《铺瓷砖中的数学问题》
【教材解读】
这是一节有关于平面图形组合的实践活动课，在观察、操作和思考等活动中体验数形结合的思想，并寻找小正方形个数的规律。数形结合是一种非常重要的数学思想，把数和形结合起来可使复杂问题变得简单，抽象问题变得直观。小学四年级学生的抽象思维能力还不够高，经常需要借助直观模型来帮助理解。本节课的学习主要引导学生建立数和形的思维联系能力，从不同的角度寻找小正方形个数规律，并研究小正方形的个数规律。通过数与形的对应关系，互相验证结果，为后续数形结合问题的找规律学习如平方数等奠定基础。同时，通过本节课的学习，学生能积累相关的数学研究经验，体会学习的乐趣。
【教学目标】
1.在数一数、画一画、算一算等活动中，寻找、发现并应用小正方形个数的规律；
2.在活动中体验数形结合的思想，初步提高积极探究、灵活运用知识的能力；
3.感受数学与生活的密切联系，积累相关的数学研究经验，体验数学学习的乐趣。【教学重、难点】
重点：发现空心大正方形中隐藏着的小正方形个数的规律。
难点：应用所发现的规律。
【教学准备】
学习单、PPT
【过程预设】
活动一
（一）回忆正方形的知识
PPT出示正方形，学生回忆正方形知识。
（二）揭示实践活动问题
用同样大小的正方形围成了一个多层的图案，学生说说想研究的数学问题。揭示课题《铺瓷砖中的数学问题》
PPT呈现数学问题：小明打算用不同颜色的小正方形瓷砖铺成一块大正方形
墙面。如图所示，由内向外算起，这个墙面的最内层铺的是红色瓷砖，第2层铺的是橙色瓷砖，第3层铺的是黄色瓷砖，第4层铺的是绿色瓷砖，（第5层铺其它颜色）……依次铺下去，一共铺了625块瓷砖。一共铺了几层，最外一层有几块瓷砖？
学生思考研究问题的方法和思路，并尝试化简为繁，比如以围了3层的图案为例。
【设计意图】通过学生对正方形知识的回忆，自然引入和正方形有关的知识的进一步研究。学生对“铺瓷砖中的数学问题”的研究方法的思考，积累相关的数学研究办法和经验。
活动二
（一）中间是1个正方形的铺瓷砖问题
学生通过数一数、画一画、列一列、想一想活动，研究最外层瓷砖的块数。
教师引导学生交流，收集不同作品。
（二）学生作品展示，反馈想法。
学生分享思考过程，学会表达其观点。
1.面积相减：5×5－3×3 提出疑问：为什么不是5×5－4×4？说明：这种是整个图形的块数减去内部图形的块数。
再提出疑问：如果在这个大正方形外，再铺上一层红色的瓷砖。按照这样的方法，红色瓷砖块数怎么数？为什么不是6×6－4×4？
2.周长减去4：5×4—4 提出疑问：为什么要减去4？4在图上哪里？说明：要减去4个被重复数的小正方形。
再提出疑问：按照这样的方法，红色瓷砖块数可以怎么数？
3.3×4+4：提出疑问：为什么要加4？4在图上哪里？说明：刚才4个角落都先不数，现在数完每条边后还要再加上这4个角落。
4.4×4：提出疑问：这样数有什么好处？谁能结合图讲明白这个算式怎么来的？说明：这是大正方形的每条边一端数一端不数，再把边长×4的方法。（三）方法对比，优化方法
PPT呈现学生数最外层瓷砖的多种办法。学生对比，发现每种方法的不同特点，体会不同方法的优势和不足。
“整个图形的块数减去内部图形的块数”的数瓷砖方法有一些特殊的特点，教师和学生一起研究。从内到外，结合图形，研究每个算式的含义，体会“整个图形的块数减去内部图形的块数”的数瓷砖方法特点。
初步体会“整个图形的块数减去内部图形的块数”的数瓷砖方法特点后，学生完成表格，并发现表格中第几层、大正方形边长和算式的联系，并能计算最外层瓷砖数。
比如学生可以探究，铺10层瓷砖，大正方形边长是多少，最外一层瓷砖可以怎样想？10×2－1=19，19×19－17×17=72（块）
如算式23×23－21×21，它要求的是第几层呢，大正方形边长是多少？（23+1）÷2=12层，大正方形边长23
如已经知道625是边长为25的正方形的面积。那由625块瓷砖铺成的大正方形可以这样围几层？最外一层瓷砖是多少？（25+1）÷2=13层，25×25－23×23=96（块）
在探究第几层、大正方形边长和算式过程中，学生解决本节课起初的“小明铺瓷砖问题”。
【设计意图】学生在数一数、画一画、列一列和想一想的过程中，不仅解决了最外层瓷砖块数的问题，而且初步学会运用数学研究的方法解决数学问题，会用数学的眼光看实际生活中的问题，会用数学的思维思考问题，会用数学的语言表达问题。
活动三
（一）中间是4个正方形的铺瓷砖问题
对比两种图案，学生发现两种设计的区别。
学生研究中间是4个正方形的大正方形铺瓷砖问题，探索大正方形最外层瓷砖或多层瓷砖的块数，发现也可以用“整个图形的块数减去内部图形的块数”的数瓷砖方法解决。
（二）中间是长方形的铺瓷砖问题
学生研究中间是长方形的铺瓷砖问题，探索大长方形最外层瓷砖块数，发现也可以用“整个图形的块数减去内部图形的块数”的数瓷砖方法解决。
（三）其他的图形组合设计问题
图形的组合除了这种中间是1个正方形的、4个正方形的、长方形（长方形不止一种，长和宽也有多种组合）外，还有许多不同设计。学生欣赏各种美丽的图形组合设计图案。
（四）立体几何中的组合问题
图形的组合除了像这样平面的，还可以是立体的。学生探究立体几何中的组合问题。
PPT呈现数学问题：小亮打算用不同颜色的小正方体玻璃块堆成一个大正方体装饰品。由内向外算起，这个正方体的最内层堆的是红色玻璃块，第2层堆的是橙色玻璃块，第3层堆的是黄色玻璃块，第4层堆的是绿色玻璃块……依次堆下去，一共铺了729个玻璃块。请你想一想，一共堆了几层，最外层有几个玻璃块？
【设计意图】在对中间是1个正方形的铺瓷砖问题的研究基础上，学生对于图形
的组合设计有更多的想法，有更多值得研究的数学问题，开拓学生的数学思维。
活动四
总结内化
学生回顾：这节课我们研究了什么问题？我们是怎么解决这个问题的？在数学学习中，我们还用过这样的方法解决过什么问题？
【设计意图】方法的回顾和内化，学生积累研究数学问题的经验，对以后数学问题研究打下了基础。
【板书设计】
瓷砖里的数学问题
最内层：1
第2层：3×3－1×1
第3层：5×5－3×3
第4层：7×7－5×5
第5层：9×9－7×7
第7层：13×13－11×11
第10层呢：19×19－17×17

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