小学数学教师招聘试题 附答案
一、选择题（共14个小题，每小题4分，共56分．在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的）
  1．－5的绝对值是（　）．
  A．5            B．            C．          D．－5                               
  2．计算 的结果是（　）．
  A．－9          B．－6          C．          D．
  3．计算 的结果是（　）．
  A．          B．a            C．            D．
  4．2002年我国发现首个世界级大气田，储量达6000亿立方米，6000亿立方米用科学记数法表示为（　）．
  A． 亿立方米          B． 亿立方米
  C． 亿立方米          D． 亿立方米
  5．下列图形中，不是中心对称图形的是（　）．
  A．菱形        B．矩形          C．正方形      D．等边三角形
  6．如果两圆的半径分别为3 cm和5 cm，圆心距为10 cm，那么这两个圆的公切线共有（　）．
  A．1条          B．2条          C．3条          D．4条
  7．如果反比例函数 的图象经过点P（－2，3），那么k的值是（　）．
  A．－6          B．          C．          D．6
  8．在△ABC中，∠C＝90°．如果 ，那么sinB的值等于（　）．
  A．            B．          C．          D．
  9．如图，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上．如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于（　）．
  A．55°          B．90°        C．110°        D．120°

  10．如果圆柱的底面半径为4 cm，母线长为5 cm，那么它的侧面积等于（　）．
  A．20p    B．40p    C．20      D．40
  11．如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　）．
  A．k＜1          B．k≠0        C．k＜1且k≠0    D．k＞1
  12．在抗击“非典”时期的“课堂在线”学习活动中，李老师从5月8日至5月14日在网上答题个数的记录如下表：
日期

5月8日

5月9日

5月10日

5月11日

5月12日

5月13日

5月14日
答题个数

68

55

50

56

54

48

68

  在李老师每天的答题个数所组成的这组数据中，众数和中位数依次是（　）．
  A．68，55        B．55，68        C．68，57        D．55，57
  13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E．如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为（　）．

  A．2            B．3            C．4              D．5
  14．三峡工程在6月1日至6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间．假设水库水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这10天水位h（米）随时间t（天）变化的是（　）．

  二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
  15．在函数 中，自变量x的取值范围是________．
  16．如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC．如果BC＝8 cm，AD∶AB＝1∶4，那么△ADE的周长等于________ cm．

  17．如图，B、C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是________米．

  18．观察下列顺序排列的等式：
  9×0＋1＝1，
  9×1＋2＝11，
  9×2＋3＝21，
  9×3＋4＝31，
  9×4＋5＝41，
  ……
  猜想：第n个等式（n为正整数）应为________．
  三、（共3个小题，共14分）
  19．（本小题满分4分）
  分解因式： ．
  20．（本小题满分4分）
  计算：
  21．（本小题满分6分）
  用换元法解方程
  四、（本题满分5分）
  22．如图，在□ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．

  （1）连结________．
  （2）猜想：________＝________．
  （3）证明：
  五、（本题满分6分）
  23．列方程或方程组解应用题：
  在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：
  甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆．”
  乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆．”
  丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍．”
  请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少．
  六、（本题满分7分）
  24．已知：关于x的方程 的两个实数根是 、 ，且 ．如果关于x的另一个方程 的两个实数根都在 和 之间，求m的值．
  七、（本题满分8分）
  25．已知：在ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，FE∶FD＝4∶3．

  （1）求证：AF＝DF；
  （2）求∠AED的余弦值；
  （3）如果BD＝10，求△ABC的面积．
  八、（本题满分8分）
  26．已知：抛物线 与x轴的一个交点为A（－1，0）．
  （1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
  （2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；
  （3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
  一、选择题（每小题4分，共56分）
  1．A 2．D 3．C 4．B 5．D 6．D 7．A 8．B 9．C 10．B 11．C 12．A 13．A 14．B
  二、填空题（每小题4分，共16分）
  15．x≥－3 16．6 17．30 18．9（n－1）＋n＝10n－9（或9（n－1）＋n＝10（n－1）＋1）
  三、（共14分）
  19．解：
          …………………………………………………………………2分
          ………………………………………………………4分
  20．解：
          ………………………………………………………… …3分
          = ．…………………………………………………………………………4分
  21．解：设 ，…………………………………………………………………1分
  则原方程化为 ．………………………………………………………2分
  ∴ ．
  解得 ， ……………………………………………………………3分
  当y＝－2时， ．
  ∴ ．
  解得 ， ．…………………………………………………………………4分
  当y＝－3时， ．
  ∴
  ∵ △＝9－12＜0，
  ∴ 此方程无实数根．………………………………………………………………5分
  经检验， ， 都是原方程的根．…………………………………………6分
  ∴ 原方程的根为 ， ．
  四、（本题满分5分）
  22．答案一：（1）BF……………………………………………………………………1分
  （2）BF，DE……………………………………………………………………………2分
  （3）证法一：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
  ∴ AD＝BC，AD∥BC．
  ∴ ∠DAE＝∠BCF．……………………………………………………………………3分
  在△BCF和△DAE中，
  ∴ △BCF≌△DAE．……………………………………………4分
  ∴ BF＝DE．……………………………………………………………………………5分
 
  证法二：连结DB、DF，设DB、AC交于点O．
  ∵ 四边形ABCD为平行四边形，
  ∴ AO＝OC，DO＝OB．
  ∵ AE＝FC，∴ AO－AE＝OC－FC．
  ∴ EO＝OF．……………………………………………………………………………3分
  ∴ 四边形EBFD为平行四边形．………………………………………………………4分
  ∴ BF＝DE．……………………………………………………………………………5分
 
  答案二：（1）DF…………………………………………………………………………1分
  （2）DF，BE……………………………………………………………………………2分
  （3）证明：略（参照答案一给分）．
  五、（本题满分6分）
  23．解法一：设高峰时段三环路的车流量为每小时x辆，…………………………1分
  则高峰时段四环路的车流量为每小时（x＋2000）辆．………………………………2分
  根据题意，得3x－（x＋2000）＝2×10000．…………………………………………4分
  解这个方程，得 x＝11000． …………………………………………………………5分
  x＋2000＝13000．
  答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆．
…………………………………………………………………………………………………6分
  解法二：设高峰时段三环路的车流量为每小时x辆，四环路的车流量为每小时y辆．
…………………………………………………………………………………………………1分
根据题意，得
……………………………………………………………………4分
  解这个方程组，得
  ……………………………………………………………………………5分
  答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆．
…………………………………………………………………………………………………6分
  六、（本题满分7分）
  24．解：∵ ， 是方程 ①的两个实数根，
  ∴ ， ．
  ∵ ，∴ ．
  ∴ ．
  解得 ， ………………………………………………………………3分
  （ⅰ）当m＝－1时，
  方程①为 ．∴ ， ．
  方程 ②为 ．
  ∴ ， ．
  ∵ －5、3不在－3和1之间，
  ∴ m＝－1不合题意，舍去．…………………………………………………………5分
  （ⅱ）当m＝4时，
  方程①为 ．∴ ， ．
  方程②为 ．∴ ， ．
  ∵ 2＜3＜5＜6，即 ，
  ∴ 方程②的两根都在方程①的两根之间．
  ∵ m＝4．………………………………………………………………………………7分
  综合（ⅰ）（ⅱ），m＝4．
  注：利用数形结合解此题正确的，参照上述评分标准给分．
  七、（本题满分8分）
  25．解法一：
  （1）证明：∵ AD平分∠BAC，
  ∴ ∠BAD＝∠DAC．
  ∵ ∠B＝∠CAE，
  ∴ ∠BAD＋∠B＝∠DAC＋∠CAE．
  ∵ ∠ADE＝∠BAD＋∠B，∴ ∠ADE＝∠DAE．
  ∴ EA＝ED．
  ∵ DE是半圆C的直径，∴ ∠DFE＝90°．
  ∴ AF＝DF．……………………………………………………………………………2分
 
  （2）解：连结DM．
  ∵ DE是半圆C的直径，
  ∴ ∠DME＝90°．         
  ∵ FE∶FD＝4∶3，
  ∴ 可设FE＝4x，则FD＝3x．
  由勾股定理，得DE＝5x.
  ∴ AE＝DE＝5x，AF＝FD＝3x．
  由切割线定理的推论，得AF·AD＝AM·AE．
  ∴ 3x（3x＋3x）＝AM·5x．∴ ．
  ∴ ．
  在Rt△DME中，
  ．………………………………………………………5分
 
  （3）解：过A点作AN⊥BE于N．
  由 ，得 ．
  ∴ ．
  在△CAE和△ABE中，
  ∵ ∠CAE＝∠B，∠AEC＝∠BEA，
  ∴ △CAE∽△ABE．∴ ．
  ∴ ．
  ∴ ．解得x＝2．
  ∴ ，
      ．
  ∴ ．…………………………………………8分
 
  解法二：
  （1）证明：同解法一（1）．
  （2）解：过A点作AN⊥BE于N．
  在Rt△DFE中，
  ∵ FE∶FD＝4∶3，∴ 可设FE＝4x，则FD＝3x．
  由勾股定理，得DE＝5x．
  ∴ AE＝DE＝5x，AF＝FD＝3x．
  ∵ ，
  ∴ ．
  ∴ ．∴
  ∴ 由勾股定理，得 ．
  ∴ ．…………………………………………………5分
  （3）解：在△CAE和△ABE中，
  ∴ ∠CAE＝∠B，∠AEC＝∠BEA，
  ∴ △CAE∽△ABE．∴ ．
  ∴ ∴ ．
  解得x＝2．∴ ，
      ．
  ∴ ．…………………………………………8分
  八、（本题满分8分）
  26．解法一：
  （1）依题意，抛物线的对称轴为x＝－2．
  ∵ 抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0），
  ∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．
…………………………………………………………………………………………………2分
 
  （2）∵ 抛物线 与x轴的一个交点为A（－1，0），
  ∴ ．∴ t＝3a．
  ∴ ．
  ∴ D（0，3a）．
  ∴ 梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线 上，
  ∵ C（－4，3a）．
  ∴ AB＝2，CD＝4．
  ∵ 梯形ABCD的面积为9，
  ∴ ．
  ∴ ．
  ∴ a±1．
  ∴ 所求抛物线的解析式为 或 …………………5分
 
  （3） 设点E坐标为（ ， ）
  依题意， ， ，且 ．∴ ．
  ①设点E在抛物线 上，
  ∴ ．
  解方程组 得
 
  ∵ 点E与点A在对称轴x＝－2的同侧，
  ∴ 点E坐标为（ ， ）．
  设在抛物线的对称轴x＝－2上存在一点P，使△APE的周长最小．
  ∵ AE长为定值，
  ∴ 要使△APE的周长最小，只须PA＋PE最小．
  ∴ 点A关于对称轴x＝－2的对称点是B（－3，0），
  ∴ 由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．
  设过点E、B的直线的解析式为 ，
  ∴ 解得
  ∴ 直线BE的解析式为 ．
  ∴ 把x＝－2代入上式，得 ．
  ∴ 点P坐标为（－2， ）．
  ②设点E在抛物线 上，
  ∴ ．
  解方程组
  消去 ，得 ．
  ∴ △＜0
  ∴ 此方程无实数根．
  综上，在抛物线的对称轴上存在点P（－2， ），使△APE的周长最小．…………8分
  解法二：
  （1）∵ 抛物线 与x轴的一个交点为A（－1，0），
  ∴ ．∴ t＝3a．
  ∴ ．
  令 y＝0，即 ．
  解得 ， ．
  ∴ 抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．    2分

  （2）由 ，得D（0，3a）．
  ∵ 梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线 上，
  ∴ C（－4，3a）．∴ AB＝2，CD＝4．
  ∵ 梯形ABCD的面积为9，
  ∴ ．
  解得OD＝3．
  ∴ ．∴ a±1．
  ∴ 所求抛物线的解析式为 或 ．…………………5分
  （3）同解法一得，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．
  ∴ 如图，过点E作EQ⊥x轴于点Q．
  设对称轴与x轴的交点为F．
  由PF∥EQ，可得 ．
  ∴ ．∴ ．
  ∴ 点P坐标为（－2， ）．
  以下同解法一．

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