第六单元  圆
一、圆的概念和性质
1、圆是由一条曲线围成的平面图形。
  （以前所学的图形如长方形、正方形、三角形、梯形等都是由线段围成的平面图形）
相同点：圆和多边形都是平面图形；不同点：多边形由线段围成，有顶点；圆由曲线围成，没有顶点
2、画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示；
  连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示；
  通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。
  在同一个圆里，半径和直径都可以画无数条，也就是有无数条半径和直径。
  在同一个圆（或相等的圆）里，所有的半径都相等，所有直径的也相等。
3、用圆规画圆的过程：1、先把圆规两脚分开，定好两脚间的距离；2、有针尖的脚要固定在一点上；2、最后旋转成圆，旋转圆规时两脚间的距离不能变。
  画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动；两脚间的距离必须保持不变；要旋转一周。
4、在同一个圆里（或相等的圆），半径是直径的一半，直径是半径的2倍。（d=2r,  r =d÷2）
5、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径所在的直线，直径不是它的对称轴，画对称轴用点划线。
6、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。
7、正方形里最大的圆。联系：边长＝直径(a=d)；圆的面积=π×（边长÷2）2即S=π×（a÷2）2
  画法：（1）画出正方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。
8、长方形里最大的圆。两者联系：宽＝直径(b=d) ,S=π×（b÷2）2
  画法：（1）画出长方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以宽为直径画圆。
9、同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。两端都在圆上的线段中最长的是直径。
二、圆的周长
10、围成圆的曲线的长度就是圆的周长。
    车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。
    每分前进米数（速度）＝车轮的周长×转数
11、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。
（圆的周长÷圆的直径=圆周率）  用字母π表示。π是一个无限不循环小数。π＝3.1415926
53……
我们在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。π>3.14
大约1500年前，我国南北朝科学家祖冲之使用刘徽的方法算出圆周率π大约在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后7位的人。
一个圆的周长是它直径的π倍，不是3.14倍，是半径的2π倍。
12、如果用C表示圆的周长，那么C＝πd或C = 2πr
13、求圆的半径或直径的方法：d = C÷π  r = C÷ π÷2  r = C÷（2π）  r = C÷2÷π
14、半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。　
    C半圆= πr＋2r=5.14r    C半圆= πd÷2＋d=2.57d
15、常用的3.14的倍数：
    3.14×2＝6.28    3.14×3＝9.42    3.14×4＝12.56  3.14×5＝15.7  3.14×6＝18.84
    3.14×7＝21.98    3.14×8＝25.12    3.14×9＝28.26    3.14×12＝37.68  3.14×14＝43.96
    3.14×16＝50.24  3.14×18＝56.52  3.14×24＝75.36  3.14×25＝78.5
    3.14×36＝113.04  3.14×49＝153.86  3.14×64＝200.96  3.14×81=254.34
三、圆的面积
16、圆所占( 平面 )的大小就是圆的面积。
    圆的面积公式：S=πr2。圆的面积是半径平方的π倍。
17、圆的面积推导：
圆可以切拼成近似的长方形，长方形的面积与圆的面积相等（即S长方形＝S圆）；
长方形的宽是圆的半径（即b＝r）；
长方形的长是圆周长的一半（即a＝C÷2=πr）。
即：S长方形＝ a  ×  b
                  ↓        ↓
            S圆＝ πr  ×  r
              ＝ πr2               
所以， S圆 ＝ π r2
18、半圆的面积是圆面积的一半。S半圆＝πr2÷2
四、圆环的周长和面积 
两个同心圆形成一个圆环。 
设小圆和大圆（或内圆和外圆）的半径分别为r和R。（R﹥r） 
圆环的周长：C圆环=2πR+2πr  圆环的面积：S圆环 ＝ π （R2—r2）
 
五、补充
19、大小两个圆比较，半径的倍数＝直径的倍数＝周长的倍数，面积的倍数＝半径（直径、周长）倍数的平方
（即r扩大n倍，直径扩大n倍，周长扩大n倍，面积扩大n2倍）
练习：（1）如果把一个圆的半径扩大到原来的2倍，则周长就会扩大到原来的（   ）倍，面积就会扩大到原来的（   ）倍。 
（2）一个圆的直径扩大5倍，它的面积扩大（      ）倍。
20、周长相等的平面图形中，圆的面积最大；
面积相等的平面图形中，圆的周长最短。
21、求阴影部分的面积的常用方法有割补法、和差和等分法等。
22、几个直径和为n的圆的周长=直径为n的圆的周长（如图）
    几个直径和为n的圆的面积<直径为n的圆的面积
                                                                  n
23、常用的平方数：112＝121  122＝144  132＝169  142＝196  152＝225
                  162＝256  172＝289  182＝324  192＝361  202＝400
24、判断下面各题。 
 (1)两端都在圆上的线段叫做直径。(     )
 (2)半径决定着圆的大小,圆心决定着圆的位置。（     ）
 (3)所有的半径都相等,所有的直径都相等。(      ) 
（4）圆是轴对称图形，对称轴是它的任意一条直径。（    ） 
五、练习题 
1、填空题。 
（1）一个圆形花坛的周长是18.84米，它的半径是（     ）米，这个花坛占地（      ）平方米。 （2）在边长为8厘米的正方形中剪下一个最大的圆，这个圆的直径为（     ）。 （3）一个圆的直径扩大5倍，它的面积扩大（      ）倍。 
（4）一个圆的直径是24厘米，那么用圆规画圆时，圆规两脚间的距离是（      ）厘米。 
（5）一个圆与一个长方形的面积相等，圆的直径是4厘米，如果长方形的长是4厘米，那么宽是（     ）厘米。 
 
2、判断 
（1）半径为2厘米的圆的周长和面积相等。              （      ） （2）圆周率是周长和半径的商。                        （      ） (3)半径是射线，直径是直线。                          （      ） （4）通过圆心的线段是直径。                          （      ） （5）两条半径的长度等于一条直径的长度。              （      ） （6）是一个近似数。                                （      ） （7）如果两个圆的周长相等，那么这两个圆的面积也一定相等。（      ） （8）内、外圆半径的长短决定环形面积的大小。         （      ） （9）圆的直径是圆的对称轴。                         （      ）

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