教师公开招聘考试小学数学（复数）-试卷3
(总分：48.00，做题时间：90分钟)
一、 选择题(总题数：17，分数：34.00)
1.i是虚数单位，则=( )．
（分数：2.00）
 A.0
 B.一i
 C.一
 D. √
解析：解析：
2.下列说法正确的是( )．
（分数：2.00）
 A.一1的平方为i
 B.两个复数能够比较大小
 C.若z=，则Im(z)一一2 √
 D.若(x 2 一1)+(x 2 +x—2)i是纯虚数，则实数x=±1
解析：解析：i的平方为一1，一1的平方为1，故A选项错误；两个虚数不能比较大小，复数和实数也不能比较大小，故B选项错误；D选项中当x=1时，原式为0，是实数，故D选项错误．z=是复数的指数形式，化为代数形式为z=一一2i，故z的虚部为Im(z)=一2．C选项说法正确．
3.设a，b∈R．则“a=0”是“a+bi为纯虚数”的( )．
（分数：2.00）
 A.充分条件
 B.必要条件 √
 C.充分必要条件
 D.既不充分也不必要条件
解析：解析：由“a+bi为纯虚数”可推出a=0且b≠0，而由a=0不能推出a+bi为纯虚数，故“a=0”是“a+bi为纯虚数"的必要不充分条件．
4.复数z=在复平面内所对应的点在( )．
（分数：2.00）
 A.第一象限 √
 B.第二象限
 C.第三象限
 D.第四象限
解析：解析：z=在复平面内所对应的点在第一象限．
5.若ai+5与一3i—b相等，则a，b的值分别是( )．
（分数：2.00）
 A.3，5
 B.一3，一5 √
 C.3，一5
 D.一3，5
解析：解析：两个复数相等的充要条件是复数的实部与虚部分别相等，即．故答案选B．
6.已知z=+i—2，则｜z｜=( )．
（分数：2.00）
 A.4
 B.2
 C. √
 D.
解析：解析：
7.复数z满足：(z—i)(i—3)=4，则z=( )．
（分数：2.00）
 A. √
 B.
 C.2i—1
 D.一2i+1
解析：解析：z—i=．
8.设z 1 ，z 2 是复数，则下列命题中是假命题的是( )．
（分数：2.00）
 A.若｜z 1 一z 2 ｜=0，则
 B.若z 1 = =z 2
 C.若｜z 1 ｜=｜z 2 ｜，则z 1 ．
 D.若｜z 1 ｜=｜z 2 ｜，则z 1 2 =z 2 2 √
解析：解析：设z 1 =1+i，z 2 =1一i，则｜z 1 ｜=｜z 2 ｜，而z 1 2 =2i，z 2 2 =一2i，故D选项错误．其他选项均为真命题．
9.满足条件｜z—2i｜+｜z+1｜=的点的轨迹方程为( )．
（分数：2.00）
 A.圆
 B.椭圆
 C.线段 √
 D.双曲线
解析：解析：因为在复平面上，点(0，2)与点(一1，0)间的距离为，而动点到(0，2)与(一1，0)的距离和为5，所以动点在两定点(0，2)与(一1，0)之间，即点的轨迹是以两定点(0，一2)与(一1，0)为端点的线段．答案选C．
10.复数( ) 2 =( )．
（分数：2.00）
 A.
 B.
 C. √
 D.
解析：解析：—2．
11.已知z=2一i，则2z+｜z｜=( )．
（分数：2.00）
 A.
 B.
 C.
 D. √
解析：解析：因为｜z｜=一2i．
12.已知z=1+i，则所表示的点在( )．
（分数：2.00）
 A.第一象限
 B.第二象限 √
 C.第三象限
 D.第四象限
解析：解析：由于在第二象限． 故本题选B．
13.已知复数z的实部为一2，虚部为2，则=( )．
（分数：2.00）
 A.
 B. √
 C.
 D.
解析：解析：由已知可得，z=一2+2i，则．
14.已知a，b∈R，i为虚数单位，且(b+ai)(1一i)=4—2i，则( )．
（分数：2.00）
 A.a=1，b=3 √
 B.a=一1，b=3
 C.a=3，b=1
 D.a=3，b=一1
解析：解析：因为(b+ai)(1一i)=b—bi+ai+a=(a+b)+(a一b)i=4—2i，根据复数相等的充要条件，则a+b=4，a一b=一2，两式联立，解得，故本题选A．
15.已知复数z满足zi=，其在复平面上对应点为Z，点Z按向量a=(3，5)平移后得到的点为( )．
（分数：2.00）
 A.(2，6)
 B.(4，4) √
 C.(一2，一6)
 D.(一4，一4)
解析：解析：设平移后的点为Z'，由已知可得，z==1一i，故点Z的坐标为(1，一1)，而点Z按向量a=(3，5)平移，可得点Z'的坐标为(3+1，5—1)，即点Z'的坐标为(4，4)．
16.已知实系数方程x 3 +2x 2 +3x=0，则该方程所有实根和虚根的和S=( )．
（分数：2.00）
 A.一2 √
 B.0
 C.
 D.
解析：解析：解方程x 2 +2x 2 +3x=0得，x 1 =0，x 2 =一1+ =一2．
17.α、β是实系数方程x 2 +2x+2=0的两个虚根，则它们在复平面上对应的向量夹角的正弦值为( )．
（分数：2.00）
 A.
 B.
 C.1 √
 D.0
解析：解析：解方程x 2 +2x+2=0得，α，β=一1±i，设向量α=(一1，1)，β=(一1，一1)，又因为(一1)×(一1)+1×(一1)=0，故α⊥β，即它们在复平面上对应的向量夹角的正弦值为1．
二、 填空题(总题数：5，分数：10.00)
18.若2一 是关于x的实系数方程x 2 +ax+b=0的一个复数根，则a= 1，b= 2．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一4）
填空项1:__________________ （正确答案：7）
解析：解析：由于2一 是关于z的实系数方程x 2 +ax+b=0的一个复数根，所以2+ ．
19.设a，b为实数，且a一bi=，则a+2b的值为 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）
解析：解析：a—bi=，所以a+2b=2．
20.若复数z=1+i，的虚部为 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4）
解析：解析：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，其中一个数与另一个数互为共轭复数．故复数z=1+i的共轭复数的虚部为4．
21.已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a+i)(1+i)=bi，则a+bi= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1+2i）
解析：解析：由(a+i)(1+i)=bi可得，(a一1)+(a+1)i=bi，由此推出．所以a+bi=1+2i．
22.已知复数z=1+i，若=1—i．则a= 1，b= 2．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一1）
填空项1:__________________ （正确答案：2）
解析：解析：因为z=1+i，所以．
三、 解答题(总题数：2，分数：4.00)
23.已知z= ，求1+z+z 2 +…+z 2014 的值．
（分数：2.00）
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正确答案：(正确答案：因为z= =一i， 又因为1+z+z 2 +…+z 2014 可看成是a 1 =1，q=z的等比数列前2015项的和，故原式= (1+i)．)
解析：
24.已知z 1 =(2b—c)cosA+4i，z 2 =a cosC+(b+c)i，且z 1 =z 2 ，其中A、C为△ABC的内角，a、b、c分别为A、B、C三个角所对的边． (1)求A的大小； (2)若a=2，求△ABC的面积．
（分数：2.00）
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正确答案：(正确答案：(1)z 1 =z 2 ，则有 ， 又在△ABC中， (正弦定理)，代入2bcosA=acosC+ccosA中，得2sinBcosA=sinA cosC+sinCcosA． 所以2sinBcosA=sin(A+C)=sin(π—B)=sinB， 又因为在△ABC中，sinB≠0，所以cosA= ， 又由于A∈(0，π)，所以A= ． (2)在△ABC中，a 2 =b 2 +c 2 一2bccosA， 因为a=2，cosA= ，则b 2 +c 2 —bc=4， 又因为b+c=4，故bc=4， 所以S △ABC = ．)
解析：

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