关系可以知：
  每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
  解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）
  整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）
  答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。
例7-2.晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？
分析 方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。
解：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）
第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个）
第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）.
摆这个方阵共用棋子：
52+44＋36＝132（个）
还可以这样想：
中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4进行计算。
解：（14-3）×3×4=132（个）
答：摆这个方阵共需132个围棋子。
例7-3 一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？

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